Ανισότητες-Ιδιότητες

Διάταξη των πραγματικών αριθμών

Ποιος αριθμός θα επαλήθευε την ανισότητα $x>3$ ; Πιθανά σκέφτεστε τον αριθμό 4! Είναι σωστό βέβαια, αλλά θα μπορούσε να είναι ο 5,7,12 ή 128 ή 3924. Με άλλα λόγια κάθε αριθμός μεγαλύτερος του 3 είναι μια απάντηση (λύση) για την ανισότητα $x>3$ .
Πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε το 3. Το κόκκινο τμήμα της ευθείας των πραγματικών μας δείχνει με γραφικό τρόπο τις τιμές του $\bf x$ που επαληθεύουν την $x>3$ .

Αντίστοιχα το κόκκινο τμήμα της ευθείας των πραγματικών μας δείχνει με γραφικό τρόπο τις τιμές του $\bf x$ που επαληθεύουν την $x<3$ .

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται όλες οι περιπτώσεις $\bf{<,\,\,>,\,\,\leq,\,\,\geq}$

Οι έννοιες μεγαλύτερο ή μικρότερο μας είναι ήδη γνωστές. Για παράδειγμα το 7 είναι μεγαλύτερο από το 4 και γράφουμε στη γλώσσα των μαθηματικών $7>4$ . Αντίθετα το 7 είναι μικρότερο από το 12 και γράφουμε $7<12$ . Υπάρχουν όμως και οι διπλές σχέσεις $\bf\leq$ και $\bf\geq$ . Τις ονομάζουμε διπλές γιατί είναι αληθείς αν ισχύει μια από τις δύο περιπτώσεις. Για παράδειγμα αν έχουμε δύο παιδιά, των οποίων οι ηλικίες είναι “κοντά” αλλά δεν γνωρίζουμε ακριβώς ποιες είναι, λέμε “Ο Γιάννης είναι μεγαλύτερος ή συνομήλικος(ίσος) με τον Κώστα”. Σε αυτή την περίπτωση, αν συμβολίσουμε με $\bf\grg$ την ηλικία του Γιάννη και με $\bf\grk$ την ηλικία του Κώστα, γράφουμε $\bf{\grg\geq\grk}$ . Συμβολικά η σχέση
$\bf{A\leq B}$ σημαίνει ότι είναι σωστή (αληθής) όταν το $A<B$ ή όταν $A=B$