Κοινός παράγοντας κατά ομάδες

Πολλές φορές δεν βγαίνει κοινός παράγοντας από όλους τους όρους, αλλά αν τους χωρίσουμε σε ομάδες, προκύπτει κοινός παράγοντας. Για να ολοκληρωθεί όμως η παραγοντοποίηση, πρέπει οι παρενθέσεις που προκύπτουν, να είναι ίδιες, ώστε να συνεχίσει η παραγοντοποίηση με εξαγωγή κοινού παράγοντα. Για παράδειγμα:

\bf{\large{{\color{red}\gra x}+{\color{blue}\grb y}+{\color{blue}\grb x}+{\color{red}\gra y}=\left({\color{red}\gra x}+{\color{red}\gra y}\right)+\left({\color{blue}\grb x}+{\color{blue}\grb y}\right)=\gra(x+y)+\grb(x+y)=(x+y)(\gra+\grb)}}

Ας δούμε και μια περίπτωση, που η ομαδοποίηση δεν οδηγεί σε παραγοντοποίηση

\bf{\large{{\color{red}2\gra }+{\color{blue}3\grb}+{\color{red}2x}+{\color{blue}3y}=\left({\color{red}2\gra }+{\color{red}2x}\right)+\left({\color{blue}3\grb}+ {\color{blue}3y}\right)=2(\gra+x)+3(\grb+y)

Στην τελευταία σχέση. υπάρχει αδιέξοδο.Γιατί;

Πίεσε εδώ για βοήθεια

Δεν μπορούμε να συνεχίσουμε την παραγοντοποίηση, διότι οι παρενθέσεις είναι διαφορετικές. Φυσικά δεν μπορούμε να πούμε ότι η παράσταση παραγοντοποιήθηκε. Ο λόγος είναι φανερός! Η παράσταση που προέκυψε αποτελείται από 2 όρους(προσθετέους), οπότε δεν είναι γινόμενο.

Η περίπτωση της ομαδοποίησης μπορεί να συδυαστεί και με άλλες μορφές παραγοντοποίησης. Μια άμεση περίπτωση είναι ο συνδυασμός της με την διαφορά τετραγώνων. Για παράδειγμα

\bf{\large{{\color{red}\gra x^2}-{\color{blue}\grb y}+{\color{blue}\grb x^2}-{\color{red}\gra y^2}=\left({\color{red}\gra x^2}-{\color{red}\gra y^2}\right)+\left({\color{blue}\grb x^2}-{\color{blue}\grb y^2}\right)= \bf{\large{\gra(x^2-y^2)+\grb(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(\gra+\grb)}}=(x+y)(x-y)(\gra+\grb)}}

Τις περιπτώσεις αυτές θα τις αναλύσουμε σε επόμενο μάθημα (“Σύνθετες περιπτώσεις παραγοντοποίησης“)

Λυμένα παραδείγματα

1)

    \begin{align*} 2x^3+8x^2+3x+12 &=\underbrace{\left(2x^3+8x^2\right)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{\left(3x+12\right)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}\\ &=2x^2\cdot\underbrace{{\color{red}(x+4)}}_{\grk.\grp.}+3\cdot\underbrace{{\color{red}(x+4)}}_{\grk.\grp.}\\ &=(x+4)\cdot(2x^2+4) \end{align*}

2)

    \begin{align*} 3x^3+6x^2+4x+8 &=\underbrace{\left(3x^3+6x^2\right)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{\left(4x+8\right)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}\\ &=3x^2\cdot\underbrace{{\color{red}(x+2)}}_{\grk.\grp.}+4\cdot\underbrace{{\color{red}(x+2)}}_{\grk.\grp.}\\ &=(x+2)\cdot(3x^2+4) \end{align*}

3)

    \begin{align*} -12x^2+x+3x^3-4=3x^3-12x^2+x-4&=\underbrace{\left(3x^3-12x^2\right)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{\left(x-4\right)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}\\ &=3x^2\cdot\underbrace{{\color{red}(x-4)}}_{\grk.\grp.}+\underbrace{{\color{red}(x-4)}}_{\grk.\grp.}\\ &=(x-4)\cdot(3x^2+1) \end{align*}

4)

Να βρείτε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν του διπλανού ορθογωνίου και κατόπιν να την παραγοντοποιήσετε.

Λύση

Το ορθογώνιο του σχήματος αποτελείται από ένα τετράγωνο πλευρά x, ένα ορθογώνιο με πλευρές x και y, ένα ορθογώνιο με πλευρές \gra και x και ένα ορθγώνιο με πλυρές \gra και y. Επομένως το εμβαδόν θα ισούται με:

    \[E=x^2+x\cdot y+\gra\cdot x+\gra\cdot y\]

Θα παραγοντοποιήσουμε την αλγεβρική παράσταση που βρήκαμε με ομαδοποίηση. Έχουμε:

    \[x^2+x\cdot y+\gra\cdot x+\gra\cdot y=\underbrace{(x^2+xy)}_{\gra\;\gro\grm\gra\grd\gra}+\underbrace{(\gra x+\gra y)}_{\grb\;\gro\grm\gra\grd\gra}=x\cdot{\color{red}(x+y)}+\gra\cdot{\color{red}(x+y)}=(x+y)(x+\gra)\]

Ασκήσεις για λύση

Να παραγοντοποιηθούν οι επόμενες παραστάσεις:

1) \bf{\large{x^3+3x^2+2x+6=\dots}}

2) \bf{\large{3x^3-6x^2-5x+10=\dots}}

3) \bf{\large{xy+x+y+1=\dots}}

4) \bf{\large{xy-x-y+1=\dots}}

5) \bf{\large{\sqrt{3}x^3-\sqrt{6}x^2+x-\sqrt{2}=\dots}}

Υπόδειξη

Είναι \sqrt{6}=\sqrt{2}{\cdot\sqrt{3}

6) \bf{\large{3x^2-2x+3xy-2y-3x+2=\dots}}

7)

Στο διπλανό ορθογώνιο να βρείτε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν του και κατόπιν να την παραγοντοποιήσετε.

Share This