Παραγοντοποίηση τριωνύμου 2ου βαθμού

Παραγοντοποίηση τρωνύμου 2ου βαθμού με διάσπαση του πρωτοβάθμιου όρου

Αρχικά ας θυμηθούμε την πλήρη μορφή ενός τριωνύμου 2ου βαθμού:

$\boxed{\bf{\large{P(x)=\gra\cdot x^2+\grb\cdot x+\grg\;\;\grm\gre\;\gra\neq0}}}$

Σε αυτή τη φάση θα ασχοληθούμε με την παραγοντοποίηση τριωνύμων, όπου $\gra=1$ .

Η βασική μέθοδος για την παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου 2ου βαθμού τέτοιας μορφής στηρίζεται στον επόμενο τύπο:

$\boxed{\bf{\Huge\color{red}{x^2+(\gra+\grb)x+\gra\cdot\grb=(x+\gra)(x+\grb)}}}$

Ας εργαστούμε με ένα απλό παράδειγμα. Έστω ότι θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε το

$P(x)=x^2-7\cdot x+10$

Η τεχνική είναι η εξής:

Πρώτα, βρίσκουμε δύο ακέραιους αριθμούς που να έχουν γινόμενο 10. τα πιθανά ζεύγη τέτοιων ακεραίων είναι τα: $(1,\,10), (2,\,5), (-1,\,-10)$ και $(-2,\,-5)$ .

Το δεύτερο βήμα είναι να επιλέξουμε το ζεύγος εκείνο του οποίου τα μέλη έχουν άθροισμα $\bf{\large{-7}}$ . Το ζεύγος αυτό είναι το $(-2,\,-5)$ .

Τώρα μετασχηματίζουμε το τριώνυμο ως εξής:

$\bf{\large{P(x)=x^2-2\cdot x-5\cdot x+(-2)\cdot(-5)=x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5)$

Ας δούμε πως συνοψίζονται τα παραπάνω, σε ένα πίνακα.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline \alpha &\beta & \alpha\cdot\beta &\alpha+\beta \\ \hline 1 & 10& 10 & 11\\ \hline -1 &-10& 10& -11\\ \hline 2 & 5 & 10& 7 \\ \hline -2 & -5 & 10& -7\\ \hline \end{tabular}$

Ας δούμε μερικά άλλα παραδείγματα:

$\begin{align*} x^2-8x+12&=x^2\overbrace{\color{red}{-8}{\cdot x}}^{\color{red}(-2x)+(-6x)}+\underbrace{12}_{(-2)\cdot(-6)}\\ &=x^2-2x-6x+(-2)\cdot(-6)=x{\color{red}(x-2)}-6{\color{red}(x-2)}\\ &=(x-2)(x-6) \end{align*}$

$\begin{align*} x^2-x-2&=x^2\overbrace{{\color{red}{-1}}\cdot x}^{\color{red}(-2x)+(+1x)}\underbrace{\color{red}-2}_{{\color{red}(-2)\cdot(+1)}}\\ &=x^2-2x+x+(-2)\cdot(+1)=x{\color{red}(x-2)}+{\color{red}(x-2)}\\ &=(x-2)(x+1) \end{align*}$

$\begin{align*} x^2+2\sqrt{2}x-6&=x^2\overbrace{+2\sqrt{2}\cdot x}^{(3\sqrt{2}\cdot x)+(-\sqrt{2}\cdot x)}\underbrace{-6}_{(3\sqrt{2})\cdot(-\sqrt{2})}\\ &=x^2+3\sqrt{2}x-\sqrt{2}x+(3\sqrt{2})\cdot(-\sqrt{2})\\ &=x(x+3\sqrt{2})-\sqrt{2}(x+3\sqrt{2})\\ &=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+3\sqrt{2}\right) \end{align*}$

4) $\bf{\large{-x^2+5x-6=-\left(x^2-5x+6\right)=-(x-2)(x-3)}}$

$\begin{align*} x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}&=x^2-\overbrace{\dfrac{4}{3}x}^{1x+\frac{1}{3}x}+\underbrace{\dfrac{1}{3}}_{1\cdot\frac{1}{3}}\\ &=(x-1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right) \end{align*}$

Ας δούμε τώρα μερικές ασκήσεις για λύση

1) $\bf{\large{x^2-x-6}}=\dots$

2) $\bf{x^2+x-2}}=\dots$

3) $\bf{\large{x^2-4\sqrt{3}x+9=\dots}}$

4) $\bf{\large{-x^2-x+2=\dots}}$

5) $\bf{\large{x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{8}=\dots}}$

6) $\bf{\large{x^2-3\gra x+2\gra^2=\dots}}$

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα