Ανισώσεις σε προβλήματα

Αρχικά θα “μεταφράσουμε” μερικές εκφράσεις, που παρουσιάζονται στην καθημερινότητά μας, σε μορφή ανισώσεων. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε την μαθηματική έκφραση εννοιών, όπως το πολύ, τουλάχιστον, περισσότερο από ή μικρότερο από. Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε μερικές εκφράσεις και την αντίστοιχη μαθηματική τους έκφραση.

το πολύ	Το πολύ 5 μαθητές εγγράφονται στο τμήμα	$\color{red}{\bf x\leq 5}$
τουλάχιστον	Ο Βασίλης είναι τουλάχιστον 18 χρονών.	$\color{red}{\bf x\geq 18}$
μεγαλύτερο από ή περισσότερο από	Η Λαμία απέχει περισσότερο από 100Km	$\color{red}{\bf x>100}$
μικρότερο από ή λιγότερο από	Το βάρος του Γιάννη είναι λιγότερο από 70Kg	$\color{red}{\bf x<10}$
μεγαλύτερο ή ίσο	Το ύψος του Γιάννη είναι μεγαλύτερο ή ίσο από 170cm	$\color{red}{\bf x\geq 170}$
μικρότερο ή ίσο	Το βάρος της μελίνας είναι μικρότερο ή ίσο από 60Kg	$\color{red}{\bf x\leq 60}$
δεν υπερβαίνει	Τα κέρδη δεν υπερβαίνουν τα 10000€	$\color{red}{\bf x\leq 10000}$
πρέπει να υπερβαίνει	Το ύψος του πρέπει να υπερβαίνει τα 175cm	$\color{red}{\bf x>175}$
είναι μεταξύ (ανάμεσα)	Η διάρκεια της ταινίας είναι ανάμεσα στα 80min και 100min	$\color{red}{\bf 80<x<100}$

Ας μεταφράσουμε τώρα μερικά προβλήματα σε ανισώσεις:

To x ελαττούμενο κατά 5 είναι τουλάχιστον 18	$\color{red}{\bf x-5\geq 18}$
To x αυξανόμενο κατά 7 γίνεται το πολύ 25	$\color{red}{\bf x+7\leq 25}$
To διπλάσιο του x αυξανόμενο κατά 3, υπερβαίνει το τριπλάσιό του.	$\color{red}{\bf 2x+3>3x}$

Ένας καθηγητής πήρε μια επιχορήγηση 5000 ευρώ για να αγοράσει tablet για την τάξη του. Αν το κάθε tablet κοστίζει συνολικά (αξία συν μεταφορικά) 180 ευρώ,πόσα tablet το πολύ μπορεί να αγοράσει;

Λύση

Βήμα 1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα.
Βήμα 2. Προσδιορίζουμε τι μας ζητείται.	Ζητάμε τον μέγιστο αριθμό των tablets που μπορούν αν αγοραστούν από τον καθηγητή.
Βήμα 3. Συμβολίζουμε το ζητούμενο με ένα γράμμα ως άγνωστο.	Έστω $\bf x$ ο αριθμός των tablets, που μπορεί να αγοράσει ο καθηγητής.
Βήμα 4. Αποδίδουμε με μια πρόταση τις πληροφορίες για να βρεθεί ο άγνωστος. Γράφουμε την σχετική ανίσωση.	280 φορές ο αριθμός των tablets είναι το πολύ 5000.Η ανίσωση είναι: $280\cdot x\leq 5000$
Βήμα 5. Λύνουμε την ανίσωση.	$280\cdot x\leq 5000$ ή $x\leq \dfrac{5000}{280}$ ή $x\leq 17,86$ Η ζητούμενη τιμή είναι 17 tablets, διότι ο αριθμός τους πρέπει να είναι ακέραιος.
Βήμα 6. Κάνουμε επαλήθευση με τη λύση μας.	Πράγματι τα 17 tablets κοστίζουν $17\cdot 280=4760$ ευρώ, ενώ τα 18 κοστίζουν 5040 ευρώ, που υπερβαίνει το ποσό που διατίθεται.
Βήμα 7. Διατυπώνουμε το συμπέρασμα.	Άρα ο καθηγητής μπορεί με την επιχορήγηση αυτή να αγοράσει το πολύ 17 tablets.

Ο Κώστας και η Μαρία το ποσό των 200€ για τις μετακινήσεις στις διακοπές τους. Σχεδιάζουνε να νοικιάσουν ένα αυτοκίνητο. Η εταιρεία ενοικίασης χρεώνει 75€ για τις 6 ημέρες και 0,25€ για κάθε χιλιόμετρο. Πόσα χιλιόμετρα μπορούν να διανυσουν κατα την διάρκεια των 6 ημερών, ώστε τα έξοδα να μην υπερβούν τα 200€;

Λύση

Βήμα 1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα.
Βήμα 2. Προσδιορίζουμε τι μας ζητείται.	Ζητάμε τον μέγιστο αριθμό των χιλιομέτρων που μπορούν διανύσουν στις 6 ημέρες.
Βήμα 3. Συμβολίζουμε το ζητούμενο με ένα γράμμα ως άγνωστο.	Έστω $\bf x$ ο αριθμός των χιλιομέτρων, που θα διανύσουν σε 6 μέρες.
Βήμα 4. Αποδίδουμε με μια πρόταση τις πληροφορίες για να βρεθεί ο άγνωστος. Γράφουμε την σχετική ανίσωση.	0,25 φορές το x συν το πάγιο των 75€ δεν μπορεί να υπερβαίνει το 200.Η ανίσωση είναι: $0,25\cdot x+75\leq 200$
Βήμα 5. Λύνουμε την ανίσωση.	$0,25\cdot x\leq 200-75$ ή $0,25\cdot x\leq 125$ ή $x\leq\dfrac{125}{0,25}$ ή $x\leq 500$ Η ζητούμενη τιμή είναι 500Km.
Βήμα 6. Κάνουμε επαλήθευση με τη λύση μας.	Πράγματι τα 500Km κοστίζουν $0,25\cdot 500=125$ €, συν τα 75€, φτάνουν τα διαθέσιμο ποσό των 200€.
Βήμα 7. Διατυπώνουμε το συμπέρασμα.	Άρα ο Κώστας και η Μαρία μπορούν με τα χρήματα που διαθέτουν να διανύσουν 500Km.

Η Κύνθια είναι γραφίστρια. Χρεώνει 2,50€ για κάθε προσκλητήριο, που σχεδιάζει. Τα μηνιαία της έξοδα είναι 650€. Πόσα προσκλητήρια πρέπει να πουλάει κάθε μήνα, ώστε να κερδίζει τουλάχιστον 2200€;

Λύση

Βήμα 1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα.
Βήμα 2. Προσδιορίζουμε τι μας ζητείται.	Ζητάμε τον μέγιστο αριθμό των προσκλητηρίων, ώστε να έχει τουλάχιστον ένα συγκεκριμένο μηνιάτικο.
Βήμα 3. Συμβολίζουμε το ζητούμενο με ένα γράμμα ως άγνωστο.	Έστω $\bf x$ ο αριθμός των προσκλητηρίων, που θα διαθέσει σε ένα μήνα.
Βήμα 4. Αποδίδουμε με μια πρόταση τις πληροφορίες για να βρεθεί ο άγνωστος. Γράφουμε την σχετική ανίσωση.	2,50 φορές το x μείον τα έξοδα των 650€ πρέπει να είναι τουλάχιστον 2200€. Η ανίσωση είναι: $2,5\cdot x-650\geq 2200$
Βήμα 5. Λύνουμε την ανίσωση.	$2,5\cdot x\geq 2200+650$ ή $2,5\cdot x\geq 2850$ ή $x\geq\dfrac{2850}{2,5}$ ή $x\geq 1140$ Η ζητούμενη τιμή είναι 1140 προσκλητήρια.
Βήμα 6. Κάνουμε επαλήθευση με τη λύση μας.	Πράγματι από τα 1140 προσκλητήρια κερδίζει $2,5\cdot 1140=2850$ €, μείον τα έξοδα 650€, αποδίδουν στην Κύνθια, τουλάχιστον 2200€ μηνιαίο εισόδημα.
Βήμα 7. Διατυπώνουμε το συμπέρασμα.	Άρα η Κύνθια πρέπει να πουλάει τουλάχιστον 1140 προσκλητήρια κάθε μήνα, ώστε το μηνιαίο εισόδημά της να είνα τουλάχιστον 2200€.

Ο Γιάννης έχει οικονομίες 840€ και κερδίζει 30€ την ημέρα από την εργασία του. Θέλει να κάνει ένα ταξίδι 6 ημερών θα του κοστίσει 525€ σε αεροπορικά εισητήρια, 700€ σε διατροφή και ψυχαγωγία και 80€ την ημέρα για 6 διανυκτερεύσεις στο ξενοδοχείο. Πόσες μέρες πρέπει να εργαστεί, ώστε να έχει αρκετά χρήματα για το ταξίδι του;

Λύση

Βήμα 1. Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα.
Βήμα 2. Προσδιορίζουμε τι μας ζητείται.	Ζητάμε τον μέγιστο αριθμό των ημερών που θα εργαστεί, ώστε να ανταποκριθεί στο κόστος του ταξιδιού.
Βήμα 3. Συμβολίζουμε το ζητούμενο με ένα γράμμα ως άγνωστο.	Έστω $\bf x$ ο αριθμός των εμερών εργασίας.
Βήμα 4. Αποδίδουμε με μια πρόταση τις πληροφορίες για να βρεθεί ο άγνωστος. Γράφουμε την σχετική ανίσωση.	30 φορές το x συν τις οικονομίες των 840€ πρέπει να καλύπτουν τουλάχιστον τα έξοδά του. Η ανίσωση είναι: $525+700+80\cdot 6\leq 840+30\cdot x$
Βήμα 5. Λύνουμε την ανίσωση.	$525+700+480\leq 840+30\cdot x$ ή $1705\leq 840+30\cdot x$ ή $1705-840\leq 30\cdot x$ ή $865\leq 30\cdot x$ ή $x\geq \dfrac{865}{30}$ δηλαδή $x\geq 28,83$ Επειδή ο αριθμός των ημερών είναι ακέραιος, η ζητούμενη τιμή είναι τουλάχιστον 29 ημέρες εργασίας.
Βήμα 6. Κάνουμε επαλήθευση με τη λύση μας.	Πράγματι με τις 29 μέρες εργασίας κερδίζει $29\cdot 30=870$ € και με τις οικονομίες των 840€,θα διαθέτει το ποσό των 1710€. Δεδομένου ότι τα έξοδα θα είναι $525+700+80\cdot 6=1705$ €, τα έσοδά του καλύπτουν πλήρως τις οικονομικές του ανάγκες.
Βήμα 7. Διατυπώνουμε το συμπέρασμα.	Άρα ο Γιάννης πρέπει να εργαστεί τουλάχιστον 29 μέρες, για να εξασφαλίσει τα έξοδα των διακοπών του (6 ημέρες).

Προηγούμενο μάθημα

Ασκήσεις πάνω στο μάθημα ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