Διερεύνηση ανισώσεων

Μαθήματα

Διερεύνηση ανισώσεων

Όπως και στις εξισώσεις, έτσι χαρακτηρίζουμε ως αδύνατη μια ανίσωση, που δεν έχει λύση και ως αόριστη μια ανίσωση που έχει άπειρες λύσεις. Εδώ αλπά χρειάζεται προσοχη αποφεύγοντας στερεότυπα του τύπου $0x>0$ αόριστη (γιατί βλέπουμε τα δύο 0, όπως θυμώμαστε από τις εξισώσεις) γιατί καταλήγουμε σε λάθη.

Παραδείγματα

Η ανίσωση $0\cdot x>0$ είναι αδύνατη, διότι δεν υπάρχει αριθμός που πολλαπλασιάζεται επί 0 και να δίνει θετικό αποτέλεσμα. Από την άλλη, η ανίσωση $0\cdot \geq 0$ είναι αόριστη, διότι κάθε αριθμός που πολλαπλασιάζεται επί 0, μηδενίζεται κι εδώ ισχύει και η ισότητα. Για παράδειγμα είναι $3\cdot 0>0\,\gr\,0>0$ που είναι αδύνατη, ενώ $3\cdot 0\geq 0\,\gr\,0\geq 0$ που είναι αόριστη, γιατί πάντα ισχύει η ισότητα.
Η ανίσωση $0\cdot x>5$ , δηλαδή $0>5$ είναι αδύνατη, ενώ η $0\cdot x<5$ , δηλαδή $0<5$ , είναι αόριστη.

Παραθέτουμε έναν πίνακα με σχετικές περιπτώσεις για εμπέδωση.

Ανίσωση	Χαρακτηρισμός
$0\cdot x\leq 0$	Αόριστη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0\leq 0$ που είναι αληθής
$0\cdot x\geq 0$	Αόριστη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0\geq 0$ που είναι αληθής
$0\cdot x<-3$	Αδύνατη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0<-3$ που είναι ψευδής
$0\cdot x>-3$	Αόριστη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0>-3$ που είναι αληθής
$0\cdot x>3$	Αδύνατη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0>3$ που είναι ψευδής
$0\cdot x<3$	Αόριστη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0<3$ που είναι αληθής

Ας λύσουμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1) Να λυθεί η ανίσωση $3x-8<3x+5$

Επίλυση	Αιτιολογία
$3x-8<3x+5$
$3x-3x<8+5$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$0\cdot x<13$	Αναγωγές
$0\cdot x<13$	Αόριστη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0<13$ που είναι αληθής

Παράδειγμα 2) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{2x-1}{2}-1>\dfrac{3x+2}{3}$

Επίλυση	Αιτιολογία
$\dfrac{2x-1}{2}-1>\dfrac{3x+2}{3}$
$\cancel{6}^3\cdot\dfrac{2x-1}{\cancel{2}}-6\cdot 1>\cancel{6}^2\dfrac{3x+2}{3}$	Κανουμε απαλοιφή παρονομαστών.
$3\cdot(2x-1)-6>2\cdot(3x+2)$
$6x-3-6>6x+4$	Κάνουμε τις επιμεριστικές.
$6x-6x>3+6+4$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$0\cdot x>13$	Αναγωγές.
$0\cdot x>13$	Αδύνατη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0>13$ που είναι ψευδής

Παράδειγμα 3) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{x+3}{5}-\dfrac{x-1}{2}\geq \dfrac{2x-3}{5}-\dfrac{7x}{10}$

Επίλυση	Αιτιολογία
$\dfrac{x+3}{5}-x\geq \dfrac{2x-3}{5}-\dfrac{x}{10}$
$\cancel{10}^2\cdot \dfrac{x+3}{\cancel{5}}-\cancel{10}^5\cdot\dfrac{x-1}{\cancel{2}}\geq \cancel{10}^2\cdot\dfrac{2x-3}{\cancel{5}}-\cancel{10}^1\cdot\dfrac{7x}{\cancel{10}}$	Κανουμε απαλοιφή παρονομαστών.
$2\cdot(x+3)-5\dot(x-1)\geq 2\cdot(2x-3)-7x$
$2x+6-5x+5\geq 4x-6-7x$	Κάνουμε τις επιμεριστικές.
$2x-5x-4x-7x\geq -6-5-6$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$0\cdot x\geq -17$	Αναγωγές.
$0\cdot x\geq -17$	Αόριστη, γιατί όποιον αριθμό και αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x, προκύπτει $0\geq -17$ , που είναι αληθής

