Άθροισμα διανυσμάτων

Άθροισμα (σύνθεση) διανυσμάτων

Άθροισμα συγγραμμικών διανυσμάτων

Όταν τα διανύσματα είναι ομόρροπα

Αν δύο διανύσματα $\pmb{\ova{u}\,\kai\,\ova{v}}$ είναι ομόρροπα ( $\pmb{\ova{u}\uparrow\uparrow\ova{v}}$ ) για να τα προσθέσουμε τα κάνουμε διαδοχικά, δηλαδή το πέρας του ενός είναι αρχή για το άλλο. Το παρακάτω βίντεο δείχνει την διαδικασία.

Στο παρακάτω σχήμα δείχνουμε το άθροισμα δύο ομόρροπων διανυσμάτων από φυσική άποψη. Αν το ρεύμα ενός ποταμού έχει ταχύτητα $\pmb{v_{\grp}}$ και μια βάρκα πλέει με ταχύτητα $\pmb{v_{\grb}}$ . προς τη φορά του ρεύματος του ποταμού,, τότε ένας παρατηρητής στην όχθη παρατηρεί ότι η βάρκα πλέει με ταχύτητα $\pmb{v_\grp}+}\pmb{v_{\grb}}$ . Δες το επόμενο σχήμα.

Όταν τα διανύσματα είναι αντίρροπα

Στο παρακάτω σχήμα δείχνουμε το άθροισμα δύο αντίρροπων διανυσμάτων από φυσική άποψη. Αν το ρεύμα ενός ποταμού έχει ταχύτητα $\pmb{v_{\grp}}$ και μια βάρκα πλέει με ταχύτητα $\pmb{v_{\grb}}$ . αντίθετα με τη φορά του ρεύματος του ποταμού,, τότε ένας παρατηρητής στην όχθη παρατηρεί ότι η βάρκα πλέει με ταχύτητα $\pmb{v_\grb}+}\pmb{v_{\grp}}$ . Δες το επόμενο σχήμα.

Έστω δύο διανύσματα $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb }}$ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα $\pmb{\ova{OA}=\vec{\gra}}$ και στη συνέχεια με αρχή το Α παίρνουμε διάνυσμα $\pmb{\ova{AM}=\vec{\grb }}$ . Το διάνυσμα $\pmb{\ova{OM}},$ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb }}$ και συμβολίζεται με

$\pmb{\vec{\gra}+\vec{\grb }}.$

Το άθροισμα των διανυσμάτων $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb }}$ είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο.

Το άθροισμα διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί και με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου. Με αρχή ένα σημείο Ο του επιπέδου παίρνουμε τα διανύσματα $\pmb{\ova{OA}=\vec{\gra}}$ και $\pmb{\ova{OB}=\vec{\grb}}$ και κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΟΑΜΒ. Ισχύει ότι

$\pmb{\vec{\gra}+\vec{\grb }=\ova{OM} }$

Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων

$\pmb{\vec{a}+\vec{\grb }=\vec{\grb }+\vec{\gra}}$ (Αντιμεταθετική ιδιότητα)>
$\pmb{(\gra+\vec{\grb })+\vec{\gamma }=\vec{\gra}+(\vec{\grb }+\vec{\gamma })}$ (Προσεταιριστική ιδιότητα)
$\pmb{\vec{\gra}+\vec{0}=\vec{\gra}}$ (το $\pmb{\vec{0}}$ είναι το μηδενικό διάνυσμα)
$\pmb{\vec{\gra}+(-\vec{\gra})=\vec{0}}$ (Το $\pmb{-\vec{\gra}}$ είναι το αντίθετο διάνυσμα του $\pmb{\vec{\gra}}$ )

Αφαίρεση διανυσμάτων

Η διαφορά $\pmb{\vec{\gra}-\vec{\grb }}$ του διανύσματος $\pmb{\vec{\grb }}$ από το διάνυσμα $\pmb{\vec{\gra}}$ ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{-\vec{\grb }}$ . Δηλαδή

$\pmb{\vec{\gra}-\vec{\grb }=\vec{\gra}+(-\vec{\grb })}$

Διάνυσμα θέσης σημείου ή διανυσματική ακτίνα σημείου

Για κάθε σημείο Μ του επιπέδου ορίζεται το διάνυσμα $\pmb{\ova{OM }}$ (όπου Ο ένα σταθερό σημείο του επιπέδου) το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του επιπέδου, λέγεται σημείο αναφοράς στο επίπεδο.

Θεώρημα

Κάθε διάνυσμα στο επίπεδο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής, δηλαδή $\pmb{\ova{AB}=\ova{OB}-\ova{OA}}$

Απόδειξη

Αν Ο σημείο αναφοράς, τότε για κάθε διάνυσμα $\pmb{\ova{AB}}$ ισχύει $\pmb{\ova{OA}+\ova{AB}=\ova{OB}}.$ Επομένως είναι $\pmb{\ova{OB}-\ova{OA}=\ova{AB}}$

Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων

Θεώρημα

Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα του χώρου $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb }}$ ισχύει $\pmb{\left| |\vec{\gra}|-|\vec{\grb }| \right|\le |\vec{\gra}+\vec{\grb }|\le |\vec{\gra}|+|\vec{\grb }|}$

Απόδειξη

Στο τρίγωνο $\pmb{OAB}$ εφαρμόζουμε την τριγωνική ανισότητα οπότε έχουμε $\pmb{\left| OA-AB \right|\le OB \le OA+AB}$ και επομένως έχουμε $\pmb{\left| |\vec{\gra}|-|\vec{\grb }| \right|\le |\vec{\gra}+\vec{\grb }|\le |\vec{\gra}|+|\vec{\grb }|}$

μερικές επισημάνσεις

Η $\pmb{\left| \left| \vec{\gra} \right|-\left| \vec{\grb } \right| \right|=\left| \vec{\gra}+\vec{\grb } \right|}$ ισχύει όταν $\vec{\gra}\uparrow \downarrow \vec{\grb }$ (αντίρροπα)
Η $\pmb{\left| \vec{\gra}+\vec{\grb } \right|=\left| \vec{\gra} \right|+\left| \vec{\grb } \right|}$ ισχύει όταν $\vec{\gra}\uparrow \uparrow \vec{\grb }$ (ομόρροπα)
Για το μέτρο τριών ή περισσότερων διανυσμάτων ισχύει $\pmb{\left| \ova{{{\gra}_{1}}}+\ova{{{\gra}_{2}}}+\cdots +\ova{{{\gra}_{\nu }}} \right|\le \left| \ova{{{\gra}_{1}}} \right|+\left| \ova{{{\gra}_{2}}} \right|+\cdots +\left| \ova{{{\gra}_{\nu }}} \right|}$

Στην παρακάτω δραστηριότητα να γράψετε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και της αφαίρεσης διανυσμάτων.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα