Πολλαπλασιασμός βαθμωτού επί διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός βαθμωτού επί διάνυσμα

Ορισμός

Έστω \pmb{\grl} ένας πραγματικός αριθμός με \pmb{\grl \ne 0} και \pmb{\vec{\alpha }} ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λ επί το \vec{\alpha } και το συμβολίζουμε με \pmb{\grl \cdot \vec{\alpha }} ή \pmb{\grl \vec{\alpha }} ένα διάνυσμα το οποίο:

  • είναι ομόρροπο του \pmb{\vec{\alpha }}, αν \pmb{\grl >0} και αντίρροπο του \pmb{\vec{\alpha }}, αν \pmb{\grl <0} και
  • έχει μέτρο \pmb{|\grl |\cdot|\vec{\alpha }|}.

Για παράδειγμα δες το παρακάτω σχήμα.

Αν είναι \pmb{\grl =0} ή \pmb{\vec{\alpha }=\vec{0}}, τότε ορίζουμε ως \pmb{\grl \cdot \vec{\alpha }} το μηδενικό διάνυσμα \pmb{\vec{0}}.

Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα

  1. \pmb{\grl (\vec{\alpha }+\vec{\beta })=\grl \vec{\alpha }+\grl \vec{\beta }}
  2. \pmb{(\grl +\grm )\vec{\alpha }=\grl \vec{\alpha }+\grm \vec{\alpha }}
  3. \pmb{\grl (\grm \vec{\alpha })=(\grl \grm )\vec{\alpha }}

 

Συνέπειες του ορισμού και των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα

Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε:

  1. \pmb{\grl \vec{\alpha }=\vec{0}\Leftrightarrow \grl =0} ή \pmb{\vec{\alpha }=\vec{0}}
  2. \pmb{(-\grl \vec{\alpha })=\grl (-\vec{\alpha })=-(\grl \vec{\alpha })}
  3. \pmb{\grl (\vec{\alpha }-\vec{\beta })=\grl \vec{\alpha }-\grl \vec{\beta }}
  4. \pmb{(\grl -\grm )\vec{\alpha }=\grl \vec{\alpha }-\grm \vec{\alpha }}
  5. Αν \pmb{\grl \vec{\alpha }=\grl \vec{\beta }} και \pmb{\grl \ne 0}, τότε \pmb{\vec{\alpha }=\vec{\beta }}
  6. Αν \pmb{\grl \vec{\alpha }=\grm \vec{\alpha }} και \pmb{\vec{\alpha }\ne \vec{0}}, τότε \pmb{\grl =\grm }.

Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων \pmb{\vec{\alpha }} και \pmb{\vec{\beta }} ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής \pmb{\vec{v}=\grk \vec{\alpha }+\grl \vec{\beta }}, όπου \pmb{\grk,\,\grl \in \mathbf{R}}.
Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων, οπότε θα έχουμε \pmb{\vec{v}=\grk\cdot\vec{\gra}+\grl\cdot\vec{\grb}+\grm\cdot\vec{\grg}}, όπου \pmb{\grk,\,\grl,\,\grm \in\mathbb{R}}

Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

Θεώρημα

Αν \pmb{\vec{\alpha },\vec{\beta }} είναι δύο διανύσματα, με \pmb{\vec{\beta }\ne \vec{0}}, τότε \pmb{\vec{\alpha }\parallel \vec{\beta }\Leftrightarrow \vec{\alpha }=\grl \vec{\beta }}, \pmb{\grl \in \mathbf{R}}.

  • Αν \pmb{\vec{\alpha }\uparrow \uparrow \vec{\beta }}, τότε \pmb{\vec{\alpha }=\grk \vec{\beta }}, όπου κ θετικός πραγματικός αριθμός
  • Αν \pmb{\vec{\alpha }\uparrow \downarrow \vec{\beta }}, τότε \pmb{\vec{\alpha }=-\grk \vec{\beta }}, όπου κ θετικός πραγματικός αριθμός.

Διανυσματική ακτίνα μέσου διανύσματος

Πρόταση

Ας πάρουμε ένα διάνυσμα \ova{AB}}, και ένα σημείο αναφοράς Ο. Για τη διανυσματική ακτίνα \ova{OM}} του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ έχουμε:

    \[\pmb{\ova{OM}=\dfrac{\ova{OA}+\ova{OB}}{2}}.\]

Απόδειξη

Είναι \ova{OM}=\ova{OA}+\ova{AM} \ova{OM}=\ova{OB}+\ova{BM}

Προσθέτουμε κατά μέλη και προκύπτει 2\ova{OM}=\ova{OA}+{\color{red}\ova{AM}}+\ova{OB}+{\color{red}\ova{BM}} =\ova{OA}+\ova{OB}. Άρα

    \[\ova{OM}=\dfrac{\ova{OA}+\ova{OB}}{2}\]

\color{red}\ova{AM}}+{\color{red}\ova{BM}}=\vec{0} (\ova{AM} και \ova{BM} αντίθετα)

Share This