Επίλυση εξισώσεων με την βοήθεια της παραγοντοποίησης

Γνωρίζουμε ότι ισχύει:

$\gra\cdot \grb=0\an \gra=0 \,\gr\,\grb=0\;\;\;(1)$

Αυτή η ιδιότητα είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση εξισώσεων, μέσω της παραγοντοποίησης. Αν έχουμε δηλαδή μια εξίσωση $\bf\large P(x)=0$ , μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο (την παράσταση γενικότερα) ώστε να προκύψουν απλοί παράγοντες 1ου βαθμού, οπότε εφαρμόζοντας την (1), η οπoία αναφέρθηκε πιο πάνω, να λύνουμε την εξίσωση.

Παραδείγματα

1)
Να λυθεί η εξίσωση $x^3 -3x^2+2x=0$

Λύση

Παραγοντοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως εξής:

$\begin{align*} &x^3-3x^2+2x=0\,\gr\,x(x^2-3x+2)=0\\ &x(x-2)(x-1)=0\,\tote\\ x=0\,\gr\,x=1\,\gr x=2 \end{align*}$

2)
Να λυθεί η εξίσωση $\bf{\large{x^2-4=0}}$

Λύση

Είναι

$\begin{align*} x^2-4=0\,\gr\, (x-2)(x+2)=0\,\gr&\\ x-2=0\,\gr\,x+2=0 \end{align*}$

δηλαδή $x=2\,\gr\,x=-2$

3)
Να λυθεί η εξίσωση $\bf{\large{(x+3)(x+1)^2=9x+27}}$

Λύση

Είναι

$\begin{align*} (x+3)(x+1)^2=9(x+3)\gr&\\ (x+3)(x+1)^2-9(x+3)=0\gr&\\ (x+3)\left[(x+1)^2-9\right]=0\gr&\\ (x+3)\left[(x+1)^2-3^2\right]=0\gr& \\ (x+3)(x+1-3)(x+1+3)=0\gr&\\ (x+3)(x-2)(x+4)=0\gr& \\ x+3=0\,\gr\,x-2=0\,\gr\,x+4=0 \end{align*}$

δηλαδή $x=-3\,\gr\,x=2\,\gr\,x=-4$

4)
Να λυθεί η εξίσωση $\bf{\large{16x^2-\left(x^2+4\right)^2=0}}$

Λύση

Είναι

$\begin{align*} 16x^2-\left(x^2+4\right)^2=0\gr&\\ (4x)^2-\left(x^2+4\right)^2=0\gr&\\ \left(4x+x^2+4\right)\left(4x-x^2-4\right)=0\gr&\\ \left(x^2+4x+4\right)\left[-\left(x^2-4x+4\right)\right]=0\gr&\\ -(x+4)^2(x-4)^2=0\gr&\\ x+4=0\,\gr\,x-4=0 \end{align*}$

δηλαδή $x=-4\,\gr\,x=4$

Ας εργαστείς τώρα πάνω σε μερικές ασκήσεις

Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις:

1) $\bf{\large{x^2-5x+6=0}}$

2) $\bf{\large{x^2=16x}}$

3) $\bf{\large{x^3-x^2-x+1=0}}$

4) $\bf{\large{(2x-1)(2x+3)=4x^2-4x+1}}$

5) $\bf{\large{-2-4x-2x^2=0}}$

Διάβασέ το

Όπως μπορείς να κάνεις σε όλες τις εργασίες, αφού ετοιμάσεις τις απαντήσεις, στείλe τις λύσεις σου -σε ηλεκτρονική μορφή ή φωτο- και θα σου σταλούν με τον ίδιο τρόπο οι διορθώσεις. Για οποιαδήποτε πρόσθετη βοήθεια, επικοινώνησε για Live class

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα