Χωρισμός σε ομάδες

Κοινός παράγοντας κατά ομάδες

Πολλές φορές δεν βγαίνει κοινός παράγοντας από όλους τους όρους, αλλά αν τους χωρίσουμε σε ομάδες, προκύπτει κοινός παράγοντας. Για να ολοκληρωθεί όμως η παραγοντοποίηση, πρέπει οι παρενθέσεις που προκύπτουν, να είναι ίδιες, ώστε να συνεχίσει η παραγοντοποίηση με εξαγωγή κοινού παράγοντα. Για παράδειγμα:

$\bf{\large{{\color{red}\gra x}+{\color{blue}\grb y}+{\color{blue}\grb x}+{\color{red}\gra y}=\left({\color{red}\gra x}+{\color{red}\gra y}\right)+\left({\color{blue}\grb x}+{\color{blue}\grb y}\right)=\gra(x+y)+\grb(x+y)=(x+y)(\gra+\grb)}}$

Ας δούμε και μια περίπτωση, που η ομαδοποίηση δεν οδηγεί σε παραγοντοποίηση

$\bf{\large{{\color{red}2\gra }+{\color{blue}3\grb}+{\color{red}2x}+{\color{blue}3y}=\left({\color{red}2\gra }+{\color{red}2x}\right)+\left({\color{blue}3\grb}+ {\color{blue}3y}\right)=2(\gra+x)+3(\grb+y)$

Στην τελευταία σχέση. υπάρχει αδιέξοδο.Γιατί;

Πίεσε εδώ για βοήθεια

Δεν μπορούμε να συνεχίσουμε την παραγοντοποίηση, διότι οι παρενθέσεις είναι διαφορετικές. Φυσικά δεν μπορούμε να πούμε ότι η παράσταση παραγοντοποιήθηκε. Ο λόγος είναι φανερός! Η παράσταση που προέκυψε αποτελείται από 2 όρους(προσθετέους), οπότε δεν είναι γινόμενο.

Η περίπτωση της ομαδοποίησης μπορεί να συδυαστεί και με άλλες μορφές παραγοντοποίησης. Μια άμεση περίπτωση είναι ο συνδυασμός της με την διαφορά τετραγώνων. Για παράδειγμα

$\bf{\large{{\color{red}\gra x^2}-{\color{blue}\grb y}+{\color{blue}\grb x^2}-{\color{red}\gra y^2}=\left({\color{red}\gra x^2}-{\color{red}\gra y^2}\right)+\left({\color{blue}\grb x^2}-{\color{blue}\grb y^2}\right)=$ $\bf{\large{\gra(x^2-y^2)+\grb(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(\gra+\grb)}}=(x+y)(x-y)(\gra+\grb)}}$

Τις περιπτώσεις αυτές θα τις αναλύσουμε σε επόμενο μάθημα (“Σύνθετες περιπτώσεις παραγοντοποίησης“)

Λυμένα παραδείγματα

$\begin{align*} 2x^3+8x^2+3x+12 &=\underbrace{\left(2x^3+8x^2\right)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{\left(3x+12\right)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}\\ &=2x^2\cdot\underbrace{{\color{red}(x+4)}}_{\grk.\grp.}+3\cdot\underbrace{{\color{red}(x+4)}}_{\grk.\grp.}\\ &=(x+4)\cdot(2x^2+4) \end{align*}$

$\begin{align*} 3x^3+6x^2+4x+8 &=\underbrace{\left(3x^3+6x^2\right)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{\left(4x+8\right)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}\\ &=3x^2\cdot\underbrace{{\color{red}(x+2)}}_{\grk.\grp.}+4\cdot\underbrace{{\color{red}(x+2)}}_{\grk.\grp.}\\ &=(x+2)\cdot(3x^2+4) \end{align*}$

$\begin{align*} -12x^2+x+3x^3-4=3x^3-12x^2+x-4&=\underbrace{\left(3x^3-12x^2\right)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{\left(x-4\right)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}\\ &=3x^2\cdot\underbrace{{\color{red}(x-4)}}_{\grk.\grp.}+\underbrace{{\color{red}(x-4)}}_{\grk.\grp.}\\ &=(x-4)\cdot(3x^2+1) \end{align*}$

Να βρείτε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν του διπλανού ορθογωνίου και κατόπιν να την παραγοντοποιήσετε.

Λύση

Το ορθογώνιο του σχήματος αποτελείται από ένα τετράγωνο πλευρά $x$ , ένα ορθογώνιο με πλευρές $x$ και $y$ , ένα ορθογώνιο με πλευρές $\gra$ και $x$ και ένα ορθγώνιο με πλυρές $\gra$ και $y$ . Επομένως το εμβαδόν θα ισούται με:

$E=x^2+x\cdot y+\gra\cdot x+\gra\cdot y$

Θα παραγοντοποιήσουμε την αλγεβρική παράσταση που βρήκαμε με ομαδοποίηση. Έχουμε:

$x^2+x\cdot y+\gra\cdot x+\gra\cdot y=\underbrace{(x^2+xy)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{(\gra x+\gra y)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}=x\cdot{\color{red}(x+y)}+\gra\cdot{\color{red}(x+y)}=(x+y)(x+\gra)$