Ανάπτυγμα τετραγώνου

Το χαρακτηριστικό της παράστασης που προκύπτει από το ανάπτυγμα τετραγώνου, είναι ότι έχει 3 όρους. Τούτο σημαίνει ότι όταν έχουμε να παραγοντοποιήσουμε μια παράσταση με 3 όρους ελέγχουμε αρχικά (πάντα μετά την εξαγωγή κοινού παράγοντα, αν υπάρχει) αν είναι ανάπτυγμα τετραγώνου διωνύμου. Θυμήσου ότι:

\boxed{\bf{\large{x^2+2\cdot x\cdot y+y^2=\left(x+y\right)^2}}}

\boxed{\bf{\large{x^2-2\cdot x\cdot y+y^2=\left(x-y\right)^2}}}
Πως εργαζόμαστε;
Ας απαντήσουμε στο επόμενο ερώτημα: Εξετάστε αν η παράσταση \bf{\large{ x^2+6x+9}} είναι ανάπτυγμα τετραγώνου.

Βήμα 1 Ελέγχουμε αν η παράσταση έχει δύο τέλεια τετράγωνα. Εδώ έχουμε τα \bf\large x^2 και \bf\large 9=3^2.

Βήμα 2 Ελέγχουμε αν το γινόμενο των βάσεων των τετραγώνων, διπλασιαζόμενο, δηλαδή εδώ το \bf\large 2\cdot 3\cdot x δίνει τον τρίτο όρο, εδώ το \bf\large 6\cdot x. Ανάλογα αν το διπλάσιο γινόμενο έχει “+” ή “-” καταλήγουμε στην ταυτότητα (x+y)^2\,\gr\,(x-y)^2.

Στην περίπτωση του παραδείγματός μας είναι:

    \[x^2+6x+9={\color{red}x^2}+2\cdot 3\cdot x+{\color{red}3^2}=(x+3)^2\]

Παραδείγματα

1)   \bf{\large{4+4\gra+\gra^2=\underbrace{2^2}_{x^2}+\underbrace{2\cdot 2\cdot \gra}_{2\cdot x\cdot y}+\underbrace{\gra^2}_{y^2}=\underbrace{\left(2+\gra\right)^2}_{(x+y)^2}}}

2)   \bf{\large{4x^2+12x+9=\underbrace{(2x)^2}_{x^2}+\underbrace{2\cdot(2x)\cdot 3}_{2\cdot x\cdot y}+\underbrace{3^2}_{y^2}=\underbrace{(2x+3)^2}_{(x+y)^2}}}

3)   \bf{\large{\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{4}{3}x+4}=\dots=\left(\dfrac{x}{3}+2\right)^2

4)   \bf{\large{4x^2-4\sqrt{3}x+3=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=\left(2x-\sqrt{3}\right)^2}}

5)  

    \begin{align*} \bf{\large{\left(x+2\right)^2-6(x+2)+9=&\underbrace{\left(x+2\right)^2}_{\gra^2}-2\cdot\underbrace{3}_{\grb}\cdot \underbrace{(x+2)}_{\gra}+\underbrace{3^2}_{\grb^2}}}\\ &=\left[(x+2)-3\right]^2=(x-1)^2 \end{align*}

Ανάπτυγμα κύβου διωνύμου

Στην περίπτωση αυτή, το χαρακτηριστικό γνώρισμα είναι οι 4 όροι και η παρουσία κύβων στους εκθέτες. Φυσικά, όπως στις άλλες περιπτώσεις, πρώτα (εφόσον υπάρχει) εξάγουμε τον κοινό παράγοντα. Θυμίζουμε τις αντίστοιχες ταυτότητες:

\boxed{\bf{\large{(x+y)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot y+3\cdot x\cdot y^2+y^3}}}

\boxed{\bf{\large{(x-y)^3=x^3-3\cdot x^2\cdot y+3\cdot x\cdot y^2-y^3}}}

Ασκήσεις για εξάσκηση

Να παραγοντοποιηθούν οι επόμενες παραστάσεις:

1) \bf{9x^2-12x+4=\dots}}

2) \bf{-x^2+6x-9=\dots}}

3) \bf{\left(2x+1\right)^2-4(2x+1)+4=\dots}}

4) \bf{8x-4x^2-4=\dots}}

5) \bf{3x^2-2\sqrt{3}x+1=\dots}}

6) \bf{\large{x^2+49-14x=\dots}}

7) \bf{\large {4x^2-12xy+9y^2=\dots}}

8)  \bf{\large{2x^2-4x+2=\dots}}

9) \bf{\large{16x^2-4-st+25t^2=\dots}}

10) \bf{\large{ x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3=\dots}}

Share This