Εφαρμογές των αλγεβρικών παραστάσεων σε προβλήματα

Όταν πρόκειται να λύσεις προβλήματα χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση (και όχι μόνο) πρέπει να έχεις κατά νου ότι πρόκειται για προβλήματα, που βασίζονται στην “πραγματική ζωή”. Οι απαντήσεις τους λοιπόν πρέπει να έχουν νόημα. Για παράδειγμα αν μας ζητείται ο χρόνος ή το μήκος δεν μπορούμε να δεχτούμε ως απάντηση ένα αρνητικό αποτέλεσμα! Δεν μπορεί να έχουμε αρνητικό μήκος ή χρόνο. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι οι αρνητικοί αριθμοί είναι “κακοί” αριθμοί! Σε άλλες περιπτώσεις όπως θα δούμε, γίνονται δεκτοί ως απαντήσεις.

Ας δούμε ένα πρόβλημα σαν το πρώτο μας παράδειγμα

Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων αριθμών ισούται με 272. Να βρείτε την τιμή του κάθε ακεραίου.

Λύση

Το πρώτο πράγμα που θα κάνουμε είναι να ορίσουμε τους δύο ακεραίους. Έστω ότι με το $\bf\large x$ ορίζουμε τον πρώτο ακέραιο, τότε ο δεύτερος θα είναι ο $\bf{\large{x+1}}$ . Σύμφωνα με το πρόβλημα το γινόμενό τους είναι 272, άρα συμβολικά έχουμε:

$x\cdot (x+1)=272$

Κάνουμε τις πράξεις κι έχουμε:

$x^2+x=272\ann x^2+x-272=0$

Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή θα παραγοντοποιήσουμε, οπότε (είναι περίπτωση παραγοντοποίησης τριωνύμου) προκύπτει

$\begin{align*} x^2+17x-16x-272=0&\ann\\ x(x+17)-16(x+17)=0&\ann\\ (x+17)(x-16)=0 \end{align*}$

Η τελευταία εξίσωση δίνει: $x+17=0\,\gr\,x-16=0$ , οπότε τελικά καταλήγουμε ότι:

$x=-17\,\gr\,x=16$

Αν λοιπόν $x=-17$ τότε ο άλλος ακέραιος είναι ο $x+1=-17+1=-16$ , οπότε οι δύο ακέραιοι είναι οι $-17$ και $-16$ .
Αν $x=16$ τότε ο άλλος ακέραιος είναι ο $x+1=-16+1=17$ , οπότε οι δύο ακέραιοι είναι οι $16$ και $17$ .

Ας δούμε μερικά άλλα προβλήματα.

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι αριθμητικά πενταπλάσιο από την περίμετρό του. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς του.

Λύση

Στο διπλανό τετράγωνο έχουμε συμβολίσει το μήκος της πλευράς του με $\bf\large x$ . Τότε η περίμετρος $P$ θα δίνεται από το τύπο $\bf\large P=4x$ και το εμβαδόν του από τον τύπο $\bf\large E=x^2$ . Σύμφωνα με το πρόβλημα θα ισχύει: $E=5\cdot P$ (Προσοχή αριθμητικά μόνο ισχύει η ισότητα)

$x^2=5\cdot(4x)$

$x^2=20x$

$x^2-20x=0$

$x(x-20)=0$

$x=0\,\gr\,x-20=0$

$x=0\,\gr\,x=20$

Το 0 απορρίπτεται διότι δεν ορίζεται τετράγωνο με μήκος πλευράς 0, άρα $x=20$ .

Να βρείτε ένα πολυώνυμο που θα δίνει το εμβαδόν του διπλανού σχήματος. Μετά να υπολογίσετε το εμβαδόν του για $x=3$

Λύση

Το σχήμα αποτελείται από ένα ορθογώνιο, του οποίου το εμβαδόν θα το συμβολίσουμε με $E_1$ , ένα τετράγωνο, του οποίου το εμβαδόν θα το συμβολίσουμε με $E_2$ και δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδά $E_3\,\kai\,E_4$ αντίστοιχα. Τότε έχουμε:

$\begin{gather*} E_1=x\cdot (x+4)=x^2+4x\\ E_2=\left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{9}\\ E_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{x}{3}=\frac{x^2}{18}\\ E_4=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{x}{3}=\frac{x^2}{18} \end{gather*}$

Επομένως το εμβαδόν όλου του σχήματος θα ισούται με

$\begin{align*} E_1+E_2+E_3+E_4&=x^2+4x+\frac{x^2}{9}+\cancel{2}\cdot\frac{x^2}{\cancel{18}}\\ &= x^2+4x+\frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{9}\\ &=x^2+4x+\frac{2}{9}x^2=\frac{11}{9}x^2+4x \end{align*}$

με άλλο τρόπο, το σχήμα αποτελείται από ένα ορθογώνιο, με εμβαδόν $E_1$ και ένα τραπέζιο με εμβαδόν $E_2$ (που αποτελούν το τετράγωνο και τα δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα) με βάσεις $x\,\kai\,\dfrac{x}{3}$ και ύψος $\dfrac{x}{3}$ , οπότε το ολικό εμβαδόν θα ισούται με:

$E_1+E_2=x(x+4)+\dfrac{x+\frac{x}{3}}{2}\cdot\dfrac{x}{3}=\dots \dfrac{11x^2}{9}+4x$

Αν ονομάσουμε $E(x)=\dfrac{11}{9}x^2+4x$ , για $x=3$ θα έχουμε:

$E(3)= \frac{11}{9}\cdot 3^2+4\cdot 3=\frac{11}{9}\cdot 9+12=11+12=23\,\tau.\mu o\nu.$

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενη Ενότητα