Πραγματικοί αριθμοί-Μάθημα 1

Αρχίζοντας ας υπενθυμίσουμε τα σύνολα των αριθμών.

Σύνολο Φυσικών αριθμών. Περιέχει όλους τους θετικούς ακεραίους, Συμβολικά γράφεται:
$\bf{\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}}$
Σύνολο των ακεραίων αριθμών. Περιέχειτους θετικούς και τους αρνητικούς ακεραίους . Συμβολικά γράφεται:
$\bf{\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\}}$
Σύνολο των ρητών αριθμών. Περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς που μπορούν να γραφούν με μορφή κλάσματος. Πιο συγκεκριμένα, όλους τους ακεραίους (για παράδειγμα ο ακέραιος $-3=\dfrac{-3}{1}=\dfrac{-9}{3}$ κ.λ.π.), όλα τα κλάσματα, όπως τα ξέρουμε, όλους τους δεκαδικούς, εκτός από τους δεκαδικούς που είναι μη περιοδικοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Συμβολικά:
$\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{k}{n},\,k\in\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{Z}-\{0\}\right\}$
Πραγματικοί αριθμοί. Πραγματικοί είναι όλοι οι προηγούμενοι αριθμοί μαζί με τους άρρητους (άρρητοι είναι οι δεκαδικοί αριθμοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά). Συμβολίζονται με το $\mathbb{R}$

Θα αναφέρουμε μερικά παραδείγματα ρητών δεκαδικών και άρρητων δεκαδικών αριθμών.

Ρητοί είναι οι δεκαδικοί:
$2,5=\dfrac{25}{10},\,3,444...=\dfrac{31}{9}$

κ.λ.π. δηλαδή οι τερματιζόμενοι δεκαδικοί ή οι δεκαδικοί με άπειρα περιοδικά ψηφία
Άρρητοι είναι οι δεκαδικοί με άπειρα μη περιοδικά ψηφία, π.χ. $\pi=3,14159265...$ , $\sqrt{5}=2.23606797749...$

Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Ας θυμηθούμε ότι η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού x συμβολίζεται με $\color{blue}|x|$ και είναι ίση με την απόσταση της εικόνας του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό $x$ από την αρχή του άξονα των πραγματικών αριθμών.

Από το σχήμα αυτό, φαίνεται καθαρά ότι οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες αποστάσεις από την αρχή του άξονα των πραγματικών (το σημείο 0) , οπότε ισχύει γενικά ότι $|-x|=|x|$

Πράξεις ρητών αριθμών

Πρόσθεση

Η πρόσθεση απλοποιείται αν παραλείψουμε τις παρενθέσεις και το σύμβολο της πρόσθεσης $"\bf\large +"$ . Για παράδειγμα

$(-8)+(+3)+(-6)=-8+3-6=-11$

Για να προσθέσουμε ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς το πρόσημο) και στο αποτέλεσμα βάζουμε το κοινό τους πρόσημο.

Για παράδειγμα

$+8+(+5)=+\left(|+8|+|+5|\right)=+\left(8+5\right)=+13$

και

$-4+(-7)=-\left(|-4|+|-7|\right)=-\left(4+7\right)=-11$

Ένα δεύτερο παράδειγμα:

$\begin{align*} \dfrac{-7}{12}+\dfrac{-13}{30}&=\\ &=-\left(\left|-\dfrac{7}{12}\right|+\left|-\dfrac{13}{30}\right| \right)\\ &=-\left(\dfrac{\aoverbrace[lr]{7}[U]^{5}}{12}+\dfrac{\aoverbrace[lr]{13}[U]^{2}}{30}\right)\\ &=-\left(\dfrac{7\cdot {\color{red}5}}{12\cdot {\color{red}5}}+\dfrac{13\cdot{\color{red} 2}}{30\cdot \color{red} 2}\right)\\ &=-\left(\dfrac{35}{60}+\dfrac{26}{60}\right)=-\dfrac{35+26}{60}=-\dfrac{61}{60} \end{align*}$

Για να προσθέσουμε ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά τους βάζουμε το πρόσημο του αριθμού, που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Για παράδειγμα

$+3+(-8)=-\left(|-8|-|+3|\right)=-\left(8-3\right)=-5$

και

$-3+(+8)=-\left(|+8|-|-3|\right)=+\left(8-3\right)=+5$

Ένα δεύτερο παράδειγμα:

$\begin{align*} \dfrac{+7}{12}+\dfrac{-13}{30}&=\\ &=-\left(\left|-\dfrac{13}{30}\right|-\left|\dfrac{7}{12}\right| \right)\\ &=-\left(\dfrac{\aoverbrace[lr]{13}[U]^{2}}{30}-\dfrac{\aoverbrace[lr]{7}[U]^{5}}{12}\right)\\ &=-\left(\dfrac{13\cdot {\color{red}2}}{30\cdot {\color{red}2}}-\dfrac{7\cdot{\color{red} 5}}{12\cdot \color{red} 5}\right)\\ &=-\left(\dfrac{26}{60}-\dfrac{35}{60}\right)=-\dfrac{26-35}{60}=\dfrac{\cancel{9}}{\cancel{60}}=\dfrac{3}{20} \end{align*}$

Oι περιπτώσεις των παραδειγμάτων, που αναφέραμε γράφονται απλά:

$+8+(+5)=8+5=13,\,\kai\,\,\;(-4)+(-7)=-4-7=-11$

επίσης

$+3+(-8)=+3-8=-5\,\;\kai\,\;-3+(+8)=-3+8=+5$

Αντίθετοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν ίση απόλυτη τιμή και αντίθετο πρόσημο. Το άθροισμα δύο αντιθέτων αριθμών είναι 0, δηλαδή αν $\gra\,\kai\,\grb$ είναι αντίθετοι, τότε $\bf\large \gra+\grb=0$ .

Απαλοιφή παρενθέσεων ή αγκυλών

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το $\bf\large +$ (ή δεν έχει πρόσημο), μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το $\bf\large +$ (αν έχει) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.
Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το $\bf\large-$ , μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το $\bf\large-$ και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αλλαγμένα πρόσημα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

$\bf\large A=\left(14+2-7\right)-\left(-3+6-7+1\right)=14+2-7+3-6+7-1=12$

Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε πρόσημο $"\bf\large +"$ .

Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα:

$(+2)\cdot(+7)=+14,\;\kai\,\;(-12)\cdot(-5)=+60$

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε πρόσημο $"\bf\large -"$ .

Για παράδειγμα:

$(+2)\cdot(-7)=-14,\;\kai\,\;(-12)\cdot(+5)=-60$

Συμβολικά:

Ιδιότητες των πράξεων

Πιο παραστατικά η επιμεριστική εκτελείται όπως παρακάτω.

Απλή επιμεριστική:

Διπλή επιμεριστική:

Στο άθροισμα $\bf\large \gra+\grb$ οι $\bf\large \gra,\,\,\grb$ λέγονται όροι του αθροίσματος. Στο γινόμενο $\bf\large \gra\cdot \grb$ , οι $\bf\large \gra,\,\,\grb$ λέγονται παράγοντες του γινομένου

Δύο μη μηδενικοί αριθμοί $\bf\large \gra$ και $\bf\large \grb$ λέγονται αντίστροφοι αν έχουν γινόμενο 1, δηλαδή $\bf\large \gra\cdot \grb=1$

Αν $\bf\large \gra\neq 0$ , τότε ο αντίστροφός του είναι ο $\bf\large\dfrac{1}{\gra}$ .
Αν $\bf\large \gra\neq 0$ και $\bf\large \grb\neq 0$ τότε ο αντίστροφος του $\bf\large \dfrac{\gra}{\grb}$ είναι ο $\bf\large \dfrac{\grb}{\gra}$

Αν $\bf\large \gra\cdot\grb=0$ τότε $\bf\large \gra=0\,\,{\color{red}\gr}\,\,\grb=0$ .
Αν $\bf\large \gra\cdot\grb\neq 0$ τότε $\bf\large \gra\neq 0$ ${\color{red}\kai}$ $\bf\large \grb\neq 0$

Διαίρεση ρητών αριθμών

Για να διαιρέσουμε δυο ακέραιους αριθμούς διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο αυτό βάζουμε το πρόσημο ( $\bf\large+$ ) αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι και το πρόσημο ( $\bf\large-$ ) αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΩΝ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ

Επόμενο μάθημα