Ανισώσεις με παράμετρο

Η παρουσία της παραμέτρου πέρα από τον άγνωστο, ίσως σου δημιουργεί έναν επιπλέον “πονοκέφαλο”. Όμως, αν σκεφτείς ότι στη θέση της θα μπορούσε να είναι ένας οποιοσδήποτε αριθμός, τότε η κατάσταση θα σου φανεί πιο απλή. Ας δούμε το επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 4)
Αν $\gra=-1$ να λυθεί ανίσωση $2(x+1)+\dfrac{x}{2}>-2\gra+3x$

Επίλυση	Αιτιολογία
$2(x+1)+\dfrac{x}{2}>-2\gra+3x$
$2(x+1)+\dfrac{x}{2}>-2(-1)+3x$	Αντικαθιστούμε το α με το -1
$2x+2+\dfrac{x}{2}>2+3x$	Κάνουμε την επιμεριστική.
$2\cdot 2x+2\cdot 2+2\cdot\dfrac{x}{2}>2\cdot 2+2\cdot 3x$	Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστή
$4x+4+x>4+6x$	Κάνουμε τις πράξεις
$4x+x-6x>4-4$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-x>0$	Κάνουμε αναγωγές
$x<0$	Λύση της ανίσωσης

Παράδειγμα 5)
Αν $k=2$ να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

$-x-k(x+1)-3x<10\;\;\kai\;\;3-x-k(3-x)\leq 2$

Επιλύουμε την κάθε ανίσωση χωριστά, αφού αντικαταστήσουμε το k με το 2.

$-x-k(x+1)-3x<10$	$3-x-k(3-x)\leq 2$
$-x-2(x+1)-3x<10$	$3-x-2(3-x)\leq 2$
$-x-2x-2-3x<10$	$3-x-6+2x\leq 2$
$-x-2x-3x<10+2$	$-x+2x\leq 2-3+6$
$-6x<12$	$x\leq 5$
$x>-2$

Παράδειγμα 6)
Να βρεθεί ο αριθμός $k$ , ώστε η ανίσωση

$7(x+3)<-2(kx+3)$

να αληθεύει για $x>3$

Αφού θέλουμε η ανίσωση να έχει λύση την $x>3$ , θα ακολουθήσουμε τη συνηθισμένη διαδικασία επίλυσης των ανισώσεων, θεωρώντας το $k$ ως έναν αριθμό. Έχουμε:

$\begin{align*} &7(x+3)<-2(kx+3)\,\gr\,7x+21<-2kx-6\\ &7x+2kx<-21-6\,\gr\,x(7+2k)<-27\;\;\;(1) \end{align*}$

Η λύση της ανίσωσης ζητείται να είναι η $x>3$ , οπότε η (1) πρέπει να αλλάξει φορά. Για να συμβεί αυτό πρέπει να είναι $7+2k<0\,\gr\,2k<-7\,\gr\,k<-\dfrac{7}{2}$ , επομένως για $k<-\dfrac{7}{2}$ η (1) γίνεται:

$x>\dfrac{-27}{7+2k}$

Για να είναι η λύση της ανίσωσης $x>3$ , πρέπει
$\dfrac{-27}{7+2k}=3\,\gr\,-27=3(7+2k)\,\gr$
$-27=21+6k\,\gr\,6k=-48\,\gr\,k=-8<-\dfrac{7}{2}$
Άρα για $k=-8$ η ανίσωση αληθεύει για $x>3$

Ας λύσεις τώρα τις επόμενες ασκήσεις για εξάσκηση

Άσκηση 1)

Να παραστήσεις γραφικά πάνω στην ευθεία των αριθμών, γραμμοσκιάζοντας το αντίστοιχο τμήμα και να γράψεις τον αντίστοιχο συμβολισμό με διάστημα.

$x\leq -3$
$x>3$
$-1\leq x<4$
$0\leq x \leq 2$
$1<x< 5$

Άσκηση 2) Να λύσεις τις επόμενες ανισώσεις και να τις χαρακτηρίσεις αόριστες ή αδύνατες.

$8x-2(5-x)<4(x+9)+6x$
$\dfrac{y}{3}-\dfrac{1}{8}y>\dfrac{5}{24}y+\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{12}>\dfrac{x}{6}+\dfrac{7}{8}$
$\dfrac{2x}{5}-\dfrac{x}{3}<\dfrac{x}{15}-\dfrac{3}{5}$

Άσκηση 3)
Αν $\grl=3$ να λύσεις την ανίσωση $\dfrac{x+\grl+2}{4}-\dfrac{x}{\grl}>\dfrac{x-\grl}{6}$

Άσκηση 4) Αν $\gra=1$ να βρεις τις κοινές λύσεις των ανισώσεων $\dfrac{x-\gra}{2} < x-\gra$ και $\dfrac{x-4}{2}\geq \dfrac{x+3}{4}-\gra$

Άσκηση 5) Να βρεθεί η τιμή του $\gra$ , ώστε η ανίσωση $2(x-1)>\gra(x+3)-8$ να αληθεύει για $x>4$

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα