Κοινός παράγοντας

Η διαδικασία με την οποία μια παράσταση, που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων, λέγεται παραγοντοποίηση

Χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης μιας αλγεβρικής παράστασης

Κοινός παράγοντας

Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση, σου είναι μια γνωστή ιδιότητα από τις προηγούμενες τάξεις. Όπως ξέρεις ισχύει:

Παρακάτω θα αναπτύξουμε μια απλή αλλά ωραία γεωμετρική απόδειξη της επιμεριστικής.

Οι ισότητες όμως μπορούν να “διαβαστούν” και ανάποδα. Αν δηλαδή $\bf\large x=y$ τότε και $\bf\large y=x$ , έτσι και η επιμεριστική μπορεί να διαβαστεί και αλλιώς, όπως βλέπεις Εδώ. Αν δούμε την ισότητα της επιμεριστικής από το δεύτερο μέλος, τότε έχουμε, όπως είδαμε και στο βίντεο την ισότητα

$\bf{\Huge{\gra\cdot\grb+\gra\cdot\grg}}=\gra\cdot\left(\grb+\grg\right)$

Τότε λέμε ότι το $\gra$ είναι κοινός παράγοντας των δύο όρων $\gra\cdot \grb$ και $\gra\cdot\grg$ . Παρακάτω θα εξηγήσουμε τις έννοιες όρος και παράγοντας.

Κατ’ αρχάς ας θυμηθούμε τι είναι ο παράγοντας. Θα λέγαμε με τον πιο απλό τρόπο ότι παράγοντες είναι οι αριθμοί , που όταν πολλαπλασιάζονται μας δίνουν έναν άλλο ως γινόμενο. Οι παράγοντες μπορεί να είναι και γράμματα (μεταβλητές).

Είναι σημαντικό να διαχωρίζουμε σε μια αλγεβρική παράσταση τους όρους και τους παράγοντες. Το παρακάτω σχήμα είναι χρήσιμο για να κάνουμε την διάκριση ανάμεσα στις δύο έννοιες.

Οι όροι χωρίζονται με (+) ή (-), ενώ οι παράγοντες με το ( $\centerdot$ ) Ένα ακόμη παράδειγμα, όπου οι παράγοντες είναι παρενθέσεις.

Στο τελευταίο παράδειγμα παρατηρούμε ότι η παρένθεση-παράγοντας $(x+3)$ υπάρχει και στους δύο όρους. Τότε λέμε ότι ο $(x+3)$ είναι κοινός παράγοντας. Στα παρακάτω παραδείγματα χρωματίζουμε τους κοινούς παράγοντες με κόκκινο χρώμα.

Ας δούμε τώρα , πως παραγοντοποιούμε μια παράσταση, με την μέθοδο του κοινού παράγοντα. Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό παράδειγμα. Έστω ότι θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε την απλή αριθμητική παράσταση:

$2\cdot3+4\cdot3.$

Είναι φανερό ότι ο κοινός παράγοντας είναι ο αριθμός $3$ . Γράφουμε

Ας προχωρήσουμε τώρα σε μερικά πιο σύνθετα παραδείγματα:

Rendered by QuickLaTeX.com

Θα λέγαμε ότι η εύρεση του κοινού παράγοντα σε μια παράσταση πραγματοποιείται μέσα από το “σπάσιμο” της παράστασης σε γινόμενο των πιο απλών παραγόντων. Θα ήταν όμως βαρετή και δύσχρηστη η ανάλυση σε πιο απλά γινόμενα μιας παράστασης με εκθέτες, όπως για παράδειγμα να γράφουμε $\gra^3=\gra\cdot\gra\cdot\gra$
Θα εργαζόμαστε λοιπόν ως εξής:

Διαχωρίζουμε την παράσταση σε όρους και παράγοντες
Ξεχωρίζουμε τους κοινούς παράγοντες στους συντελεστές (αριθμούς)- στην ουσία βρίσκουμε τον Μ.Κ.Δ τους. Μετά σημειώνουμε τα κοινά “γράμματα” σε όλους τους όρους και παίρνουμε σαν κοινό παράγοντα το γράμμα υψωμένο στον μικρότερο εκθέτη.
Γράφουμε τον κοινό παράγοντα (κ.π.) επί μια παρένθεση στην οποία περιλαμβάνουμε ότι απομένει από κάθε όρο από την διαίρεσή του με τον κ.π.

Παραδείγματα

1. $\bf\large{3\cdot x^2y-6x^3y^2}$

Έχουμε 2 όρους τους $3x^2y$ και $-6x^3y^2$ . Απο τους συντελεστές $3$ και $-6$ κοινός παράγοντας είναι ο $3$ ( Μ.Κ.Δ.(3,6)=3 ). Από τις μεταβλητές, υπάρχουν και στους δύο όρους τα $x$ και $y$ , οπότε κοινοί παράγοντες είναι οι $x^2$ και $y$ , γιατί έχουν τον μικρότερο εκθέτη. Έχουμε λοιπόν:

$3\cdot x^2y-6x^3y^2=3x^2y\cdot\left(\dfrac{3x^2y}{3x^2y}-\dfrac{6x^3y^2}{3x^2y}\right)=3x^2y\cdot\left(1-2xy\right)$

2. $\bf\large{-2\left(x+1\right)^2\left(y-2\right)^2+3\left(x+3\right)\left(y-2\right)^3}$

Στην περίπτωση αυτήν η παράσταση έχει 2 όρους τους $-2\left(x+1\right)^2\left(y-2\right)^2$ και $3\left(x+3\right)\left(y-2\right)^3$ . Ο κοινός παράγοντας είναι ο $(y-2)^2$ γιατί το “2” είναι μικρότερος εκθέτης που έχει στην παράσταση. Οι συντελεστές 2 και 3 δεν έχουν κ.π., οπότε:

$-2\left(x+1\right)^2\left(y-2\right)^2+3\left(x+3\right)\left(y-2\right)^3=\left(y-2\right)^2\cdot\left[-2\left(x+1\right)^2+3(x+3)(y-2)\right]$

3. $\bf\large{2\gra^3\grb^2\grg^2-4\gra^2\grb\grg^3+6\gra^2\grb}$

Στην περίπτωση αυτήν η παράσταση έχει 3 όρους τους $2\gra^3\grb^2\grg^2$ , $-4\gra^2\grb\grg^3$ και $6\gra^2\grb}$ . Οι συντελεστές $2,\,-4,\,6$ έχουν κοινό παράγοντα τον $2$ και οι μεταβλητές τον $\gra^2\grb$ . Έχουμε λοιπόν:

$2\gra^3\grb^2\grg^2-4\gra^2\grb\grg^3+6\gra^2\grb}=2\gra^2\grb\left[\gra\grb\grg-2\grg^3+3\right]$

4. $\bf\large{2x^2y(x+y)^3-3xy(x+y)^2-3y(x+y)}$

Στην περίπτωση αυτήν η παράσταση έχει 3 όρους τους $2x^2y(x+y)^3$ , $-3xy(x+y)^2$ και $3y(x+y)$ . Οι συντελεστές $2,\,-3,\,3$ δεν έχουν κοινό παράγοντα, και οι μεταβλητές έχουν κοινό παράγοντα τον $y(x+y)$ , οπότε:

$2x^2y(x+y)^3-3xy(x+y)^2-3y(x+y)=y(x+y)\left[2x^2(x+y)^2-3x(x+y)-3\right]$

Ασκήσεις για εξάσκηση

Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις:
1) $\bf\large{x^2-2\cdot x={\color{blue}{x}}\cdot\left(\dots\right)$
2) $\bf\large{3\cdot x\cdot (x-2)-6\cdot(x-2)={\color{blue}{3\cdot(x-2)}}\cdot\left(\dots\right)$
3) $\bf\large{-3x-15=...}$
4) $\bf\large{12x^2-28x^3=...}$
5) $\bf\large{3x(x-2)-6(2-x)=3x(x-2)+6(x-2)=...$
6) $\bf\large{3xy{\color{red}\left(2-x\right)^2}-6x^2y\color{red}\left(x-2\right)^3=...$

Πίεσε εδώ για βοήθεια στις ασκήσεις 5,6

Ας υπενθυμίσουμε ότι $2-x=-(x-2)$ , οπότε σε περιπτώσεις αντίθετων όρων-παρενθέσεων, μπορούμε αλλάζοντας το πρόσημο μπροστά από τις παρενθέσεις να αντιστρέφουμε τα πρόσημα των όρων μέσα στην παρένθεση. Για παράδειγμα

$x-3=-(3-x)\;\;\;-x-3=-(x+3)\;\;\;1+x=-(-1-x)$

Επεκτείνοντας την περίπτωση αυτή και σε δυνάμεις τότε ας έχουμε υπόψη μας ότι ο άρτιος εκθέτης αφήνει αμετάβλητη την δύναμη, όταν οι βάσεις είναι αντίθετες, οπότε αλλάζουμε τα πρόσημα μέσα στην παρένθεση χωρίς να αλλάζουμε το πρόσημο μπροστά από την παρένθεση, δηλαδή

$x^2=(-x)^2,\;\;\; (x-1)^2=(1-x)^2,$

ενώ αν έχουμε περιττό εκθέτη, πρέπει να αλλάζουμε το πρόσημο μπροστά από την παρένθεση,και τα πρόσημα μέσα στην παρένθεση δηλαδή,

$(x-1)^3=-(1-x)^3,\;\;\;x^3=-(-x)^3,\;\;\;(2-x)^5=-(x-2)^5$

7) $\bf{\large{\sqrt{3}x^2y-\sqrt{12}xy+\sqrt{27}xy^2}}=\dots$
8) $\bf{\large{5x(x-2)-x+2=\dots}}$
9) $\bf{\large{\grv(\grv-3)-2(3-\grv)=\dots}}$
10) $\bf{\large{\dfrac{2}{3}x(x-2)-\dfrac{(x-2)^2}{3}=\dots}}$

Βοήθεια για την άσκηση 10

Θυμήσου ότι π.χ. $\dfrac{x}{5}=\dfrac{1}{5}x$

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα