Γεωμετρικοί τόποι – Μέρος Α

Γεωμετρικοί τόποι – Μέρος Α


Στο μέρος Α των γεωμετρικών τόπων, θα ασχοληθούμε κύρια με δύο απλές περιπτώσεις. Αρχικά ο ορισμός του γεωμετρικού τόπου.

Γεωμετρικός τόπος (γ.τ.) είναι ένα σύνολο σημείων του επιπέδου που όλα έχουν μια κοινή ιδιότητα και μόνον αυτά.


Δηλαδή αν ένα σημείο του επιπέδου ανήκει στον γ.τ. τότε έχει την κοινή ιδιότητα και
αντιστρόφως, αν έχει την κοινή ιδιότητα ανήκει στον γ.τ.. Πρόκειται για μια ικανή και αναγκαία συνθήκη.

Γενική μεθόδευση

Αν μας ζητείται να βρούμε το γ.τ. των σημείων Μ, επιλέγουμε σημείο αναφοράς το Μ και επιδιώκουμε να φέρουμε τη σχέση που μας δίνεται σε ισότητα διανυσμάτων με το ένα μέλος να περιέχει το σημείο Μ και το άλλο μέλος γνωστά σημεία. Σε αυτή την περίπτωση υπενθυμίζουμε την σχέση

    \[\ova{MA}-\ova{MB}=\ova{AB},\]

που είναι χρήσιμη όταν αποσκοπούμε να “εξαφανίσουμε” ένα “ανεπιθύμητο” σημείο Μ.

Περίπτωση 1

Αν \left|\ova{MA}\right|=\left|\ova{MB}\right|, όπου Α και Β σταθερά σημεία, τότε το Μ κινείται πάνω στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Για την επίλυση των ασκήσεων εύρεσης γεωμετρικού τόπου, καλό είναι να υπενθυμίσουμε την παρακάτω ιδιότητα: \ova{MA}+\ova{MB}=2\ova{MK}, όπου Κ είναι το μέσο του ΑΒ.

Παράδειγμα

Αν A,\;B,\;\grG σταθερά σημεία του επιπέδου και ισχύει

    \[\left|\ova{MA}+\ova{MB}\right|=\left|\ova{MA}+\ova{M\\grG}\right|,\]

να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ.

Λύση

Κάνοντας χρήση της παραπάνω ιδιότητας έχουμε: \ova{MA}+\ova{MB}=2\ova{MK}, όπου Κ είναι το μέσο του ΑΒ και \ova{MA}+\ova{M\grG}=2\ova{M\grL}, όπου Λ είναι το μέσο του ΑΒ.

Επομένως η δοθείσα σχέση γίνεται:

2\left|\ova{MK}\right|=2\left|\ova{M\grL}\right| ή

\left|\ova{MK}\right|=\left|\ova{M\grL}\right|.

Αντίστροφα Αν ισχύει \left|\ova{MK}\right|=\left|\ova{M\grL}\right| τότε έχουμε (πάλι από τη γνωστή ιδιότητα της διαμέσου) ότι

\left|\dfrac{\ova{MA}+\ova{MB}}{2}\right|=\left|\dfrac{\ova{MA}+\ova{M\grG}}{2}\right|, επομένως

\left|\ova{MA}+\ova{MB}\right|=\left|\ova{MA}+\ova{M\grG}\right|. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου με την ιδιότητα

\left|\ova{MA}+\ova{MB}\right|=\left|\ova{MA}+\ova{M\grG}\right| είναι η μεσοκάθετη του ΚΛ, όπου Κ και Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ.

Αν Α σταθερό σημείο και \gra>0 τότε η σχέση \left|\ova{MA}\right|=\gra, εκφράζει γεωμετρικά κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα α.

Παράδειγμα

Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει

    \[\left| \overrightarrow{\grA\grB }+\overrightarrow{A\grD }\right|=\left|\overrightarrow{M\grD} \right|\]

Λύση

Επειδή \ova{AB}+\ova{A\grD}=\ova{A\grG} και από την υπόθεση έχουμε \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\grD}\right|=\left| \overrightarrow{M\grD} \right| θα είναι \left|\ova{A\grG}\right|=\left|\ova{\grD M}\right|.

Αντίστροφα Υποθέτουμε ότι για τον ρόμβο ΑΒΓΔ και το τυχαίο σημείο Μ ισχύει \left|\ova{A\grG}\right|=\left|\ova{\grD M}\right| ή \left|\ova{AB}+\ova{A\grD}\right|=|\ova{M\grD}|.

Άρα ο γ.τ. είναι κύκλος που γράφεται με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα \grr=|\ova{A\grG}|.

Share This