Ανισώσεις με κλάσματα

Ανισώσεις με κλάσματα

Ανισώσεις με κλάσματα

Στις ανισώσεις με παρονομαστές στη διαδικασία επίλυσης προστίθεται ένα βήμα ακόμη. Η απαλοιφή παρονομαστών. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα.

1) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{x}{2}<3

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
2\cdot \dfrac{x}{2}<2\cdot 3 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί \color{blue}2,
ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
x<6 Λύση της ανίσωσης

2) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{3x}{-2}>4

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
(-2)\cdot \dfrac{3x}{-2}<(-2)\cdot 3 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί \color{blue}-2<0,
ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή.
3x<-6 Η ανίσωση αλλάζει φορά.
\dfrac{{\color{red}{\cancel{3}}}x}{{\color{red}\cancel{3}}}<\dfrac{-6}{3} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x<-2 Λύση της ανίσωσης

3) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{2}{3}-2\leq\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{6}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
{\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{2}{{\color{red}\cancel{3}}}x-{\color{red}6}\cdot{2}\leq{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{3}{\color{red}{\cancel{2}}}+{\color{red}\cancel{6}_1}\cdot\dfrac{1}{{\color{red}\cancel{6}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3)=6 των παρονομαστών.
4x-12\leq 9x+1
4x-9x\leq 1+12 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
-5x\leq 13 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
\dfrac{{\color{red}{\cancel{-5}}}x}{{\color{red}\cancel{-5}}}\geq \dfrac{13}{-5} Διαιρούμε με το συντελεστή \color{blue}-5<0 του αγνώστου, οπότε αλλάζει φορά η ανίσωση
x\geq-\dfrac{13}{5} Λύση της ανίσωσης

4) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{x+3}{2}< 1-\dfrac{x-1}{3}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x+3}{{\color{red}\cancel{2}}}<6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x-1}{\color{red}{\cancel{3}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας
επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3)=6 των παρονομαστών.
3(x+3)<6-2(x-1) Κάνουμε τις επιμεριστικές
3x+9<6-2x+2 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
3x+2x<6+2-9 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
5x<-1
\dfrac{{\color{red}{\cancel{5}}}x}{{\color{red}\cancel{5}}}<\dfrac{-1}{5} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x<-\dfrac{1}{5} Λύση της ανίσωσης

5) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{3}-1\right)+3>\dfrac{2(x-1)}{3}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{x}{6}-\dfrac{1}{2}+3>\dfrac{2x-2}{3} Κάνουμε επιμεριστική με τον κλασματικό
συντελεστή, για να έχουμε ξεκαθαρίσει
τους παρονομαστές
{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{6}}}-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{1}{\color{red}\cancel{2}}+6\cdot 3>{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{2x-2}{\color{red}{\cancel{3}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας
επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3,\,6)=6 των παρονομαστών.
x-3+18>2(2x-2) Κάνουμε τις επιμεριστικές
x+15>4x-4
x-4x>-15-4 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
-3x>-19 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
\dfrac{{\color{red}{\cancel{-3}}}x}{{\color{red}\cancel{-3}}}<\dfrac{-19}{-3} Διαιρούμε με το συντελεστή \color{blue}-3<0 του αγνώστου,
οπότε αλλάζει φορά η ανίσωση
x<\dfrac{19}{3} Λύση της ανίσωσης

6) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{2(3x-1)+1}{2}+\dfrac{x}{3}\geq 1-\dfrac{2x+3}{2}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{6x-2+1}{2}+\dfrac{x}{3}\geq 1-\dfrac{2x+3}{2} “Τακτοποιούμε” τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, κάνοντας επιμεριστική
{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{6χ+1}{{\color{red}\cancel{2}}}+{\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{3}}}\geq 6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{2x+3}{\color{red}{\cancel{2}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3)=6 των παρονομαστών.
3(6x+1+2x\geq 6-3(2x+3) Κάνουμε τις επιμεριστικές
18x+3+2x\geq 6-6x-9 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
18x+2x+6x\geq 6-3-9 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
26x\geq-6
\dfrac{{\color{red}{\cancel{26}}}x}{{\color{red}\cancel{26}}}\geq \dfrac{-6}{26} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x\geq-\dfrac{3}{13} Λύση της ανίσωσης

7) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}\leq \dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}\leq \dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}} Τα κλάσματα είναι σύνθετα, οπότε θα εργαστούμε,
πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ\color{blue}(2,\,3)=6 όλων των εμφανιζόμενων
παρονομαστών.
\dfrac{6\left(x-\frac{2}{3}\right)}{6\left(1-\frac{1}{2}\right)}\leq \dfrac{6\left(\frac{x}{2}+1\right)}{6\left(2-\frac{1}{3}\right)} Κάνουμε τις επιμεριστικές
\dfrac{6x-4}{6-3}\leq \dfrac{3x+6}{12-2} Τα φέρνουμε σε τελική μορφή.
\dfrac{6x-4}{3}\leq \dfrac{3x+6}{10} Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ=\color{blue}30 ή κάνουμε “χιαστί”
10\left(6x-4\right)\leq3\left(3x+6\right)
60x-40\leq 9x+18 Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα
60x-9x\leq 40+18 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
51x\leq 58 Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
\dfrac{{\color{red}\cancel{51}}x}{{\color{red}\cancel{51}}}\leq \dfrac{58}{51} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x\leq \dfrac{58}{51} Λύση της ανίσωσης

8) Να λυθεί η ανίσωση \dfrac{3\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)}{4}-\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{3}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
12\cdot\dfrac{3\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)}{4}-12\cdot\dfrac{2}{3}<12\cdot\dfrac{1}{3} Κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών.
9\left(3x-\dfrac{1}{2}\right)-8<4 Κάνουμε την επιμεριστική
27x-\dfrac{9}{2}-8<4 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
27x<\dfrac{9}{2}+8+4
27x<\dfrac{33}{2} Κάνουμε τις προσθέσεις.
\dfrac{{\color{red}\cancel{27}}x}{{\color{red}\cancel{27}}}<\dfrac{33}{54} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.
x<\dfrac{11}{18} Λύση της ανίσωσης

Συναλήθευση ανισώσεων

Share This