Αναπτύγματα ταυτοτήτων

Ανάπτυγμα τετραγώνου

Το χαρακτηριστικό της παράστασης που προκύπτει από το ανάπτυγμα τετραγώνου, είναι ότι έχει 3 όρους. Τούτο σημαίνει ότι όταν έχουμε να παραγοντοποιήσουμε μια παράσταση με 3 όρους ελέγχουμε αρχικά (πάντα μετά την εξαγωγή κοινού παράγοντα, αν υπάρχει) αν είναι ανάπτυγμα τετραγώνου διωνύμου. Θυμήσου ότι:

$\boxed{\bf{\large{x^2+2\cdot x\cdot y+y^2=\left(x+y\right)^2}}}$

$\boxed{\bf{\large{x^2-2\cdot x\cdot y+y^2=\left(x-y\right)^2}}}$

Πως εργαζόμαστε;

Ας απαντήσουμε στο επόμενο ερώτημα: Εξετάστε αν η παράσταση $\bf{\large{ x^2+6x+9}}$ είναι ανάπτυγμα τετραγώνου.

Βήμα 1 Ελέγχουμε αν η παράσταση έχει δύο τέλεια τετράγωνα. Εδώ έχουμε τα $\bf\large x^2$ και $\bf\large 9=3^2$ .

Βήμα 2 Ελέγχουμε αν το γινόμενο των βάσεων των τετραγώνων, διπλασιαζόμενο, δηλαδή εδώ το $\bf\large 2\cdot 3\cdot x$ δίνει τον τρίτο όρο, εδώ το $\bf\large 6\cdot x$ . Ανάλογα αν το διπλάσιο γινόμενο έχει “+” ή “-” καταλήγουμε στην ταυτότητα $(x+y)^2\,\gr\,(x-y)^2$ .

Στην περίπτωση του παραδείγματός μας είναι:

$x^2+6x+9={\color{red}x^2}+2\cdot 3\cdot x+{\color{red}3^2}=(x+3)^2$

Παραδείγματα

1) $\bf{\large{4+4\gra+\gra^2=\underbrace{2^2}_{x^2}+\underbrace{2\cdot 2\cdot \gra}_{2\cdot x\cdot y}+\underbrace{\gra^2}_{y^2}=\underbrace{\left(2+\gra\right)^2}_{(x+y)^2}}}$

2) $\bf{\large{4x^2+12x+9=\underbrace{(2x)^2}_{x^2}+\underbrace{2\cdot(2x)\cdot 3}_{2\cdot x\cdot y}+\underbrace{3^2}_{y^2}=\underbrace{(2x+3)^2}_{(x+y)^2}}}$

3) $\bf{\large{\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{4}{3}x+4}=\dots=\left(\dfrac{x}{3}+2\right)^2$

4) $\bf{\large{4x^2-4\sqrt{3}x+3=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=\left(2x-\sqrt{3}\right)^2}}$

$\begin{align*} \bf{\large{\left(x+2\right)^2-6(x+2)+9=&\underbrace{\left(x+2\right)^2}_{\gra^2}-2\cdot\underbrace{3}_{\grb}\cdot \underbrace{(x+2)}_{\gra}+\underbrace{3^2}_{\grb^2}}}\\ &=\left[(x+2)-3\right]^2=(x-1)^2 \end{align*}$

Ανάπτυγμα κύβου διωνύμου

Στην περίπτωση αυτή, το χαρακτηριστικό γνώρισμα είναι οι 4 όροι και η παρουσία κύβων στους εκθέτες. Φυσικά, όπως στις άλλες περιπτώσεις, πρώτα (εφόσον υπάρχει) εξάγουμε τον κοινό παράγοντα. Θυμίζουμε τις αντίστοιχες ταυτότητες:

$\boxed{\bf{\large{(x+y)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot y+3\cdot x\cdot y^2+y^3}}}$