Πολλαπλασιασμός βαθμωτού επί διάνυσμα

Ορισμός
Έστω
ένας πραγματικός αριθμός με
και
ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λ επί το
και το συμβολίζουμε με
ή
ένα διάνυσμα το οποίο:






- είναι ομόρροπο του
, αν
και αντίρροπο του
, αν
και
- έχει μέτρο
.
Για παράδειγμα δες το παρακάτω σχήμα.
Αν είναι ή
, τότε ορίζουμε ως
το μηδενικό διάνυσμα
.
Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα
Συνέπειες του ορισμού και των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα
Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε:
-
ή
-
-
-
- Αν
και
, τότε
- Αν
και
, τότε
.
Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων
και
ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής
, όπου
.




Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων, οπότε θα έχουμε
, όπου 


Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων
Θεώρημα
Αν είναι δύο διανύσματα, με
, τότε
,
.
- Αν
, τότε
, όπου κ θετικός πραγματικός αριθμός
- Αν
, τότε
, όπου κ θετικός πραγματικός αριθμός.
Διανυσματική ακτίνα μέσου διανύσματος
Πρόταση
Ας πάρουμε ένα διάνυσμα και ένα σημείο αναφοράς Ο. Για τη διανυσματική ακτίνα
του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ έχουμε:
Απόδειξη
Είναι


Προσθέτουμε κατά μέλη και προκύπτει
Άρα



