Ανισώσεις με κλάσματα

Στις ανισώσεις με παρονομαστές στη διαδικασία επίλυσης προστίθεται ένα βήμα ακόμη. Η απαλοιφή παρονομαστών. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα.

1) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{x}{2}<3$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$2\cdot \dfrac{x}{2}<2\cdot 3$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}2$ , ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
$x<6$	Λύση της ανίσωσης

2) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{3x}{-2}>4$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$(-2)\cdot \dfrac{3x}{-2}<(-2)\cdot 3$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}-2<0$ , ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή.
$3x<-6$	Η ανίσωση αλλάζει φορά.
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{3}}}x}{{\color{red}\cancel{3}}}<\dfrac{-6}{3}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x<-2$	Λύση της ανίσωσης

3) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{2}{3}-2\leq\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{6}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
${\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{2}{{\color{red}\cancel{3}}}x-{\color{red}6}\cdot{2}\leq{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{3}{\color{red}{\cancel{2}}}+{\color{red}\cancel{6}_1}\cdot\dfrac{1}{{\color{red}\cancel{6}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3)=6$ των παρονομαστών.
$4x-12\leq 9x+1$
$4x-9x\leq 1+12$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-5x\leq 13$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{-5}}}x}{{\color{red}\cancel{-5}}}\geq \dfrac{13}{-5}$	Διαιρούμε με το συντελεστή $\color{blue}-5<0$ του αγνώστου, οπότε αλλάζει φορά η ανίσωση
$x\geq-\dfrac{13}{5}$	Λύση της ανίσωσης

4) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{x+3}{2}< 1-\dfrac{x-1}{3}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
${\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x+3}{{\color{red}\cancel{2}}}<6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x-1}{\color{red}{\cancel{3}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3)=6$ των παρονομαστών.
$3(x+3)<6-2(x-1)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$3x+9<6-2x+2$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$3x+2x<6+2-9$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$5x<-1$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{5}}}x}{{\color{red}\cancel{5}}}<\dfrac{-1}{5}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x<-\dfrac{1}{5}$	Λύση της ανίσωσης

5) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{3}-1\right)+3>\dfrac{2(x-1)}{3}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{x}{6}-\dfrac{1}{2}+3>\dfrac{2x-2}{3}$	Κάνουμε επιμεριστική με τον κλασματικό συντελεστή, για να έχουμε ξεκαθαρίσει τους παρονομαστές
${\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{6}}}-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{1}{\color{red}\cancel{2}}+6\cdot 3>{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{2x-2}{\color{red}{\cancel{3}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3,\,6)=6$ των παρονομαστών.
$x-3+18>2(2x-2)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$x+15>4x-4$
$x-4x>-15-4$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$-3x>-19$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{-3}}}x}{{\color{red}\cancel{-3}}}<\dfrac{-19}{-3}$	Διαιρούμε με το συντελεστή $\color{blue}-3<0$ του αγνώστου, οπότε αλλάζει φορά η ανίσωση
$x<\dfrac{19}{3}$	Λύση της ανίσωσης

6) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{2(3x-1)+1}{2}+\dfrac{x}{3}\geq 1-\dfrac{2x+3}{2}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{6x-2+1}{2}+\dfrac{x}{3}\geq 1-\dfrac{2x+3}{2}$	“Τακτοποιούμε” τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, κάνοντας επιμεριστική
${\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{6χ+1}{{\color{red}\cancel{2}}}+{\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{3}}}\geq 6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{2x+3}{\color{red}{\cancel{2}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3)=6$ των παρονομαστών.
$3(6x+1+2x\geq 6-3(2x+3)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$18x+3+2x\geq 6-6x-9$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$18x+2x+6x\geq 6-3-9$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$26x\geq-6$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{26}}}x}{{\color{red}\cancel{26}}}\geq \dfrac{-6}{26}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x\geq-\dfrac{3}{13}$	Λύση της ανίσωσης

7) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}\leq \dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}\leq \dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}}$	Τα κλάσματα είναι σύνθετα, οπότε θα εργαστούμε, πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $\color{blue}(2,\,3)=6$ όλων των εμφανιζόμενων παρονομαστών.
$\dfrac{6\left(x-\frac{2}{3}\right)}{6\left(1-\frac{1}{2}\right)}\leq \dfrac{6\left(\frac{x}{2}+1\right)}{6\left(2-\frac{1}{3}\right)}$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$\dfrac{6x-4}{6-3}\leq \dfrac{3x+6}{12-2}$	Τα φέρνουμε σε τελική μορφή.
$\dfrac{6x-4}{3}\leq \dfrac{3x+6}{10}$	Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ= $\color{blue}30$ ή κάνουμε “χιαστί”
$10\left(6x-4\right)\leq3\left(3x+6\right)$
$60x-40\leq 9x+18$	Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα
$60x-9x\leq 40+18$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

$51x\leq 58$	Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
$\dfrac{{\color{red}\cancel{51}}x}{{\color{red}\cancel{51}}}\leq \dfrac{58}{51}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x\leq \dfrac{58}{51}$	Λύση της ανίσωσης

8) Να λυθεί η ανίσωση $\dfrac{3\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)}{4}-\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{3}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$12\cdot\dfrac{3\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)}{4}-12\cdot\dfrac{2}{3}<12\cdot\dfrac{1}{3}$	Κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών.
$9\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)-8<4$	Κάνουμε την επιμεριστική
$27x-\dfrac{9}{2}-8<4$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$27x<\dfrac{9}{2}+8+4$
$27x<\dfrac{33}{2}$	Κάνουμε τις προσθέσεις.
$\dfrac{{\color{red}\cancel{27}}x}{{\color{red}\cancel{27}}}<\dfrac{33}{54}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.
$x<\dfrac{11}{18}$	Λύση της ανίσωσης