Διαφορά τετραγώνων-Διαφορά και άθροισμα κύβων

Διαφορά τετραγώνων

Την διαφορά τετραγώνων, την συναντήσαμε στις ταυτότητες με την μορφή

$\bf{\large{(x+y)\cdot(x-y)=x^2-y^2}}$

Αν “διαβάσουμε” ανάποδα την ισότητα, τότε θα έχουμε

$\bf{\large{x^2-y^2=(x+y)\cdot(x-y)}}$

Η τελευταία μορφή εκφράζει την διαφορά τετραγώνων. Ας δούμε μια γεωμετρική της απόδειξη

(το σχήμα από https://en.wikipedia.org/wiki/Difference_of_two_squares#Factorisation_of_polynomials)

Παραδείγματα

1) $x^2-9=x^2-3^2=(x-3)\cdot(x+3)$

2) $x^2-y^2=(x-y)\cdot(x+y)$

3) $\gra^2-4\grb^2=\gra^2-(2\grb)^2=(\gra+2\grb)\cdot(\gra+2\grb)$

4) $4\gra^2-9\grb^2=(2\gra)^2-(3\grb)^2=(2\gra-3\grb)\cdot (2\gra+3\grb)$

5) $(x+1)^2-9=(x+1)^2-3^2=\left[(x+1)-3\right]\cdot\left[(x+1)+3\right]=(x-2)\cdot(x+4)$

6) $4-9(\gra-2)^2=2^2-\left[3(\gra-2)\right]^2=\left[2-3(\gra-2)\right]\cdot\left[2+3(\gra-2)\right]=$

$(2-3\gra+6)\cdot(2+3\gra-6)=(-3\gra+8)\cdot(3\gra-4)$

7) $x^4-y^6=(x^2)^2-(y^3)^2=(x^2-y^3)(x^2+y^3)$

Ασκήσεις για εξάσκηση

Να παραγοντοποιηθούν οι επόμενες παραστάσεις:

1) $\gra^2-9\grb^2=\dots$

2) $16\grk^2-(\gra+\grb)^2\grl^2=\dots$

3) $(x+2y)^2-(y-x)^2=\dots$

4) $x^2-5=x^2=(\sqrt{5})^2=\dots$

5) $4x^2-7=\dots$

6) $\dfrac{1}{\gra^2}-9=\dots$
7) $4x^2-2y^2=\dots$
8) $\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{9}{y^2}=\dots$

9) $\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2-\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2=\dots$

10) $36\gra^4-25\grb^4=\dots$

11) $(x+3)^2-16=\dots$

12) $x^{2k}-y^4=\dots$

13) $16-(x-2y)^2=\dots$

14) $(\gra-2\grb)^2-(-2\gra+\grb)^2=\dots$

15) $3x^2-12y^2=\dots$

16) $\dfrac{1}{4}x^2-(x-y)^2=\dots$

17) Να αιτιολογήσετε γιατί η παράσταση $\grk\cdot(\grk^2-1),\;\;\grk\in\mathbb{N^*}$ με $\grk>1$ εκφράζει το γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών ακεραίων.

Βοήθεια

Παραγοντοποίησε την παρένθεση και σκέψου ότι οι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, διαφέρουν κατά 1 μονάδα

Διαφορά και άθροισμα κύβων

Η διαφορά και το άθροισμα κύβων δίνεται από τις επόμενες ταυτότητες:

$\boxed{\bf{\large{x^3-y^3=(x-y)\cdot(x^2+xy+y^2)}}}$

$\boxed{\bf{\large{x^3+y^3=(x+y)\cdot(x^2-xy+y^2)}}}$

Γενικά όταν μια παράσταση έχει δύο όρους, αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα (αν υπάρχει) ελέγχουμε αν έχουμε διαφορά τετραγώνων, διαφορά κύβων ή άθροισμα κύβων.

Παραδείγματα

1) $\bf{\large{\gra^3-\grb^3=(\gra-\grb)(\gra^2+\gra\grb+\grb^2)}}$

2) $\bf{\large{x^3-8y^3=x^3-(2y)^3=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)}}$

3) $\bf{\large{\dfrac{1}{27}+\gra^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\gra^3=\left(\dfrac{1}{3}+\gra\right)\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{1}{3}\gra+\gra^2\right)=\left(\dfrac{1}{3}+\gra\right)\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}\gra+\gra^2\right)}}$

4) $\bf{\large{8\cdot \gra^3\cdot\grb^3-\grg^6=\left(2\gra\grb\right)^3-\left(\grg^2\right)^3=\left(2\gra\grb-\grg^2\right)\left(4\gra^2\grb^2+2\gra\grb\grg^2+\grg^4\right)}}$

5) $\bf{\large{\dfrac{1}{x^3}+8y^3=\left(\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(2y\right)^3=\left(\dfrac{1}{x}+2y\right)\left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}\cdot{(2y)}+4y^2\right)}}$

Ασκήσεις για λύση

8) $\dfrac{8}{27}x^3-64y^3=\dots$

9) $1+\dfrac{1}{8\gra^3}=\dots$

10) $24\gra^3-12\grb^6=\dots$

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα