Ανισώσεις απλής μορφής

Ανισώσεις απλής μορφής

Υπενθυμίζουμε τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

Αν $\gra<\grb$ τότε: $\bf{\gra+\grg<\grb+\grg\,\kai\,\gra-\grg<\grb-\grg}$
Αν $\bf{\gra>\grb}$ τότε: $\bf{\gra+\grg>\grb+\grg\,\kai\,\gra-\grg>\grb-\grg}$
Aν $\gra<\grb$ και $\grg>0$ τότε: $\bf{\gra\cdot\grg<\grb\cdot\grg\,\kai\,\dfrac{\gra}{\grg}<\dfrac{\grb}{\grg}}$
Αν $\bf{\gra<\grb}$ και $\grg<0$ τότε: $\bf{\gra\cdot\grg>\grb\cdot\grg\,\kai\,\dfrac{\gra}{\grg}>\dfrac{\grb}{\grg}}$
Αν $\gra>\grb$ και $\grg>0$ τότε: $\bf{\gra\cdot\grg>\grb\cdot\grg\,\kai\,\dfrac{\gra}{\grg}>\dfrac{\grb}{\grg}}$
Αν $\bf{\gra>\grb}$ και $\grg<0$ τότε: $\bf{\gra\cdot\grg<\grb\cdot\grg\,\kai\,\dfrac{\gra}{\grg}<\dfrac{\grb}{\grg}}$

Ανίσωση είναι μια ανισότητα, που περιέχει έναν άγνωστο. Για την επίλυση μιας ανίσωσης εφαρμόζουμε τις ιδιότητες, που αναφέρονται πιο πάνω.

Η ανίσωση αποτελείται από δύο μέλη (όπως οι εξισώσεις), τα οποία συνδέονται με τα σύμβολα $\bf <$ , $\bf >$ , $\bf\leq$ και $\bf\geq$ .

Λύση μιας ανίσωσης λέγεται κάθε τιμή, που την επαληθεύει.

Σύνολο λύσεων μιας ανίσωσης, ονομάζεται το σύνολο του οποίου κάθε στοιχείο επαληθεύει την ανίσωση.

Η διαδικασία επίλυσης, είναι παρόμοια με αυτή της εξίσωσης, με κάποιες διαφορές που προκύπτουν από την εφαρμογή των παραπάνω ιδιοτήτων.

Ας μελετήσουμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1) Να λυθεί η ανίσωση $x-3<7$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x-3<7\;\;\;(1)$
$x\cancel{-3}{\color{red}\cancel{+3}}<7{\color{red}+3}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}+3}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 1)
$x<7{\color{red}+3}\;\;\;(2)$
$x<10$	Υπολογίζουμε το άθροισμα.

Γραφική αναπαράσταση της λύσης

Παράδειγμα 2) Να λυθεί η ανίσωση $x+5\leq-12$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x+5\leq-12$
$x\cancel{+5}{\color{red}\cancel{-5}}\leq-12{\color{red}-5}$	Αφαιρούμε το ${\color{blue}5}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$x\leq-12{\color{red}-5}$
$x\leq-17$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων

Γραφική αναπαρασταση της λύσης

Όταν η τιμή $\gra$ δεν συμπεριλαμβάνεται στη λύση μιας ανίσωσης, τότε στη γραφική αναπαράσταση της λύσης το συμβολίζουμε με $\underbrace{\circ}_{\gra}$
Όταν η τιμή $\gra$ συμπεριλαμβάνεται στη λύση μιας ανίσωσης, τότε στη γραφική αναπαράσταση της λύσης το συμβολίζουμε με $\underbrace{\bullet}_{\gra}$

Παράδειγμα 3) Να λυθεί η ανίσωση $x+\dfrac{1}{3}>-\dfrac{3}{2}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x+\dfrac{1}{3}>-\dfrac{3}{2}$
$x\cancel{+\dfrac{1}{3}}{\color{red}\cancel{-\dfrac{1}{3}}}>-\dfrac{3}{2}{\color{red}-\dfrac{1}{3}}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}-\dfrac{1}{3}}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$x>-\dfrac{9}{6}-\dfrac{2}{6}$	Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα του δεύτερου μέλους.
$x>-\dfrac{11}{6}$	Υπολογίζουμε το άθροισμα.

Παράδειγμα 4) Να λυθεί η ανίσωση $4-x\geq-12$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$4-x\geq-12$
$\cancel{4}{\color{red}\cancel{-4}}-x\geq-12{\color{red}-4}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}-4}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$-x\geq-12-4$
$-x\geq-16$	Υπολογίζουμε το άθροισμα στο δεύτερο μέλος.
$-x\cdot(-1)\leq-16\cdot(-1)$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί ${\color{blue}-1}$ (ιδιότητα 3) για να αλλάξουμε τα πρόσημα, οπότε αλλάζει φορά η ανίσωση (ιδιότητα 4)
$x\leq 16$

Παράδειγμα 5) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{1}{3}-x>-\dfrac{3}{2}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{1}{3}-x>-\dfrac{3}{2}$
$\cancel{\dfrac{1}{3}}{\color{red}\cancel{-\dfrac{1}{3}}}-x>-\dfrac{3}{2}{\color{red}-\dfrac{1}{3}}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}-\dfrac{1}{3}}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$-x>-\dfrac{9}{6}-\dfrac{2}{6}$	Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα του δεύτερου μέλους.
$-x>-\dfrac{11}{6}$	Υπολογίζουμε το άθροισμα στο δεύτερο μέλος.
$-x\cdot(-1)<-\dfrac{11}{6}\cdot(-1)$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί ${\color{blue}-1}$ (ιδιότητα 3) για να αλλάξουμε τα πρόσημα, οπότε η ανίσωση αλλάζει φορά (ιδιότητα 6)
$x<\dfrac{11}{6}$

Ας προσέξουμε τι συνέβη όταν στην προηγούμενη διαδικασία προσθέσαμε και στα δύο μέλη τους αντίθετους των $-5$ , $+3$ , $-\dfrac{1}{3}$ . Επικεντρωνόμαστε στην (1) και την (2). Παρατηρούμε ότι η (2) προήλθε από την (1) με την “μεταφορά” του $-3$ στο δεύτερο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο $+3$ .

οπότε καταλήγουμε από την (1) στη (2) απλά “μεταφέροντας” όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αρκεί να αλλάζουμε τα πρόσημα των μεταφερόμενων όρων.

με ανάλογο τρόπο εργαζόμαστε και στα επόμενα παραδείγματα. Στο παράδειγμα 2), έχουμε:

Στο παράδειγμα 3) έχουμε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Στο παράδειγμα 4) έχουμε:

Μπορούμε λοιπόν απλοποιώντας την διαδικασία, χωρίς να ξεχνάμε την αυστηρή διαδικασία και την αιτιολόγησή της να λύσουμε, έστω το παράδειγμα 5, όπως παρακάτω:

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{1}{3}-x>-\dfrac{3}{2}$
$-x>-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, μεταφέροντας κατάλληλα όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο όσων όρων μεταφέρουμε.
$-x>-\dfrac{9}{6}-\dfrac{2}{6}$	Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα του δεύτερου μέλους.
$-x>-\dfrac{11}{6}$	Υπολογίζουμε το άθροισμα στο δεύτερο μέλος.
$-x>-\dfrac{11}{6}$	Αλλάξουμε τα πρόσημα και στα δύο μέλη, οπότε αλλάζει φορά η ανίσωση, διότι η αλλαγή προσήμων στα δύο μέλη, σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε επί $-1$ (ιδιότητα 4).
$x<\dfrac{11}{6}$

Παράδειγμα 6) Να λυθεί η ανίσωση $3\cdot x>6$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$3\cdot x>6$
$\dfrac{{\color{red}\cancel{3}}x}{\color{red}\cancel{3}}>\dfrac{\cancel{6}^2}{\cancel{3}^1}$	Διαιρούμε με το ${\color{blue}3>0}$ και τα δύο μέλη (ιδιότητα 3)
$x>2$

Παράδειγμα 7) Να λυθεί η ανίσωση $-4\cdot x\geq 7$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$-4\cdot x\geq 7$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{-4}}x}}{\cancel{-4}}\leq\dfrac{7}{\color{red}{-4}}$	Διαιρούμε και τα δύο μέλη με $\color{blue}-4<0$ , οπότε αλλάζει φορά η ανίσωση
$x\leq -\dfrac{7}{4}$

Παράδειγμα 8) Να λυθεί η ανίσωση $7x+3\leq 4x-6\;\;\;(1)$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$7x+3\leq 4x-6\;\;\;(1)$
$7x+3{\color{red}-4x-3}\leq 4x-6{\color{red}-4x-3}$	Προσθέτουμε και στα δύο μέλη τους αντίθετους των $\color{blue}4x \,\kai\,+3$
$7x+\cancel{3}{\color{red}-4x\cancel{-3}}\leq \cancel{4x}-6{\color{red}\cancel{-4x}-3}$	Διαγράφουμε τους αντίθετους
$7x-4x\leq -6-3\;\;\;(2)$	Έτσι χωρίστηκαν οι άγνωστοι από τους γνωστούς όρους.
$3x\leq-9$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{3}}}x}{{\color{red}\cancel{3}}}\leq \dfrac{-9}{3}$	Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.
$x\leq-3$	Λύση της ανίσωσης

Ας προσέξουμε τι συνέβη όταν στην προηγούμενη διαδικασία προσθέσαμε και στα δύο μέλη τους αντίθετους των $4x$ και $+3$ . Επικεντρωνόμαστε στην (1) και την (2). Παρατηρούμε ότι η (2) προήλθε από την (1) με την “μεταφορά” του $+3$ στο δεύτερο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο ως $-3$ και του $4x$ από το 2ο μέλος στο πρώτο με αλλαγμένο το πρόσημο ως $-4x$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

Για εμπέδωση αυτής της διαδικασίας ας δούμε την μετατροπή στην παρακάτω:

Rendered by QuickLaTeX.com

δηλαδή $7x-5x<3+2$ κι έτσι χωρίσαμε τους γνωστούς από τους αγνώστους.

Παράδειγμα 9) Να λυθεί η ανίσωση $10x+5>2x+1$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$10x-2x>1-5$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους “μεταφέροντας” αντίστοιχα, όπως αναφέρθηκε πιο πάνω
$8x>-4$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{8}}}x}{{\color{red}\cancel{8}}}>\dfrac{-4}{8}$	Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.
$x>-\dfrac{1}{2}$	Λύση της ανίσωσης

Παράδειγμα 10) Να λυθεί η ανίσωση $2(x+1)-3\leq 4x+5$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$2x+2-3\leq 4x+5$	Κάνουμε την επιμεριστική
$2x-4x\leq 5-2+3$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-2x\leq 6$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{-2}}}x}{{\color{red}\cancel{-2}}}\geq \dfrac{6}{-2}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Επειδή διαιρούμε με αρνητικό αριθμό, η ανίσωση αλλάζει φορά.
$x\geq-3$	Λύση της ανίσωσης

Παράδειγμα 11) Να λυθεί η ανίσωση $-8(6+3x)+4(-3+6x)>-12$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$-8(6+5x)+4(-3+6x)>-12$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$-48-40x-12+24x>-12$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-40x+24x>-12+12+48$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$-16x>48$
$\dfrac{{\color{red}\cancel{-16}}x}{{\color{red}\cancel{-16}}}<\dfrac{48}{-16}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου και επειδή είναι αρνητικός, η ανίσωση αλλάζει φορά.
$x<-3$	Λύση της ανίσωσης

Παράδειγμα 12) Να λυθεί η ανίσωση $-8(6+3x)+4(-3+6x)<-12$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$-8(6+5x)+4(-3+6x)<-12$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$-48-40x-12+24x<-12$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-40x+24x<-12+12+48$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$-16x<48$
$\dfrac{{\color{red}\cancel{-16}}x}{{\color{red}\cancel{-16}}}>\dfrac{48}{-16}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου και επειδή είναι αρνητικός, η ανίσωση αλλάζει φορά.
$x>-3$	Λύση της ανίσωσης

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα