Τετραγωνικές ρίζες

Τετραγωνικές ρίζες

Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού $x$ ( $\color{red}\bf\large x\geq0$ ) συμβολίζεται με $\bf\large\sqrt{x}$ και είναι ο μη αρνητικός αριθμός, που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x.

Συμβολικά γράφουμε:

$\color{blue}\sqrt{\gra}=\grb \ann \grb^2=\gra,\,\;\gra\geq 0,\,\grb\geq 0$

Παραδείγματα

$\color{blue}\bf\large \sqrt{36}=6$	γιατί	$\color{blue}\bf\large 6^2=36$
$\color{blue}\bf\large\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$	γιατί	$\color{blue}\bf\large\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$
$\color{blue}\bf\large \sqrt{0,36}=0.6$	γιατί	$\color{blue}\bf\large {0,6}^2=0,36$
$\color{blue}\bf\large \sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}$	γιατί	$\color{blue}\bf\large \left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}$

Ισχύει :

$\boxed{\bf{\large{\color{red}{\sqrt{x^2}=|x|}}}}$

Παράδειγμα

$\color{blue}\bf{\large{ \sqrt{6^2}=|6|=6$ και $\color{blue}\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6.}}$

Αυτό που πρέπει να έχουμε υπόψη μας είναι ότι τετραγωνική ρίζα έχουν μόνο οι μη αρνητικοί αριθμοί, δηλαδή το υπόρριζο είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός και το αποτέλεσμα μιας τετραγωνικής ρίζας είναι πάντα θετικός αριθμός. ή μηδέν.

Άρρητοι αριθμοί

Άρρητος αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, μη μηδενικών αριθμών (μ/ν, όπου μ και ν είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί), σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων.

Για παράδειγμα οι αριθμοί $\bf \sqrt{3},\;\sqrt{5},\;\sqrt{15},\;\sqrt{12},\΄3+\sqrt{7},\;-5\sqrt{2}$ είναι άρρητοι. Αντίθετα οι αριθμοί $\sqrt{4}=2,\;\dfrac{3}{5},\;-\dfrac{2}{7},\;-\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=-\dfrac{4}{2}=-2$ είναι ρητοί.

“Διάσημος” άρρητος αριθμός στα μαθηματικά είναι ο $\color{red}\bf\large \pi$

Αν προσπαθήσεις να υπολογίσεις σε έναν calculator έναν άρρητο αριθμό, π.χ. τον $\sqrt{5}$ , τότε θα δεις ότι προκύπτουν δεκαδικά ψηφία (μη περιοδικά) και μάλιστα όσα περισσότερα μπορείς να φανταστείς. Για το $\bf\large\pi$ έχουν βρεθεί μερικά εκατομύρια δεκαδικά ψηφία με καμμιά περιοδικότητα. “Μερικά” από αυτά θα τα δεις εδώ

Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν σε μαγάλη εκτίμηση τους ρητούς αριθμούς, γιατί είχαν συγκεκριμένο μέγεθος, το οποίο μπορούσαν να κατασκευάσουν γεωμετρικά. Ο Πυθαγόρας και η σχολή του, δεν αναγνώριζαν άλλους αριθμούς παρά μόνο τους ρητούς. Για περισσότερες πληροφορίες εδώ

Γεωμετρική κατασκευή αρρήτων αριθμών

Στο παρακάτω σχήμα κατασκευάζουμε μερικούς άρρητους αριθμούς της μορφής $\bf\large{\sqrt{x}},\,\;x>0$ .

Μπορούμε να βρούμε τη θέση ενός άρρητου αριθμού στην ευθεία των πραγματικών αριθμών; Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική τους κατασκευή, στο προηγούμενο σχήμα, πράγματι μπορούμε να βρούμε την ακριβή τους θέση πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. θα δούμε στο επόμενο σχήμα, την εύρεση του $\bf\large\sqrt{3}$ πάνω στην ευθεία των πραγματικών.

Με τους άρρητους αριθμούς, ολοκληρώνεται η συμπλήρωση του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών

Αν $\bf\large x$ και $\bf\large y$ μη αρνητικοί τότε:

$\bf\large \sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y},\;x,y\geq 0$
$\bf\large\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\bf\large\sqrt{\dfrac{x}{y}},\;x\geq 0,\,y>0$

Απόδειξη

- Είναι $\bf\large A_{\grm}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\geq 0$ και $\bf\large B_{\grm}= {xy}\geq 0$ . Υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη της ισότητας, οπότε έχουμε:
  $A_{\grm}^2=\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\right)^2= x\cdot y\;\,\grm\gre\;x,\,y \geq 0,\;\;\kai$
  
  $B_{\grm}^2=\left(\sqrt {x\cdot y}\right)^2=x\cdot y\;\,\grm\gre\;x,\,y \geq 0$
  
  Οι μη αρνητικοί αριθμοί $\bf\large\sqrt{x\cdot y}$ και $\bf\large{\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}$ έχουν ίσα τετράγωνα, επομένως είναι ίσοι, άρα
  
  $\boxed{\color{blue}\bf\large \sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y},\;\;x,y\geq 0}$

Είναι $\bf\large A_{\grm}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\geq 0$ και $\bf\large B_{\grm}= \sqrt{\dfrac{x}{y}}\geq 0$ . Υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη της ισότητας, οπότε έχουμε:
$A_{\grm}^2=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right)^2= \dfrac{x}{y}\;\,\grm\gre\;x\geq 0,\,y>0\;\kai$

$B_{\grm}^2=\left(\sqrt{\dfrac{x}{y}}\right)^2=\dfrac{x}{y}\;\,\grm\gre\;x\geq 0,\,\,y>0$

Οι μη αρνητικοί αριθμοί $\bf\large\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ και $\bf\large\sqrt{\dfrac{x}{y}}$ έχουν ίσα τετράγωνα, επομένως είναι ίσοι, άρα

$\boxed{\color{blue}\bf\large\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\bf\large\sqrt{\dfrac{x}{y}},\;x\geq 0,\,y>0}$

Προσοχή! $\bf\Huge\sqrt{x+y}\neq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ με $x,\,y\geq 0$ .
Για παράδειγμα είναι $\bf\large\sqrt{16}+\sqrt{4}=4+2=6$ ενώ $\bf\large \sqrt{16+4}=\sqrt{20}\neq 6$

Απλοποίηση ριζικών

Για να απλοποιήσουμε ριζικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες που αποδείξαμε πιο πάνω αντίστροφα, δηλαδή:

$\bf\large \sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}\;\kai$

$\bf\large\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Σε όλες τις περιπτώσεις των παραδειγμάτων και ασκήσεων που ακολουθούν, θεωρούμε ότι οι μεταβλητές είναι μη αρνητικοί αριθμοί.

Οταν το υπόριζο σε ένα ριζικό είναι τέλειο τετράγωνο, τότε απλά το ριζικό απλοποιείται όπως στο $\bf\large \sqrt{x^2}=|x|$ . Για παράδειγμα $\sqrt{6^2}=|6|=6$ ενώ $\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$

Όταν το υπόριζο δεν είναι τέλειο τετράγωνο, αλλά έχει παράγοντα τέλειο τετράγωνο, τότε χρησιμοποιούμε την ιδιότητα του γινομένου. Για παράδειγμα:
Ας αναλύσουμε τη $\sqrt{50}$ . Έχουμε δύο τρόπους. Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο:

$\sqrt{50}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}$

περισσότερα

Εδώ η ανάλυση που κάναμε δεν βοηθάει $\bf\large\sqrt{50}=\sqrt{10\cdot 5}=\sqrt{10}\cdot\sqrt{5}$ αλλά $\bf\large\sqrt{50}=\sqrt{{\color{red}25}\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}={\color{red}5}\cdot\sqrt{2}$

Σε όλα τα παραδείγματα, οι μεταβλητές παριστάνουν μη αρνητικούς αριθμούς, δηλαδή θετικούς ή μηδέν

Παράδειγμα

$\sqrt18 =\sqrt{{\color{red}9}\cdot2}$	εμφανίζουμε ένα τέλειο τετράγωνο ως παράγοντα
$=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}$	μετατρέπoυμε σε γινόμενο ριζικών
$=3\sqrt{2}$	απλοποιούμε το τέλειο τετράγωνο

Παράδειγμα

$\sqrt{48x} =\sqrt{{\color{red}16}\cdot3x}$	βρίσκουμε έναν παράγοντα τέλειο τετράγωνο, εδώ είναι το 16.
$=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3x}$	μετατρέπoυμε σε γινόμενο ριζικών
$=4\sqrt{3x}$	Όπως έχουμε προαναφέρει, όλες οι μεταβλητές θεωρούνται ως μη αρνητικές, δηλαδή $\color{red}x\geq 0$

Παράδειγμα

$\sqrt{x^2y} =\sqrt{{\color{red}x^2}\cdot y}$	Βρίσκουμε έναν παράγοντα τέλειο τετράγωνο, εδώ είναι το $\color{red}x^2$ .
$=\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{y}$	μετατρέπoυμε σε γινόμενο ριζικών.
$=x\sqrt{y},\;x,\,y\geq 0$	Δεν είναι αναγκαία η απόλυτη τιμή ( $\color{red}\|x\|$ ), γιατί υποθέσαμε ότι $\color{red}x\geq 0$ . Αν δεν είχαμε το περιορισμό $\color{red}x\geq 0$ θα γράφαμε $\color{red}\|x\|\sqrt{y}$

Παράδειγμα

$\sqrt{20t^2} &=\sqrt{{\color{red}4\cdot t^2}\cdot 5}$	βρίσκουμε έναν παράγοντα τέλειο τετράγωνο, εδώ είναι το $\color{red}4$ και το $\color{red}t^2$ .
$=\sqrt{4}\sqrt{t^2}\cdot\sqrt{5}$	μετατρέπoυμε σε γινόμενο ριζικών
$=2t\sqrt{5},\;t\geq 0$	Δεν είναι αναγκαία η απόλυτη τιμή ( $\color{red}\|t\|$ ), γιατί υποθέσαμε ότι $\color{red}t\geq 0$ .Αν δεν είχαμε το περιορισμό $\color{red}t\geq 0$ θα γράφαμε $\color{red}2\|t\|\sqrt{5}$

Απλοποίηση ριζικών με δυνάμεις

Αν ο εκθέτης του υπορρίζου είναι άρτιος, τότε αναλύεται σε δύναμη υψωμένη στο τετράγωνο. Για παράδειγμα $\bf\large x^{6}=\left(x^3\right)^2,\;\,x^{10}=\left(x^5\right)^2$ . Τότε για κάθε $x\geq 0$ είναι:

$\sqrt{x^{\color{red}10}}=\sqrt{\left(x^5\right)^{\color{red}2}}}=x^{\color{red}5}$

Παρατηρούμε ότι μπορούμε να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα παίρνοντας το μισό του εκθέτη του υπορρίζου.

