Πολλαπλασιασμός βαθμωτού επί διάνυσμα

Ορισμός

Έστω $\pmb{\grl}$ ένας πραγματικός αριθμός με $\pmb{\grl \ne 0}$ και $\pmb{\vec{\alpha }}$ ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λ επί το $\vec{\alpha }$ και το συμβολίζουμε με $\pmb{\grl \cdot \vec{\alpha }}$ ή $\pmb{\grl \vec{\alpha }}$ ένα διάνυσμα το οποίο:

είναι ομόρροπο του $\pmb{\vec{\alpha }}$ , αν $\pmb{\grl >0}$ και αντίρροπο του $\pmb{\vec{\alpha }}$ , αν $\pmb{\grl <0}$ και
έχει μέτρο $\pmb{|\grl |\cdot|\vec{\alpha }|}$ .

Για παράδειγμα δες το παρακάτω σχήμα.

Αν είναι $\pmb{\grl =0}$ ή $\pmb{\vec{\alpha }=\vec{0}}$ , τότε ορίζουμε ως $\pmb{\grl \cdot \vec{\alpha }}$ το μηδενικό διάνυσμα $\pmb{\vec{0}}$ .

Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα

$\pmb{\grl (\vec{\alpha }+\vec{\beta })=\grl \vec{\alpha }+\grl \vec{\beta }}$
$\pmb{(\grl +\grm )\vec{\alpha }=\grl \vec{\alpha }+\grm \vec{\alpha }}$
$\pmb{\grl (\grm \vec{\alpha })=(\grl \grm )\vec{\alpha }}$

Συνέπειες του ορισμού και των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα

Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε:

$\pmb{\grl \vec{\alpha }=\vec{0}\Leftrightarrow \grl =0}$ ή $\pmb{\vec{\alpha }=\vec{0}}$
$\pmb{(-\grl \vec{\alpha })=\grl (-\vec{\alpha })=-(\grl \vec{\alpha })}$
$\pmb{\grl (\vec{\alpha }-\vec{\beta })=\grl \vec{\alpha }-\grl \vec{\beta }}$
$\pmb{(\grl -\grm )\vec{\alpha }=\grl \vec{\alpha }-\grm \vec{\alpha }}$
Αν $\pmb{\grl \vec{\alpha }=\grl \vec{\beta }}$ και $\pmb{\grl \ne 0}$ , τότε $\pmb{\vec{\alpha }=\vec{\beta }}$
Αν $\pmb{\grl \vec{\alpha }=\grm \vec{\alpha }}$ και $\pmb{\vec{\alpha }\ne \vec{0}}$ , τότε $\pmb{\grl =\grm }$ .

Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων $\pmb{\vec{\alpha }}$ και $\pmb{\vec{\beta }}$ ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής $\pmb{\vec{v}=\grk \vec{\alpha }+\grl \vec{\beta }}$ , όπου $\pmb{\grk,\,\grl \in \mathbf{R}}$ .

Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων, οπότε θα έχουμε $\pmb{\vec{v}=\grk\cdot\vec{\gra}+\grl\cdot\vec{\grb}+\grm\cdot\vec{\grg}}$ , όπου $\pmb{\grk,\,\grl,\,\grm \in\mathbb{R}}$

Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

Θεώρημα

Αν $\pmb{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ είναι δύο διανύσματα, με $\pmb{\vec{\beta }\ne \vec{0}}$ , τότε $\pmb{\vec{\alpha }\parallel \vec{\beta }\Leftrightarrow \vec{\alpha }=\grl \vec{\beta }}$ , $\pmb{\grl \in \mathbf{R}}$ .

Αν $\pmb{\vec{\alpha }\uparrow \uparrow \vec{\beta }}$ , τότε $\pmb{\vec{\alpha }=\grk \vec{\beta }}$ , όπου κ θετικός πραγματικός αριθμός
Αν $\pmb{\vec{\alpha }\uparrow \downarrow \vec{\beta }}$ , τότε $\pmb{\vec{\alpha }=-\grk \vec{\beta }}$ , όπου κ θετικός πραγματικός αριθμός.