Άσκηση 15

από | 1 Νοέ,2017 | 0 Σχόλια

Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα \grD=[0,1], παραγωγίσιμη με συνεχή την f' στο [-1,0], για την οποία ισχύει

    \[f(0)=2 \kai \int_0^1\!\left(\dfrac{f'(x)}{x+2}-\dfrac{f(x)}{(x+2)^2}\right)\mathrm{d}x=0\]

α)
Να αποδείξετε ότι f(1)=3
β)
Να αποδείξετε ότι \int_0^1\!f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1\!(3-x)f'(x)\mathrm{d}x
γ)
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x_o\in(0,1) τέτοιο, ώστε f'(x_o)=\dfrac{2}{5}\bigintsss_0^1\!f(x)\mathrm{d}x