$\sqrt{x^{\color{red}6}}=\sqrt{\left(x^3\right)^{\color{red}2}}=x^{\color{red}3}$

Το μισό του 6 είναι το 3

Αν ο εκθέτης του υπορρίζου είναι περιττός, τότε αναλύεται σε γινόμενο επί δύναμη υψωμένη στο τετράγωνο. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα:

$\sqrt{x^5} &=\sqrt{{\color{red}x^4}\cdot x},\;x\geq 0$	Το $x^4$ είναι ο μεγαλύτερος παράγοντας-τέλειο τετράγωνο του $x^5$
$=\sqrt{\color{red}x^4}\cdot\sqrt{x}$	μετατρέπoυμε σε γινόμενο ριζικών.
$=x^2\sqrt{x},\;x\geq 0$	Εξάγουμε την τετραγωνική ρίζα

Διαιρώντας παραστάσεις με ριζικά

Στην περίπτωση αυτή θα κάνουμε χρήση της ιδιότητας

$\bf\large\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\bf\large\sqrt{\dfrac{x}{y}},\;x\geq 0,\,y>0$

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1) $\dfrac{\color{red}\sqrt{25}}{\color{red}\sqrt{16}}=\dfrac{5}{4}$ , αφού $\sqrt{25}=5\,\kai\,\sqrt{16}=4$ αντίστοιχα έχουμε:
${\color{red}\sqrt{\dfrac{25}{16}}}=\dfrac{5}{4}$ , διότι $\left(\dfrac{5}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}$

2) $\dfrac{\color{red}\sqrt{27}}{\color{red}\sqrt{3}}={\color{red}\sqrt{\dfrac{27}{3}}}=\sqrt{9}=3$

3) $\dfrac{\color{red}\sqrt{8x^7}}{\color{red}\sqrt{2x}}={\color{red}\sqrt{\dfrac{8x^7}{2x}}}=\sqrt{4x^6}=\sqrt{(2x^3)^2}=2x^3,\;\,x>0$

4)
$\sqrt{\dfrac{18}{50}}=\sqrt{\dfrac{9\cdot\cancel{2}}{25\cdot\cancel{2}}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$

5)
$\sqrt{\dfrac{48x^3}{3x^7}}=\sqrt{\dfrac{16\cdot\cancel{3x^3}}{x^4\cdot\cancel{3x^3}}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4}}=\dfrac{4}{x^2},\;\,x>0$

Τώρα προσπάθησε να λύσεις τις ασκήσεις που ακολουθούν και όπου δυσκολευτείς πίεσε την βοήθεια.

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις με ριζικά:

i)
Συμπλήρωσε τα κενά: $\sqrt{32}=\sqrt{\left(\;\right)^2\cdot2}=\sqrt{\left(\;\right)^2}\cdot\sqrt{\dots}=\boxed{\dots}\sqrt{\left\dots}$

Βοήθεια για την i)

ii)
$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}$

Βοήθεια για την ii)

iii)
$\dfrac{\sqrt{27x^3}}{\sqrt{12x}},\;\,x>0$

Βοήθεια για την iii)

iv)

$\dfrac{\sqrt{27x}}{\sqrt{32x^3}},\;\,x>0$

Βοήθεια για την iv)

Ρητοποίηση κλασμάτων

Γενικά όταν έχουμε κλάσμα με παρονομαστή άρρητο (δηλαδή υπάρχει ριζικό αριθμού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο), τότε για να μπορέσουμε να εργαστούμε αλγεβρικά μετατρέπουμε τον παρονομαστή σε ρητό. Την διαδικασία αυτή θα την ονομάσουμε ρητοποίηση κλάσματος. Η τεχνική βασίζεται στο δικαίωμά μας να πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αριθμό, παρονομαστή και αριθμητή του κλάσματος. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα:

1) $\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
2) $\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$

Τώρα λύσε τις επόμενες ασκήσεις, παίρνοντας βοήθεια όταν την χρειαστείς. Ζητείται η μετατροπή των άρρητων παρονομαστών σε ρητούς.

5) $\bf\large\sqrt{\dfrac{5}{18}}$

6) $\bf\large\sqrt{\dfrac{x^2}{3}},\;\;x\geq 0$

Στο μάθημα της παραγοντοποίησης, θα μάθουμε να εργαζόμαστε και σε πιο σύνθετες περιπτώσεις χρησιμοποιώντας την συζυγή παράσταση.

Προσθέτοντας και αφαιρώντας παραστάσεις με ριζικά

Αρχικά να ξεκαθαρίσουμε ότι δεν μπορούμε γενικά να προσθέσουμε (ή να αφαιρέσουμε) ριζικά, δηλαδή είναι $\bf\large \sqrt{x+y}\neq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ , το οποίο ήδη έχουμε αναφέρει. Παρόλα αυτά υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις, που μπορούμε να προσθέσουμε ριζικά.

Γνωρίζουμε ότι $2x+5x-x=6x$ , δηλαδή αν $x=\sqrt{\gra}$ συμπεραίνουμε ότι μπορούμε να προσθέσουμε παραστάσεις με ριζικά, αρκεί τα ριζικά να είναι όμοια. Έχουμε δηλαδή, $2\sqrt{\gra}+5\sqrt{\gra}-\sqrt{\gra}=6\sqrt{\gra}$ .

Για να απλοποιήσουμε λοιπόν μια παράσταση με άθροισμα ριζικών, αρκεί τα ριζικά να είναι όμοια ή να μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε όμοια. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα

$\begin{align*}3{\color{red}\sqrt{5}}+4{\color{red}\sqrt{5}}&=(3+4){\color{red}\sqrt{5}}\\&=7\sqrt{5}\end{align*}$

$\begin{align*}4{\color{red}\sqrt{15}}-7{\color{red}\sqrt{15}}&=(4-7){\color{red}\sqrt{15}}\\&=-3\sqrt{15}\end{align*}$

$\begin{align*}9{\color{red}\sqrt{x}}+4{\color{red}\sqrt{x}}-8{\color{red}\sqrt{x}}&=(9+4-8){\color{red}\sqrt{x}}\\&=5\sqrt{x},\;\;x\geq 0\end{align*}$

Ας προχωρήσουμε σε πιο σύνθετες μορφές:

$5\sqrt{2}-3\sqrt{18}&=5\sqrt{2}-3\sqrt{9\cdot2}$	Απλοποιούμε το $\color{red}\sqrt{18}$ .
$=5\sqrt{2}-3\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}$
$=5\sqrt{2}-3\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}$	Το 9 είναι τέλειο τετράγωνο
$=5\sqrt{2}-3\cdot3\sqrt{2}$	Τώρα παρουσιάζεται το ίδιο ριζικό
$=5\sqrt{2}-9\sqrt{2}$	Προσθέτουμε τα όμοια ριζικά.
$=-4\sqrt{2}$

$\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{72}$	Απλοποιούμε τα ριζικά.
$=\sqrt{25\cdot 2}+\sqrt{9\cdot 2}-\sqrt{36\cdot 2}$
$=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}$	Το 25, το 9 και το 36 είναι τέλεια τετράγωνα
$=5\cdot\sqrt{2}+3\cdot\sqrt{2}-6\cdot\sqrt{2}$	Τώρα παρουσιάζεται το ίδιο ριζικό
$=2\sqrt{2}$	Προσθέτουμε τα όμοια ριζικά.

Μερικές συμβουλές

Είναι λάθος να γράφουμε , για παράδειγμα $\bf\large{\sqrt{4}=\pm2}$ . Ο λόγος είναι ότι ο αριθμός $\sqrt{4}$ είναι θετικός, επομένως δεν μπορεί να ισούται με αρνητικό αριθμό. Δηλαδή ισχύει: $\bf\large{\sqrt{4}=+2$ και $-\bf\large{\sqrt{4}=-2$ .

Ισχύει $\bf\large\sqrt{(-3)^2}=3$ και όχι $\bf\large\sqrt{(-3)^2}=-3$ , διότι όπως είπαμε προηγούμενα η τετραγωνική ρίζα, αν έχει μπροστά της $\bf\Large +$ ή τίποτα είναι θετικός αριθμός. Αντίθετα $-\bf\large\sqrt{(-3)^2}=-3$

Γεωμετρία και ριζικά

Η σχέση των αρρήτων αριθμών με το πυθαγόρειο θεώρημα είναι άμεση. Άλλωστε ένας λόγος της κατάρρευσης της Πυθαγόρειας σχολής ήταν και η ανακάλυψη των άρρητων (ασύμμετρων) αριθμών. Αρκεί να σκεφτούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές μήκους 1. Τότε με βάση το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε $1^2+1^2=2$ . Δεν υπάρχει όμως ρητός αριθμός που αν υψωθεί στο τετράγωνο να δίνει 2, δηλαδή αριθμός $x$ ρητός, ώστε $x^2=2$ . Όπως ήδη γνωρίζουμε $x=\sqrt{2}$ . Θα δούμε λοιπόν μερικές εφαρμογές των αρρήτων αριθμών στη Γεωμετρία. Είναι καλό για μια εποπτεία του θέματος να ανατρέξεις

εδώ
εδώ
εδώ

Τα κουμπιά αυτά σε παραπέμπουν σε εφαρμογές (με το πρόγραμμα geogebra) και είναι αρκετά χρήσιμες για την κατανόηση του Πυθαγορείου θεωρήματος. Το πρόβλημα της ντουλάπας, θα το λύσουμε σαν παράδειγμα.

Παραδείγματα

1) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, που έχει εμβαδόν $12\,m^2$ . Να βρείτε την πλευρά του.

Λύση

Έστω $\gra$ η πλευρά του τετραγώνου, τότε $E=\gra^2$ , οπότε έχουμε $\gra^2=12$ ή $\gra=\sqrt{12}$ ή $\gra=\sqrt{4\cdot3}$ ή $\gra=2\sqrt{3}$ .

2) Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ, η διαγώνιος έχει μήκος 4m. να βρεθεί το μήκος της πλευράς του.

Λύση

Αν $\gra$ η πλευρά του τετραγώνου, τότε είναι: $\gra^2+\gra^2=\grd^2$ δηλαδή $2\gra^2=4\,\gr\,\gra^2=2\,\gr\,\gra=\sqrt{2}$

2) Στην διάταξη του σχήματος που παραθέτουμε, το ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι σταθερό, καθώς και το πλάτος του ΕΖΗΘ. Ζητείται η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το $\bf\large x$ , ώστε το ορθογώνιο ΕΖΗΘ να χωρέσει στο ΑΒΓΔ (δηλαδή η ΕΘ να βρίσκεται πάνω στη ΓΔ.

Λύση

Απο τα δεδομένα της άσκησης έχουμε
σταθερά τις διαστάσεις του ΑΒΓΔ και το πλάτος του ΕΖΗΘ.
Άρα το μόνο που μπορούμε να μεταβάλλουμε είναι το ύψος
$\bf\large x$ του ΕΖΗΘ. Για να χωρέσει “όρθιο” το ΕΖΗΘ πρέπει
να το στρίψουμε, ώστε η πλευρά του ΕΘ να “πέσει” πάνω στην ΓΔ του ΑΒΓΔ.
Τότε όμως πρέπει η διαγώνιός του ΘΖ να έχει μήκος το πολύ ίσο με την πλευρά
ΒΓ του ΑΒΓΔ. Τότε όμως θα είναι $\bf\large \grd=8$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΖΘ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα, οπότε:
$(EZ)^2+(E\grU)^2=(Z\grU)^2$ ή $x^2+4^2=\grd^2\,\gr\,x^2+16=8^2$
ή $x^2=64-16\,\gr\,x^2=48\,\gr\,x=\sqrt{48}$ ή
$x=\sqrt{16\cdot3}\,\gr\,x=4\sqrt{3}$

Περισσότερες ασκήσεις για εξάσκηση εδώ

Προχώρησε στo επόμενo test 2

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα