Πραγματικοί αριθμοί-Μάθημα 2

Δυνάμεις ρητών αριθμών

Η δύναμη $\bf\large \gra^{\grn}$ με βάση το ρητό $\bf\large \gra$ και εκθέτη το φυσικό $\bf\large \grn\ge 2$ είναι το γινόμενο από $\bf\large \grn$ παράγοντες ίσους με $\bf\large \gra$ .

$\bf{\large{ \gra^{\grn}=\underbrace{\gra\cdot \gra\cdot \gra\dots \gra}_{\grn}}}$

Αν η δύναμη έχει βάση θετικό αριθμό, τότε είναι θετικός αριθμός, είτε ο εκθέτης είναι άρτιος είτε περιττός. Αν η δύναμη έχει βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο τότε η δύναμη είναι θετικός αριθμός. Αν η δύναμη έχει βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό τότε η δύναμη είναι αρνητικός αριθμός.

Με συμβολικό τρόπο τα παραπάνω εκφράζονται ως εξής:

Αν $\color{blue}{\bf{\large{\gra>0}}}$ τότε $\color{blue}{\bf{\large{\gra^{\grn}>0,}}}$ όπου $\color{blue}{\bf{\large{\grn}}}$ φυσικός

Αν $\color{blue}{\bf{\large{\gra<0}}}$ τότε $\color{blue}{\bf{\large{\gra^{\grn}>0,}}}$ όπου $\color{blue}{\bf{\large{\grn}}}$ άρτιος

Αν $\color{blue}{\bf{\large{\gra<0}}}$ τότε $\color{blue}{\bf{\large{\gra^{\grn}<0,}}}$ όπου $\color{blue}{\bf{\large{\grn}}}$ περιττός

$\bf{\large{3^2=+9,\;\;2^3=+8,\;\;(-3)^2=+9,\;\;(-2)^3=-8}}$

Ιδιότητες δυνάμεων

$\renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{tabular}{ |c|c| } \hline$\color{red}1$& $\color{blue}{\pmb{\gra^{\mu}\cdot\gra^{\nu}=\gra^{\grm+\grn}}}$ \\ \hline$\color{red}2$ & $\color{blue}{\pmb{\gra^{\grm}:\gra^{\grn}=\gra^{\grm-\grn}}}$\\ \hline$\color{red}3$ &$\color{blue}{\pmb{\left(\gra^{\grm}\right)^{\grn}=\gra^{\grm\cdot\grn}}}$ \\ \hline$\color{red}4$ & $ \color{blue}{\pmb{\left(\gra\cdot\grb\right)^{\grn}=\gra^{\grn}\cdot\grb^{\grn}}}$\\ \hline$\color{red}5$ & $\color{blue}{\pmb{\left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{\grn}=\dfrac{\gra^{\grn}}{\grb^{\grn}}}}$ \\ \hline\end{tabular}$

Δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο

Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού με αντίθετο εκθέτη

Δηλαδή αν $\grn$ φυσικός και $\bf\large \gra,\,\grb\neq 0$ , τότε:

$\boxed{\bf\large \gra^{-\grn}=\dfrac{1}{\gra^{\grn}}}$

και

$\boxed{\bf\large \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{-\grn}=\left(\dfrac{\grb}{\gra}\right)^{\grn}}$

Είναι: $\color{red}\bf\large \gra^0=1$ για κάθε αριθμό $\color{red}\bf\large \gra\neq 0$ και
$\color{red}\bf\large \gra^1=\gra$ για κάθε αριθμό $\bf\large \gra$

Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό αριθμό ισχύουν ακριβώς και για δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη

Παραδείγματα

1) $\bf{\large{(-3)^2\cdot(-3)^4=(-3)^{2+4}=(-3)^6=3^6=729}}$

2) $\bf{\large{(-2)^3\cdot\left[(-2)^3\right]^4=(-2)^3\cdot (-2)^{12}=(-2)^{3+12}=(-2)^{15}=-32768}}$

3) $\bf{\large{(-5)^{-2}\cdot(-5)^3=(-5)^{-2+3}=(-5)^1=-5}}$

4) $\bf{\large{\dfrac{2^{-5}\cdot 2^4}{2^{-4}\cdot 2^7}=\dfrac{2^{-5+4}}{2^{-4+7}}=\dfrac{2^{-1}}{2^3}}=2^{-1-3}=2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}}}$

5) $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^4\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-3}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^4\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}=\dfrac{2^4}{3^4}\cdot\dfrac{2^3}{5^3}=\dfrac{2^4\cdot 2^3}{3^4\cdot5^ 3}=\dfrac{2^{4+3}}{3^4\cdot5^3}=\dfrac{2^7}{3^4\cdot 5^3}$

6) Αν $x=1$ να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

$A=2^{x-3}-4^{3-x}+1^{x+4}-5^{1-x}$

Είναι:

$A=2^{1-3}-4^{3-1}+1^{1+4}-5^{1-1}=2^{-2}-4^2+1^5-5^0$

$=\dfrac{1}{2^2}-16+1-1=\dfrac{1}{4}-16=\dfrac{1-64}{4}=-\dfrac{63}{4}$

Τώρα μπορείς να προχωρήσεις στο τεστ 1.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα