Σύνθετες περιπτώσεις παραγοντοποίησης


Βήμα 1
Ελέγχουμε αν υπάρχει κοινός παράγοντας στους συντελεστές αλλά και γενικότερα στους όρους. Αν υπάρχει βγάζουμε τον κοινό παράγοντα πολλαπλασιάζοντάς τον επί μια παρένθεση, που έχει ως όρους τα πηλίκα των διαιρέσεων των όρων με τον κοινό παράγοντα.
Βήμα 2
Στην παρένθεση που προέκυψε μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα, εργαζόμαστε ως εξής:
- Αν υπάρχουν 2 όροι ελέγχουμε αν έχουμε τις μορφές
ή
ή
, οπότε τις αντιμετωπίζουμε όπως έχουμε ήδη μελετήσει στις αντίστοιχες περιπτώσεις.
- Αν μέσα την παρένθεση υπάρχουν 3 όροι, τότε εξετάζουμε την περίπτωση να είναι ανάπτυγμα ταυτότητας τετραγώνου αθροίσματος ή τετραγώνου διαφοράς ή τριώνυμο δευτέρου βαθμού.
- Αν η παράσταση έχει 4 ή 6 όρους, προσπαθούμε με χωρισμό σε ομάδες (ομαδοποίηση).
Ας δούμε αναλυτικά σε μερικά παραδείγματα, πως εργαζόμαστε!
Παράδειγμα 1

Αρχικά παρατηρούμε ότι ο 3 είναι κοινός παράγοντας των όρων, οπότε:
Στην παρένθεση προέκυψε το πολυώνυμο , που έχει 3 όρους,αλλά δεν είναι ταυτότητα, διότι δεν έχει δύο τέλεια τετράγωνα (πολύ περισσότερο γιατί ο τρίτος όρος έχει
.Eίναι όμως τριώνυμο δευτέρου βαθμού, oπότε το φέρνουμε στη μορφή
Τελικά λοιπόν είναι
Παράδειγμα 2

Αρχικά παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους. Διαπιστώνουμε όμως ότι στους 2 πρώτους όρους έχουμε κοινό παράγοντα (κ.π.), οπότε εξάγοντάς τον κ.π. προκύπτει:
Οι δύο τελευταίοι όροι είναι αντίθετοι από αυτούς που βρίσκονται μέσα στην παρένθεση, οπότε μπορούμε να τους αλλάξουμε τα πρόσημα αν τους “κλείσουμε” μέσα σε παρένθεση με μπροστά της. Έχουμε λοιπόν:
Τώρα είναι φανερό ότι η παρένθεση μπορεί να βγει σαν κοινός παράγοντας, δηλαδή:
Τελειώσαμε με την παραγοντοποίηση; Όχι βέβαια! Οι δύο παρενθέσεις εμφανίζουν δύο περιπτώσεις ταυτοτήτων (διαφορά τετραγώνων και κύβων), οπότε τις αναλύουμε:
Παράδειγμα 3
Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κ.π. σε όλους τους όρους αλλά ούτε αν τους χωρίσουμε σε ομάδες. Τι άλλο μπορούμε να κάνουμε; με λίγο περισσότερη προσοχή θα δούμε ότι οι 3 τελευταίοι όροι
θυμίζουν ανάπτυγμα ταυτότητας, φυσικά με αντίθετα πρόσημα! Πως θα προχωρήσουμε λοιπόν; Πρώτα θα τους “κλείσουμε” σε μια παρένθεση με μπροστά της. Έτσι θα έχουμε:
ή
Η τελευταία μορφή είναι μια διαφορά τετραγώνων, οπότε
Παράδειγμα 4
Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση
θα εστιάσουμε στην περίπτωση της ταυτότητας. Εδώ όμως υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα. Για να είναι ανάπτυγμα τετραγώνου, θα έπρεπε να είχαμε τον όρο
ως διπλάσιο γινόμενο. Με άλλα λόγια θα έπρεπε να είχαμε
Αφού χρειαζόμαστε το το δημιουργούμε γράφοντας το
ως
. Έτσι έχουμε:
Οι 3 πρώτοι όροι είναι ανάπτυγμα ταυτότητας, έτσι έχουμε
Παρουσιάζεται τώρα μια διαφορά τετραγώνων, οπότε έχουμε τελικά:
Παράδειγμα 5
Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση

Τελικά λοιπόν εργαζόμαστε ως εξής:
Παράδειγμα 6
Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση
Η μορφή αυτή χρειάζεται μια ιδιαίτερη μεταχείριση. Παρατηρούμε ότι η παράσταση υπάρχει και στις 2 παρενθέσεις. Κάνουμε λοιπόν την εξής “κίνηση” για να απλοποιήσουμε την κατάσταση.
Επομένως η παράστασή μας μετασχηματίζεται σε αυτήν:
Επειδή η (1) γίνεται
, οπότε τελικά έχουμε:
Παράδειγμα 7
Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε αν η παράσταση μέσα στην παρένθεση παραγοντοποιείται. Επειδή έχει 3 όρους, ελέγχουμε για δύο περιπτώσεις:
παρουσιάζεται το
, που δεν εμφανίζεται σε κανέναν άλλο όρο. Αν είχαμε περίπτωση τριωνύμου 2ου βαθμού, γινόμενο θα ήταν της μορφής
που απορρίπτεται ως περίπτωση, διότι τότε δεν θα εμφανιζόταν το
. Επομένως η παράσταση
δεν παραγοντοποιείται. Η τελική λοιπόν μορφή είναι:
Ασκήσεις για λύση
Να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
9)
10)