Επίλυση εξισώσεων με την βοήθεια της παραγοντοποίησης

Επίλυση εξισώσεων με την βοήθεια της παραγοντοποίησης

Γνωρίζουμε ότι ισχύει:

    \[ \gra\cdot \grb=0\an \gra=0 \,\gr\,\grb=0\;\;\;(1)\]

Αυτή η ιδιότητα είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση εξισώσεων, μέσω της παραγοντοποίησης. Αν έχουμε δηλαδή μια εξίσωση \bf\large P(x)=0, μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο (την παράσταση γενικότερα) ώστε να προκύψουν απλοί παράγοντες 1ου βαθμού, οπότε εφαρμόζοντας την (1), η οπoία αναφέρθηκε πιο πάνω, να λύνουμε την εξίσωση.

Παραδείγματα

1)
Να λυθεί η εξίσωση x^3 -3x^2+2x=0

Λύση

Παραγοντοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως εξής:

    \begin{align*} &x^3-3x^2+2x=0\,\gr\,x(x^2-3x+2)=0\\ &x(x-2)(x-1)=0\,\tote\\ x=0\,\gr\,x=1\,\gr x=2 \end{align*}

2)
Να λυθεί η εξίσωση \bf{\large{x^2-4=0}}

Λύση

Είναι

    \begin{align*} x^2-4=0\,\gr\, (x-2)(x+2)=0\,\gr&\\  x-2=0\,\gr\,x+2=0 \end{align*}

δηλαδή x=2\,\gr\,x=-2

3)
Να λυθεί η εξίσωση \bf{\large{(x+3)(x+1)^2=9x+27}}

Λύση

Είναι

    \begin{align*} (x+3)(x+1)^2=9(x+3)\gr&\\  (x+3)(x+1)^2-9(x+3)=0\gr&\\ (x+3)\left[(x+1)^2-9\right]=0\gr&\\  (x+3)\left[(x+1)^2-3^2\right]=0\gr& \\ (x+3)(x+1-3)(x+1+3)=0\gr&\\ (x+3)(x-2)(x+4)=0\gr& \\ x+3=0\,\gr\,x-2=0\,\gr\,x+4=0 \end{align*}

δηλαδή x=-3\,\gr\,x=2\,\gr\,x=-4

4)
Να λυθεί η εξίσωση \bf{\large{16x^2-\left(x^2+4\right)^2=0}}

Λύση

Είναι

    \begin{align*}  16x^2-\left(x^2+4\right)^2=0\gr&\\  (4x)^2-\left(x^2+4\right)^2=0\gr&\\  \left(4x+x^2+4\right)\left(4x-x^2-4\right)=0\gr&\\  \left(x^2+4x+4\right)\left[-\left(x^2-4x+4\right)\right]=0\gr&\\  -(x+4)^2(x-4)^2=0\gr&\\  x+4=0\,\gr\,x-4=0 \end{align*}

δηλαδή x=-4\,\gr\,x=4

Ας εργαστείς τώρα πάνω σε μερικές ασκήσεις

Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις:

1) \bf{\large{x^2-5x+6=0}}

2) \bf{\large{x^2=16x}}

3) \bf{\large{x^3-x^2-x+1=0}}

4) \bf{\large{(2x-1)(2x+3)=4x^2-4x+1}}

5) \bf{\large{-2-4x-2x^2=0}}

Διάβασέ το

Όπως μπορείς να κάνεις σε όλες τις εργασίες, αφού ετοιμάσεις τις απαντήσεις, στείλe τις λύσεις σου -σε ηλεκτρονική μορφή ή φωτο- και θα σου σταλούν με τον ίδιο τρόπο οι διορθώσεις. Για οποιαδήποτε πρόσθετη βοήθεια, επικοινώνησε για Live class

Share This