Βασικές έννοιες- Ορισμοί

Εισαγωγικές έννοιες

Στη Φυσική, όπως γνωρίζουμε, υπάρχουν μεγέθη όπως η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, τα οποία προσδιορίζονται από το μέτρο τους και την αντίστοιχη μονάδα μέτρησής τους.

Μονόμετρα ή βαθμωτά λέγονται τα μεγέθη τα οποία προσδιορίζονται από το μέτρο τους και από την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης.

Υπάρχουν όμως και μεγέθη, όπως είναι η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η μετατόπιση, η μαγνητική επαγωγή κτλ., που για να τα προσδιορίσουμε, εκτός από το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης, χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τη φορά τους.

Διανυσματικά μεγέθη ή απλώς διανύσματα λέγονται τα μεγέθη τα οποία για να τα προσδιορίσουμε, εκτός από το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης, χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τη φορά τους.

Το διάνυσμα παριστάνεται με ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος.

Το διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β παριστάνεται με ένα βέλος, που ξεκινάει από το Α και καταλήγει στο Β συμβολίζεται, δηλαδή με $\pmb{\ova{AB}}$ .
Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα $\pmb{\ova{AB}}$ λέγεται φορέας του $\pmb{\ova{AB}}$

Μηδενικό διάνυσμα

Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή το διάνυσμα $\pmb{\ova{AA}=\ova{0}}$ είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Μέτρο ή μήκος διανύσματος

Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος , δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος και συμβολίζεται με $\pmb{|\ova{AB}|}$ . Αν το διάνυσμα $\pmb{\vec{\gra}}$ έχει μέτρο 1, τότε λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα.

Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα

Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα $\pmb{\vec{\gra}}$ λέγεται φορέας του $\pmb{\vec{\gra}}$ .
Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος μπορούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο Α.
Αν ο φορέας ενός διανύσματος $\pmb{\vec{\gra}}$ είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια ευθεία (ε), τότε λέμε ότι το $\pmb{\vec{\gra}}$ είναι παράλληλο προς την (ε) και γράφουμε
$\pmb{\vec{\gra}||(\gre)}.$

Κάθε ευθεία παράλληλη στον φορέα ενός διανύσματος (καθώς και ο ίδιος ο φορέας) λέγεται διεύθυνση του διανύσματος

Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb}}$ , που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb}}$ έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε $\pmb{\ova{\gra}//\ova{\grb}}$ .

Στο επόμενο σχήμα τα διανύσματα $\pmb{\vec{\gra}},\,\pmb{\vec{\grb}},\,\pmb{\vec{\grg}},\, \pmb{\vec{\grd}}\,\kai\,\pmb{\vec{\gre}}$ είναι συγγραμμικά.

Ομόρροπα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\pmb{\ova{AB}}$ και $\pmb{\ova{\grG\grD}}$ λέγονται ομόρροπα:

α) Όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή

β) Όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα $\pmb{\ova{AB}}}$ και $\pmb{\ova{\grG\grD}}$ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε $\pmb{\vec{u}\uparrow\uparrow \vec{v}}$ .

Πιο απλά τα ομόρροπα διανύσματα, είναι παράλληλα (συγγραμμικά) και “βλέπουν” προς την ίδια μεριά.

Αντίρροπα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\pmb{\ova{AB}}}$ και $\pmb{\ova{\Gamma \Delta }}}$ λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα. Με άλλα λόγια λέγονται αντίρροπα όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ΑΓ, που ενώνει τις αρχές τους.Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα $\pmb{\ova{AB}}}$ και $\pmb{\ova{\Gamma \Delta }}}$ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε $\pmb{\ova{u}},\uparrow \downarrow \ova{v }}}$ .

Πιο απλά τα αντίρροπα διανύσματα, είναι παράλληλα (συγγραμμικά) και “βλέπουν” προς την αντίθετη μεριά.

Ίσα διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\pmb{\ova{\gra}}$ και $\pmb{\ova{\grb}}$ λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα και γράφουμε $\pmb{\ova{\gra}}=\pmb{\ova{\grb}}$ .

Στο επόμενο σχήμα είναι $\bf{\ova{AB}=\ova{\grG\grD}}$

Αν $\pmb{\ova{AB}=\ova{\grG\grD}}$ , τότε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο (γιατί έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες) επομένως ισχύουν:

$\pmb{\ova{A\grG}=\ova{B\grD}}$ , $\pmb{\ova{\grD B}=\ova{\grG A}}$ και $\pmb{\ova{BA}=\ova{\grD\grG}}$ .

Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε $\pmb{\ova{AM}=\ova{MB}}$ ή $\pmb{\ova{AM}=-\ova{BM}}$ . Αντίστροφα αν $\pmb{\ova{AM}=\ova{MB}}$ , τότε το Μ είναι το μέσο του $\pmb{\ova{AB}}$

Αντίθετα διανύσματα

Δύο διανύσματα $\vec{\gra}=\ova{AB}$ και $\vec{\grb}=\ova{\grG\grD}$ λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Ισχύει, δηλαδή $\vec{\gra}=-\vec{\grb}$ ή $\ova{AB}=-\ova{\grG\grD}=\ova{\grD\grG}$

Εδώ να θυμηθούμε ότι το διάνυσμα παριστάνεται με ένα προσανατολισμένο ευθ. τμήμα. Αυτό σημαίνει ότι το προσανατολισμένο τμήμα ΑΒ (αρχή το Α και πέρας το Β) είναι διαφορετικό από το ΒΑ (αρχή το Β και πέρας το Α). Επομένως το διάνυσμα $\ova{AB}$ είναι διαφορετικό από το $\ova{BA}$ . Είναι μάλιστα αντίθετα, με άλλα λόγια $\ova{AB}=-\ova{BA}$ (δες το παραπάνω σχήμα)

Γωνία δύο διανυσμάτων

Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb}}$ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα $\pmb{\ova{OA}=\vec{\gra}}$ και $\pmb{\ova{OB}=\vec{\grb}}$ . Την κυρτή γωνία $\pmb{\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}}$ ,που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων $\pmb{\vec{\gra}}$ και $\pmb{\vec{\grb}}$ και τη συμβολίζουμε με $\pmb{(\overset{\wedge }{\mathop{\vec{\gra},\vec{\grb}}})}$ ή $\pmb{(\overset{\wedge }{\mathop{\vec{\grb},\vec{\gra}}})}$ . Ισχύει ότι $\pmb{{{0}^{o}}\le \theta \le {{180}^{o}}}$ και ειδικότερα:

$\pmb{\theta =0}$ , αν $\pmb{\vec{\gra}\uparrow\uparrow \vec{\grb}}$ .
$\pmb{\theta =\pi}$ , αν $\pmb{\vec{\gra }\uparrow \downarrow \vec{\grb }}$
Αν $\pmb{\theta =\dfrac{\pi }{2}}$ , τότε λέμε ότι τα διανύσματα $\pmb{\vec{\gra }}$ και $\pmb{\vec{\grb}}$ είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε
$\pmb{\vec{\gra}\bot\vec{\grb}}.$
Το μηδενικό διάνυσμα, $\pmb{\vec{0}}$ , θεωρείται ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.

Προεκτάσεις στη Φυσική

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα