Ανισότητες-Ιδιότητες

Ανισότητες-Ιδιότητες

Διάταξη των πραγματικών αριθμών

Ποιος αριθμός θα επαλήθευε την ανισότητα x>3; Πιθανά σκέφτεστε τον αριθμό 4! Είναι σωστό βέβαια, αλλά θα μπορούσε να είναι ο 5,7,12 ή 128 ή 3924. Με άλλα λόγια κάθε αριθμός μεγαλύτερος του 3 είναι μια απάντηση (λύση) για την ανισότητα x>3.
Πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε το 3. Το κόκκινο τμήμα της ευθείας των πραγματικών μας δείχνει με γραφικό τρόπο τις τιμές του \bf x που επαληθεύουν την x>3.

Αντίστοιχα το κόκκινο τμήμα της ευθείας των πραγματικών μας δείχνει με γραφικό τρόπο τις τιμές του \bf x που επαληθεύουν την x<3.

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται όλες οι περιπτώσεις \bf{<,\,\,>,\,\,\leq,\,\,\geq}

Οι έννοιες μεγαλύτερο ή μικρότερο μας είναι ήδη γνωστές. Για παράδειγμα το 7 είναι μεγαλύτερο από το 4 και γράφουμε στη γλώσσα των μαθηματικών 7>4. Αντίθετα το 7 είναι μικρότερο από το 12 και γράφουμε 7<12. Υπάρχουν όμως και οι διπλές σχέσεις \bf\leq και \bf\geq. Τις ονομάζουμε διπλές γιατί είναι αληθείς αν ισχύει μια από τις δύο περιπτώσεις. Για παράδειγμα αν έχουμε δύο παιδιά, των οποίων οι ηλικίες είναι “κοντά” αλλά δεν γνωρίζουμε ακριβώς ποιες είναι, λέμε “Ο Γιάννης είναι μεγαλύτερος ή συνομήλικος(ίσος) με τον Κώστα”. Σε αυτή την περίπτωση, αν συμβολίσουμε με \bf\grg την ηλικία του Γιάννη και με \bf\grk την ηλικία του Κώστα, γράφουμε \bf{\grg\geq\grk}. Συμβολικά η σχέση
\bf{A\leq B} σημαίνει ότι είναι σωστή (αληθής) όταν το A<B ή  όταν  A=B

Ας αναφέρουμε μερικά παραδείγματα ανισοτήτων για να δούμε πότε αληθεύουν και πότε όχι.

  • Η -1<1 είναι αληθής
  • Η 3<3 είναι ψευδής
  • Η 3\leq 3 είναι αληθής διότι ισχύει η ισότητα.

Ιδιότητες των ανισοτήτων

Αν \bf{\gra<\grb} τότε:

Rendered by QuickLaTeX.com

και

Rendered by QuickLaTeX.com

Με άλλα λόγια, μπορούμε και στα δύο μέλη μιας ανισότητας να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό.

Αντίστοιχα αν \gra<\grb και \grg>0 τότε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Αν \bf{\gra>\grb} και \grg>0 τότε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Με άλλα λόγια, αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, η ανισότητα διατηρεί την ίδια φορά.

Αν \gra<\grb και \grg<0 τότε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Αν \bf{\gra>\grb} και \grg<0 τότε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Rendered by QuickLaTeX.com

Με άλλα λόγια, αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, η ανισότητα αντιστρέφει την φορά της.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα πάνω στις ιδιότητες των ανισοτήτων. Συμπληρώστε κατάλληλα.

Αν x<y τότε  x+\color{red}{2}<y+\color{red}{2}, προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό 2 και στα δύο μέλη

Αν \gra>7 τότε \gra-\color{red}{4}\dots

Απ

\gra-\color{red}{4}>7-\color{red}{4}   δηλαδή   \gra-\color{red}{4}>3, αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό 4 και στα δύο μέλη

Αν x<8 τότε 3\cdot x...

Aπ.

3\cdot x<3\cdot 8  δηλαδή   3x<24, πολλαπλασιάζουμε με τον ίδιο θετικό αριθμό 3 και τα δύο μέλη.

Αν \gra<12 τότε \dfrac{\gra}{3}\dots

Aπ.

\dfrac{\gra}{3}<\dfrac{12}{3}  δηλαδή  \dfrac{\gra}{3}<4, διαιρούμε με τον ίδιο θετικό αριθμό 3 και τα δύο μέλη.

Αν x>4 τότε -3\cdot x...

Aπ.

-3\cdot x<-3\cdot 4  δηλαδή   -3x<-12, πολλαπλασιάζουμε με τον ίδιο αρνητικό αριθμό -3 και τα δύο μέλη, οπότε η ανίσωση αλλάζει φορά.
Share This