Εφαρμογές 1

Μεθοδεύσεις

Όταν θέλουμε να δείξουμε μια σχέση της μορφής ${{\grk }_{1}}\ova{\alpha }+{{\grk }_{2}}\overrightarrow{\beta }+{{\grk }_{3}}\overrightarrow{\gamma }={{\lambda }_{1}}\overrightarrow{\gamma }+{{\lambda }_{2}}\overrightarrow{\grd }$

μεταφέρουμε όλα τα διανύσματα στο πρώτο μέλος και χρησιμοποιούμε κοινό σημείο αναφοράς.
εκφράζουμε το διάνυσμα του πρώτου μέλους συναρτήσει των διανυσμάτων του δεύτερου μέλους.

Παράδειγμα 1

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ τέτοια ώστε:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\grG}=\overrightarrow{A\grD }+\overrightarrow{A\grE }.$

Δείξτε ότι τα τμήματα ΒΓ, ΔΕ έχουν κοινό μέσο.

Λύση

Έστω Μ και Ν τα μέσα αντίστοιχα των ΒΓ και ΔΕ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναι διάμεσος οπότε:

$2\cdot \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\grG}\;\;(1).$

Ομοίως η ΑΝ για το ΑΔΕ, οπότε:

$2\cdot \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{A\grD }+\overrightarrow{AE};(2).$

Από τις (1) και (2) και την υπόθεση έχω:

$2\cdot \overrightarrow{AN}=2\cdot\overrightarrow{AM}\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM }\Leftrightarrow M \equiv N$

Παράδειγμα 2

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Κ, Λ, Μ των ΑΒ , ΒΓ, ΓΑ αντιστοίχως. Αν Ρ τυχαίο σημείο τότε ισχύει:

$\overrightarrow{P\grA }+\overrightarrow{P\grB }+\overrightarrow{P\grG }=\overrightarrow{P\grK}+\overrightarrow{P\grL}+\overrightarrow{P\grM}$

Λύση

$\ova{PA}+\ova{PB}+\ova{P\grG}-\ova{PK}-\ova{P\grL}-\ova{PM}=$ $\left(\ova{PA}-\ova{P\grL}\right)+\left(\ova{PB}-\ova{PM}\right)+\left(\ova{P\grG}-\ova{PK}\right)=$ $\ova{\grL A}+\ova{BM}+\ova{K\grG}=\vec{0}$

Αξίζει το κόπο να παρατηρήσεις την «δυνατότητα» που έχει η διαφορά των διανυσμάτων να «καταργεί» τα ανεπιθύμητα σημεία σε μια άσκηση. Δηλ. τα τυχαία σημεία. Το Ρ, στην προηγούμενη άσκηση, είναι ένα τυχαίο σημείο. Αξιοποιώντας τις διαφορές καταφέρνουμε να το “διώξουμε”. Η διαφορά δύο διανυσμάτων $\ova{\alpha }$ και $\ova{\beta }$ με κοινή αρχή είναι διάνυσμα $\ova{\gamma }$ που δεν διέρχεται από την κοινή αρχή των $\ova{\alpha }$ και $\ova{\beta }$ . Οι διαφορές για παράδειγμα

$\ova{O_1A }-\ova{O_1B}=\ova{BA}$

$\ova{O_2A}-\ova{O_2B}=\ova{BA}$

$\ova{O_3A}-\ova{O_3B}=\ova{BA}$

είναι ανεξάρτητες της θεωρούμενης αρχής. Αν λοιπόν στη θέση της αρχής θεωρήσουμε το μεταβλητό σημείο της άσκησης, καταφέρνουμε να το «εξαφανίσουμε».

α) Όταν θέλουμε να προσδιορίσουμε ένα σημείο Μ, που επαληθεύει μια διανυσματική σχέση τότε: Από τη διανυσματική σχέση υπολογίζουμε το $\ova{AM}$ (το Α είναι ένα γνωστό σημείο), οπότε το $\ova{AM}$ κατασκευάζεται άρα προσδιορίζεται το Μ (επόμενο παράδειγμα)

Παράδειγμα 3

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιοριστεί σημείο Μ τέτοιο, ώστε

$\ova{AM}+3\ova{BM}-\ova{\grG M}=\vec{0}.$

Λύση

$\ova{AM}+3\ova{BM}-\ova{\grG M}=\ova{0}\Leftrightarrow \left( \ova{AM}+\ova{M\grG} \right)+3\ova{BM}=\ova{0}\Leftrightarrow$ $\ova{BM}=-\dfrac{1}{3}\ova{A\grG}$

Όταν ένα διάνυσμα $\ova{u}$ δίνεται από μια σχέση της μορφής

$\ova{u}=\grk \cdot \ova{MA}+\grl \cdot \ova{MB}+\grm \cdot \ova{M\grG}$

και θέλουμε να αποδείξουμε ότι το $\ova{u}$ διέρχεται από σταθερό σημείο (το Μ τυχαίο σημείο), τότε προσπαθούμε να φτάσουμε στη μορφή $\ova{u}=\grn \cdot \ova{M \grS}$ , όπου Σ σταθερό σημείο και $\grn \in \mathbb{R}$ .

Παράδειγμα 4

Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω Μ τυχαίο σημείο και $\ova{u}$ ένα διάνυσμα που ορίζεται από τη σχέση $\ova{u}=\ova{MA}+\ova{MB}+2\cdot \ova{M\grG}$ . Να αποδείξετε ότι το $\ova{u}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.

Λύση

Αν Κ είναι το μέσο του ΑΒ και Λ το μέσο του ΚΓ έχουμε : $\ova{u}=\underbrace{(\ova{MA}+\ova{MB})}_{2\cdot \ova{MK}}+2\cdot \ova{M\grG}=2\cdot \ova{MK}+2\cdot \ova{M\grG }=$

$2\cdot \left( \ova{MK}+\ova{M\grG} \right)= 2\cdot 2\cdot \ova{M\grL}=4\cdot \ova{M\grL}$

Στο προηγούμενο παράδειγμα, πρόσεξε πώς αξιοποιούμε την ιδιότητα της διανυσματικής ακτίνας του μέσου για να «συμπτύξουμε» αθροίσματα της μορφής $\ova{MA}+\ova{MB }$ . Για την ευκολία μας θα αντικαθιστούμε αθροίσματα τέτοιας μορφής με το διπλάσιο της αντίστοιχης διαμέσου του τριγώνου που σχηματίζουν.

Παράδειγμα 5

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ε της πλευράς ΑΓ τέτοιο, ώστε

$AE =\dfrac{3}{5}A\grG .$

Αν Δ είναι σημείο της διαμέσου ΑΜ τέτοιο, ώστε ΑΔ=3ΔΜ, να δείξετε ότι

$B\grD =\dfrac{5}{8}BE$

και ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά.

Λύση

Επειδή τα $\ova{AE}\uparrow\uparrow\ova{A\grG}$ η αντίστοιχη δοθείσα σχέση μπορεί να γραφεί διανυσματικά ως: $\ova{AE}=\dfrac{3}{5}\ova{A\grG}$ . Όμοια έχουμε: $\ova{A\grD}=3\ova{\grG M}=\dfrac{3}{4}\ova{AM}$ . Το ζητούμενο γράφεται, για τον ίδιο λόγο, $\ova{B\grD}=\dfrac{5}{8}\ova{BE}$ . Έχουμε λοιπόν, με την βοήθεια του σχήματος:

$\ova{B\grD}=\ova{A\grD}-\ova{AB}=\dfrac{3}{4}\ova{AM}-\ova{AB}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{\ova{AB}+\ova{A\grG}}{2}-\ova{AB}=$

$=\dfrac{3}{8}\ova{A\grG}-\dfrac{5}{8}\ova{AB}=\dfrac{1}{8}\left(3\ova{A\grG}-5\ova{AB}\right)\;\;(1)$

Ακόμη έχουμε:

$\ova{BE}=\ova{AE}-\ova{AB}=\dfrac{3}{5}\ova{A\grG}-\ova{AB}=\dfrac{1}{5}\left(3\ova{A\grG}-5\ova{AB}\right)\;\;(2)$

Από (1) και (2) προκύπτει ότι $\ova{B\grD}=\dfrac{5}{8}\ova{BE}$ , οπότε $\ova{B\grD}\parallel\ova{BE}$ , και επειδή τα δύο διανύσματα έχουν κοινό σημείο το Β, τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά.

Β τρόπος

Είναι $\ova{AE}=\dfrac{3}{5}\ova{A\grG}$ διότι τα $\ova{AE}$ και $\ova{A\grG}$ είναι ομόρροπα. Επιλέγουμε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα π.χ $\ova{AB}=\ova{\alpha }$ και $\ova{A\grG}=\ova{\beta }$ συναρτήσει των οποίων θα εκφράσουμε όλα τα διανύσματα που θα χρησιμοποιήσουμε. Μη ξεχνάς ότι κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων. Έχουμε δηλαδή ότι $\ova{AE}=\dfrac{3}{5}\ova{\beta }$ .

Έστω $\ova{A\grD}=\grk \cdot \ova{AM}$ (αφού $\ova{A\grD}\parallel\ova{AM}$ θα υπάρχει $\grk \in \mathbb{R^*}$ τέτοιο, ώστε $\ova{A\grD}=\grk \cdot \ova{AM}$ ). Οπότε

$\ova{A\grD}&=\grk \cdot \left( \dfrac{\ova{AB}+\ova{A\grG}}{2} \right)\\ &=\grk \cdot \dfrac{\ova{\alpha }+\ova{\beta }}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}\grk \cdot \ova{\alpha }+\dfrac{1}{2}\grk \cdot \ova{\beta }$

Έστω $\ova{B\grD}=\grl \cdot \ova{BE}\,\,\,\grl \in\mathbb{R^*}$ ( $\ova{B\grD}\parallel\ova{BE}$ ). Έχουμε

$\ova{B\grD}=\grl \cdot (\ova{BA}+\ova{AE})=\grl \cdot \left( -\ova{\alpha }+\dfrac{3}{5}\ova{\beta } \right)=-\grl \ova{\alpha }+\dfrac{3\grl}{5} \ova{\beta }$

Από τη σχέση $\ova{AB}+\ova{B\grD}+\ova{\grD A}=\ova{0}$ έχουμε:

$\ova{\gra}-\grl \ova{\alpha }+\dfrac{3\grl}{5}\ova{\beta }-\dfrac{1}{2}\grk \ova{\alpha }-\dfrac{1}{2}\grk \ova{\beta }=\ova{0}\Leftrightarrow$

$\ova{\alpha }\cdot \left( 1-\grl -\dfrac{\grk }{2} \right)+\ova{\beta }\cdot \left( \dfrac{3\grl}{5}-\dfrac{1}{2}\grk \right)=\ova{0}\Leftrightarrow$

$\begin{cases} 1-\grl -\dfrac{\grk }{2}=0 \\ \dfrac{3\grl }{5}-\dfrac{1}{2}\grk =0 \\ \end{cases}\Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow \grl =\dfrac{5}{8}$ . Άρα $\ova{B\grD}=\dfrac{5}{8}\ova{BE}$ δηλαδή $\ovaaw{B\grD }\parallel\ova{BE}$ οπότε τα Α, Β, Ε είναι συνευθειακά.

Μέθοδος γραμμικού συνδυασμού

Ορίσαμε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα σαν «βάση» και εκφράσαμε όλα τα διανύσματα που μας ενδιαφέρουν συναρτήσει αυτών. Κατόπιν θεωρώντας το άθροισμα $\ova{AB}+\ova{B\grD}+\ova{\grD A }=\ova{0}$ δημιουργήσαμε μία τελική εξίσωση της μορφής $\grk \ova{\alpha }+\grl \ova{\beta }=\ova{0}$ . Αν ένας από τους κ ή λ ήταν διαφορετικός του 0 π.χ έστω το κ τότε η σχέση θα μπορούσε να πάρει τη μορφή $\ova{\beta }=-\dfrac{\grl }{\grk }\ova{\alpha }$ δηλ. τα $\ova{\alpha }\parallel\ova{\beta }$ θα ήταν συγγραμμικά που είναι άτοπο. Άρα $\grk = \grl = 0.$ Η λύση του συστήματος μας οδηγεί στην εύρεση των παραμέτρων του συστήματος. Όπως είναι φανερό στο πρόβλημα μπορούμε να εισάγουμε το πολύ 2 παραμέτρους

Παράδειγμα 6

Αν Δ σημείο του ευθ. τμήματος ΑΒ τέτοιο ώστε $5A\grD=2\grD B$ και Ο τυχαίο σημείο του επιπέδου με $\ova{OA}=\ova{\gra}$ και $\ova{OB}=\ova{\grb}$ , να εκφράσετε το διάνυσμα $\ova{O\grD}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\ova{\gra }$ και $\ova{\grb }$

Λύση

Η δεδομένη σχέση $5A\grD=2\grD B$ , επειδή τα διανύσματα $\ova{A\grD}$ και $\ova{\grD B}$ είναι ομόρροπα, μπορεί να γραφεί ως $5\ova{A\grD}=2\ova{\grD B}$ (1). Αναλύουμε την (1) με βάση τις διανυσματικές ακτίνες κι έχουμε:

$5\left(\ova{O\grD}-\ova{OA}\right)=2\left(\ova{OB}-\ova{O\grD}\right)$ ή $5\ova{O\grD}-5\ova{OA}=2\ova{OB}-2\ova{O\grD}$ ή

$7\ova{O\grD}=5\ova{OA}+2\ova{OB}$ ή $\ova{O\grD}=\dfrac{5\ova{\grA}+2\ova{\grB}}{7}$

Παράδειγμα 7

Αν ισχύει $\ova{OA}-8\ova{OB}+5\ova{O\grG}=\ova{0}$

Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
Να βρείτε τη σχετική θέση των σημείων Α, B, Γ.

Λύση

Αναλύουμε τον δεύτερο όρο της παράστασης, ώστε να παρουσιάσουμε συντελεστές ίδιους με αυτούς των άλλων όρων. Έτσι έχουμε:

$3\ova{OA}-8\ova{OB}+5\ova{O\grG}=\ova{0}\Leftrightarrow 3\ova{OA}-3\ova{OB}-5\ova{OB}+5\ova{O\grG}=\ova{0}\Leftrightarrow$

$\begin{align*} &3\left(\ova{OA}-\ova{OB}\right)-5\left(\ova{OB}-\ova{O\grG}\right)=\ova{0}\Leftrightarrow\\ &3\ova{BA}-5\ova{\grG B}=\ova{0}\Leftrightarrow \ova{BA}=\dfrac{5}{3}\ova{\grG B}\Leftrightarrow\\ \ova{BA}\uparrow\uparrow \ova{\grG B} \end{align*}$

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα