Συναλήθευση ανισώσεων – Διαστήματα

Διαστήματα

Όταν λύνουμε μια ανίσωση η λύση της (αν υπάρχει) έχει την μορφή $x<\gra$ ή $x\leq \gra$ ή $x>\gra$ ή $x\geq \gra$
Όταν γράφουμε, για παράδειγμα $x<-3$ εννοούμε όλους τους αριθμούς από το -3 και κάτω (αριστερά στην ευθεία των αριθμών).

Πως μπορούμε να εκφράσουμε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης $x<-3$ , με πιο “εκφραστικό” τρόπο;
Στην περίπτωση αυτή κάνουμε χρήση των διαστημάτων. Αν θέλουμε να εκφράσουμε συμβολικά τους αριθμούς από το 1 έως το 5 (χωρίς να συμπεριλαμβάνονται το 1 και το 5) γράφουμε $(,1,\,5)$ . Η παρένθεση δηλώνει ότι τα άκρα δεν δεν συμπεριλαμβάνονται και το διάστημα λέγεται ανοικτό.
Αντίθετα αν τα άκρα 1 και 5 συμπεριλαμβάνονται γράφουμε $[1,\,5]$ . Η αγκύλη δηλώνει ότι τα άκρα συμπεριλαμβάνονται.
Όταν γράφουμε $x\in(1,5)$ εκφράζουμε την ανισότητα $1<χ<5$ .
Όταν γράφουμε $x\in[1,\,5]$ εκφράζουμε την ανισότητα $1\lex\le 5$ .
Όταν γράφουμε $x\in[-1,\,7)$ εκφράζουμε την $-1\le x<7$ (διάστημα κλειστό αριστερά, ανοικτό δεξιά)

Όταν γράφουμε $x\in(-1,\,7]$ εκφράζουμε την $-1< x\le 7$ (διάστημα ανοικτό αριστερά, κλειστό δεξιά)

Οι παραπάνω ανισότητες ήταν διπλές, δηλαδή έχουν συγκεκριμένα άκρα είτε περιλαμβάνονται είτε όχι.
Πως όμως θα εκφράσουμε την ανισότητα $x<4$ ; Ποια μορφή θα δώσουμε στο διάστημα; Μας λείπει το άλλο άκρο!
Το διάστημα θα έχει την μορφή $(\dots,\,4)\;\;(1)$ . όμως πρέπει να λύσουμε το αίνιγμα των $\dots$ .
Ας μιλήσουμε για δύο σύμβολα, πολύ σημαντικά για τα μαθηματικά. Το $+\infty$ και το $-\infty$ .

Οι ρητοί αριθμοί παριστάνονται πάνω σε μια ευθεία. Από την Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η ευθεία δεν έχει αρχή και τέλος. ‘Ετσι λοιπόν και οι αριθμοί δεν έχουν αρχή και τέλος. Πολλές φορές όμως θέλουμε με κάποιο τρόπο (για λόγους αναπαράστασης) να δίνουμε μια “εικόνα” της αρχής και του τέλους των αριθμών. Για τούτο χρησιμοποιούμε δύο σύμβολα, το $+\infty$ και το $-\infty$ , που διαβάζονται αντίστοιχα συν άπειρο και πλην άπειρο (Άπειρο = χωρίς πέρας).

Αν έχουμε μια ανισότητα της μορφής $x>\gra$ , μπορούμε να την αποδώσουμε με μορφή διαστήματος ως $x\in\left(\gra,\,+\infty\right)$

Με ανάλογο τρόπο το $x<\gra$ γράφεται αλλιώς $x\in\left(-\infty,\,\gra\right)$

Το $x\leq \gra$ γράφεται αλλιώς $x\in\left(-\infty,\,\gra\right]$

To $x\geq \gra$ γράφεται αλλιώς $x\in \left[\gra,\,+\infty\left)$

Το $\gra\leq x<\grb$ γράφεται αλλιώς $x\in\left[\gra,\,\grb\right)$

Το $\gra<x\leq \grb$ γράφεται αλλιώς $x\in(\gra,\,\grb]$

Το $\gra\leq x\leq \grb$ γράφεται αλλιώς $x\in[\gra,\,\grb]$

Το $\gra< x< \grb$ γράφεται αλλιώς $x\in(\gra,\,\grb)$

Εφαρμογές

Στα επόμενα γραφήματα να γράψετε τις ανισότητες και τα αντίστοιχα διαστήματα.

Απ.

$x<-5\,\gr\,x\in(-\infty,\,-5)$

Απ.

$x\le 1\,\gr\,x\in(-\infty,\,1]$

Απ.

$0<x<8\,\gr\,x\in(0,\,8)$ [ learn_more]=”” <span=”” style=”font color:red;font-size:medium;”>4)

Απ.

$x\ge-3\,\gr\,x\in[-3,\,+\infty)$

Απ.

$-1<x\leq 3\,\gr\,x\in(-1]3$

Συναλήθευση ανισώσεων

Κάθε ανίσωση έχει ένα σύνολο λύσεων, το οποίο όπως είδαμε εκφράζεται με ένα τμήμα της ευθείας των αριθμών (εκτός και αν η ανίσωση είναι αδύνατη). Αν έχουμε να λύσουμε δύο ή περισσότερες ανισώσεις, ζητώντας να βρούμε το σύνολο των κοινών λύσεων, στην πράξη ζητείται να βρούμε το κοινό τμήμα της ευθείας των αριθμών που επαληθεύει συχρόνως όλες τις ανισώσεις. Η εύρεση του συνόλου των κοινών λύσεων ονομάζεται συναλήθευση των ανισώσεων. Για να βρούμε γραφικά το διάστημα που συναληθεύουν δύο ή περισσότερες ανισώσεις, αρκεί να προσδιορίσουμε το διάστημα στο οποίο οι γραμμοσκιάσεις δημιουργούν πλέγμα. Ας δούμε με γραφικό τρόπο διάφορες περιπτώσεις συναληθεύσεων.

Συναλήθευση των $x<5$ και $x<8$

Συναλήθευση των $x\leq 5$ και $x<8$

Συναλήθευση των $x>-2$ και $x<3$

Συναλήθευση των $x\geq -2$ και $x\leq 3$

Συναλήθευση των $x>-2$ και $x\leq 3$

Συναλήθευση των $x\geq 0$ και $x\geq \dfrac{7}{2}$

Συναλήθευση των $x<1$ και $x\geq 4$

Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1) Να συναληθευτούν οι ανισώσεις

$2(x-1)<3x+4\;\;\kai\;\;\dfrac{x-5}{3}\geq 2x$

Λύση

Θα επιλύσουμε κάθε ανίσωση χωριστά. Έχουμε:

$\color{red}{2(x-1)<3x+4$	$\color{red}{\dfrac{x-5}{3}\geq 2x}$
$2x-2<3x+4$	$x-5\geq 6x$
$2x-3x<2+4$	$x-6x\geq 5$
$-x<6$	$-5x\geq 5$
$x>-6$	$x\leq -1$

Παράδειγμα 2) Να συναληθευτούν οι ανισώσεις

$\dfrac{x-1}{2}-x\leq 1-\dfrac{2x+1}{3}\;\;\kai\;\;\dfrac{2-x}{6}+\dfrac{x-1}{2}>\dfrac{3x-1}{3}$

Λύση

Θα επιλύσουμε κάθε ανίσωση χωριστά. Έχουμε:

$\color{red}\dfrac{x-1}{2}-x\leq 1-\dfrac{2x+1}{3}$	$\color{red}{\dfrac{2-x}{6}+\dfrac{x-1}{2}>\dfrac{3x-1}{3}}$
$6\cdot\dfrac{x-1}{2}-6x\leq 6-6\cdot\dfrac{2x+1}{3}$	$6\cdot\dfrac{2-x}{6}+6\cdot\dfrac{x-1}{2}>6\cdot\dfrac{3x-1}{3}$
$3(x-1)-6x\leq 6-2(2x+1)$	$2-x+3(x-1)>2(3x-1)$
$3x-3-6x\leq 6-4x-2$	$2-x+3x-3>6x-2$
$3x-6x+4x\leq 3+6-2$	$-x+3x-6x>-2-2+3$
$x\leq 7$	$-4x>-1$
	$x<\dfrac{1}{4}$

Παράδειγμα 3) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

$\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{x-1}{2}\geq 3\;\;\kai\;\;2(x+1)-3(1-2x)<3+2(x+1)$

Λύση

Θα επιλύσουμε κάθε ανίσωση χωριστά. Έχουμε:

$\color{red}{\dfrac{x+3}{4}-\dfrac{x-1}{2}\geq 3}$	$\color{red}{2(x+1)-3(1-2x)<3+2(x+1)}$
$4\cdot\dfrac{x+3}{4}-4\cdot\dfrac{x-1}{2}\geq 4\cdot3$	$2x+2-3+6x<4+2x+2$
$x+3-2(x-1)\geq 12$	$2x+6x-2x<-2+3+2+3$
$x+3-2x+2\geq 12$	$6x<6$
$x-2x\geq 12-3-2$	$x<1$
$-x\geq 7$
$x\leq -7$

Παράδειγμα 4) Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

$\dfrac{2x+1}{2}<3x-1\;\;\kai\;\;x-\dfrac{x+1}{4}<\dfrac{2x-1}{2}+3$

Λύση

Θα επιλύσουμε κάθε ανίσωση χωριστά. Έχουμε:

$\color{red}{\dfrac{2x+1}{2}<3x-1}$	$\color{red}{x-\dfrac{x+1}{4}<\dfrac{2x-1}{2}+3}$
$2\cdot\dfrac{2x+1}{2}<2\cdot 3x-2\cdot 1$	$4x-4\cdot\dfrac{x+1}{4}<4\cdot\dfrac{2x-1}{2}+4\cdot3$
$2x+1<6x-2$	$4x-x-1<2(2x-1)+12$
$2x-6x<-1-3$	$4x-x-1<4x-2+12$
$-4x<-3$	$4x-x-4x<1-2+12$
$x>\dfrac{3}{4}$	$-x<11$
	$x>-11$

Παράδειγμα 5) Να λυθεί η ανίσωση

$3(x+5)-\dfrac{x}{2}$

Λύση

Εδώ έχουμε να κάνουμε με μια διπλή ανίσωση, δηλαδή στην πραγματικότητα έχουμε δύο ανισώσεις, τις $3(x+5)-\dfrac{x}{2}<x$ και $x\leq\dfrac{2x+1}{4}-\dfrac{x-1}{2}+1$ . Επομένως η λύση της ανίσωσης προκύπτει από την συναλήθευση των δύο αυτών ανισώσεων.

Θα επιλύσουμε κάθε ανίσωση χωριστά. Έχουμε:

$\color{red}{3(x+5)-\dfrac{x}{2}<x}$	$\color{red}{x\leq\dfrac{2x+1}{4}-\dfrac{x-1}{2}+1}$
$2\cdot 3(x+5)-2\cdot\dfrac{x}{2}<2x$	$4x\leq 4\cdot\dfrac{2x+1}{4}-4\cdot\dfrac{x-1}{2}+4}$
$6x+30-x<2x$	$4x\leq 2x+1-2(x-1)+4$
$6x-x-2x<-30$	$4x\leq 2x+1-2x+2+4$
$3x<-30$	$4x-2x+2x\leq 1+2+4$
$x<-10$	$4x\leq 7$
	$x\leq \dfrac{7}{4}$

Παράδειγμα 6) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

$\dfrac{x+1}{3}-x\leq 2x+3\;\;\kai\;\;\dfrac{3x+1}{2}-x>2(x+5)$

Λύση

Θα επιλύσουμε κάθε ανίσωση χωριστά. Έχουμε:

$\color{red}{\dfrac{x+1}{3}-x\leq 2x+3}$	$\color{red}{\dfrac{3x+1}{2}-x>2(x+5)}$
$3\cdot\dfrac{x+1}{3}-3x\leq 3(2x+3)$	$2\cdot\dfrac{3x+1}{2}-2x>2\cdot 2(x+5)$
$x=1-3x\leq 6x+9$	$3x+1-2x>4x+20$
$x-3x-6x\leq -1+9$	$3x-2x-4x>-1+20$
$-8x\leq 8$	$-3x>19$
$x\geq -1$	$x<-\dfrac{19}{3}$