Σύνθετες περιπτώσεις παραγοντοποίησης

Στο μάθημα αυτό θα εξετάσουμε μερικές περιπτώσεις που συνδυάζουν τις προηγούμενες μορφές παραγοντοποίησης. Αρχικά θα χαράξουμε μια τακτική για να αντιμετωπίζουμε μια περίπτωση παραγοντοποίησης.

Βήμα 1

Ελέγχουμε αν υπάρχει κοινός παράγοντας στους συντελεστές αλλά και γενικότερα στους όρους. Αν υπάρχει βγάζουμε τον κοινό παράγοντα πολλαπλασιάζοντάς τον επί μια παρένθεση, που έχει ως όρους τα πηλίκα των διαιρέσεων των όρων με τον κοινό παράγοντα.

Βήμα 2

Στην παρένθεση που προέκυψε μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα, εργαζόμαστε ως εξής:

Αν υπάρχουν 2 όροι ελέγχουμε αν έχουμε τις μορφές $\bf{\large{\gra^2-\grb^2}}$ ή $\bf{\large{\gra^3-\grb^3}}$ ή $\bf{\large{\gra^3+\grb^3}}$ , οπότε τις αντιμετωπίζουμε όπως έχουμε ήδη μελετήσει στις αντίστοιχες περιπτώσεις.
Αν μέσα την παρένθεση υπάρχουν 3 όροι, τότε εξετάζουμε την περίπτωση να είναι ανάπτυγμα ταυτότητας τετραγώνου αθροίσματος ή τετραγώνου διαφοράς ή τριώνυμο δευτέρου βαθμού.
Αν η παράσταση έχει 4 ή 6 όρους, προσπαθούμε με χωρισμό σε ομάδες (ομαδοποίηση).

Σε κάθε περίπτωση παραγοντοποιούμε πλήρως την παράσταση, δηλαδή στο αποτέλεσμα δεν πρέπει να εμφανίζεται όρος, που δεν έχει παραγοντοποιηθεί.

Ας δούμε αναλυτικά σε μερικά παραδείγματα, πως εργαζόμαστε!

Παράδειγμα 1

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\bf{\large{ 3x^2-12x-15}}$

Αρχικά παρατηρούμε ότι ο 3 είναι κοινός παράγοντας των όρων, οπότε:

$3\cdot\left(x^2-4x-5\right)$

Στην παρένθεση προέκυψε το πολυώνυμο $\bf{\large{x^2-4x-5}}$ , που έχει 3 όρους,αλλά δεν είναι ταυτότητα, διότι δεν έχει δύο τέλεια τετράγωνα (πολύ περισσότερο γιατί ο τρίτος όρος έχει $\color{red}"-"}$ .Eίναι όμως τριώνυμο δευτέρου βαθμού, oπότε το φέρνουμε στη μορφή

$x^2-(5-1)x+(-1)\cdot 5=(x-5)(x+1).$

Τελικά λοιπόν είναι $\bf{\large{ 3x^2-12x-15}}=3(x-5)(x+1)$

Παράδειγμα 2

Nα παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\bf{\large{x^2y^3-4y^3-x^2+4}}$

Αρχικά παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους. Διαπιστώνουμε όμως ότι στους 2 πρώτους όρους έχουμε κοινό παράγοντα (κ.π.), οπότε εξάγοντάς τον κ.π. προκύπτει:

$y^3\cdot{\color{blue}{\left(x^2-4\right)}}-x^2+4$

Οι δύο τελευταίοι όροι είναι αντίθετοι από αυτούς που βρίσκονται μέσα στην παρένθεση, οπότε μπορούμε να τους αλλάξουμε τα πρόσημα αν τους “κλείσουμε” μέσα σε παρένθεση με $\bf{\Huge{\color{red}"-"}}$ μπροστά της. Έχουμε λοιπόν:

$y^3\cdot{\color{blue}{\left(x^2-4\right)}}-{\color{blue}{\left(x^2-4\right)}}$

Τώρα είναι φανερό ότι η παρένθεση μπορεί να βγει σαν κοινός παράγοντας, δηλαδή:

${\color{blue}{\left(x^2-4\right)}}{\color{red}{\left(y^3-1\right)}}$

Τελειώσαμε με την παραγοντοποίηση; Όχι βέβαια! Οι δύο παρενθέσεις εμφανίζουν δύο περιπτώσεις ταυτοτήτων (διαφορά τετραγώνων και κύβων), οπότε τις αναλύουμε:

$(x-2)(x+2)(y-1)(y^2+y+1)$

Παράδειγμα 3

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση

$4-x^2+2xy-y^2.$

Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει κ.π. σε όλους τους όρους αλλά ούτε αν τους χωρίσουμε σε ομάδες. Τι άλλο μπορούμε να κάνουμε; με λίγο περισσότερη προσοχή θα δούμε ότι οι 3 τελευταίοι όροι

$\color{red}-x^2+2xy-y^2$

θυμίζουν ανάπτυγμα ταυτότητας, φυσικά με αντίθετα πρόσημα! Πως θα προχωρήσουμε λοιπόν; Πρώτα θα τους “κλείσουμε” σε μια παρένθεση με $\bf{\Huge{\color{red}"-"}}$ μπροστά της. Έτσι θα έχουμε:

$4-\underbrace{\left(x^2-2xy+y^2\right)}_{(x-y)^2}$

$4-\left(x-y\right)^2$

Η τελευταία μορφή είναι μια διαφορά τετραγώνων, οπότε

$2^2-\left(x-y\right)^2=\left(2+x-y\right)\left(2-x+y\right)$

Γενικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι αν έχουμε μια παράσταση με 4 όρους και δεν έχουμε κοινό παράγοντα (Κ.Π.) ή δεν μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος της ομαδοποίησης, τότε καλό είναι να ελέγχουμε αν οι 3 από τους όρους είναι ανάπτυγμα ταυτότητας, οπότε εργαζόμαστε όπως το πιο πάνω παράδειγμα.

Παράδειγμα 4

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\bf{\large{x^4+y^4+x^2y^2}}$

Στην περίπτωση εδώ βλέπουμε ότι έχουμε 3 όρους, χωρίς κοινό παράγοντα. Το μυαλό μας θα πάει στο ανάπτυγμα ταυτότητας τετραγώνου ή σε τριώνυμο 2ου βαθμού. Επειδή η παράσταση μπορεί να γραφεί ως

$\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+x^2y^2$

θα εστιάσουμε στην περίπτωση της ταυτότητας. Εδώ όμως υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα. Για να είναι ανάπτυγμα τετραγώνου, θα έπρεπε να είχαμε τον όρο

$2x^2y^2$

ως διπλάσιο γινόμενο. Με άλλα λόγια θα έπρεπε να είχαμε

$\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+2x^2y^2.$

Αφού χρειαζόμαστε το $2x^2y^2$ το δημιουργούμε γράφοντας το $x^2y^2$ ως $2x^2y^2-x^2y^2$ . Έτσι έχουμε:

${\color{red}{\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+2x^2y^2}}-x^2y^2.$

Οι 3 πρώτοι όροι είναι ανάπτυγμα ταυτότητας, έτσι έχουμε

${\color{red}{\left(x^2+y^2\right)^2}}-\left(xy\right)^2.$

Παρουσιάζεται τώρα μια διαφορά τετραγώνων, οπότε έχουμε τελικά:

${\color{red}{\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x^2+y^2-xy\right)$

Παράδειγμα 5

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\bf{\large{4x^2-4xy+y^2-9x^2y^2}}.$

Κοινός παράγοντας δεν υπάρχει και αν τους χωρίσουμε σε ομάδες, πάλι δεν έχουμε κάποιο αποτέλεσμα.
Πότε 3 όροι μπορούν να μετασχηματιστούν σε άθροισμα 2 όρων; Μα όταν έχουμε ανάπτυγμα ταυτότητας. Σκεφτείτε ότι $\bf{\large{x^2+2xy+y^2=(x+y)^2}}.$
Αν λοιπόν οι 3 από τους 4 όρους “φτιάχνουν” ταυτότητα, τότε μπορούμε να προχωρήσουμε! Πράγματι εδώ έχουμε 3 τέτοιους όρους. παρατηρείστε ότι:

$\large{4x^2-4xy+y^2=\left(2x\right)^2-2\cdot 2x\cdot y+y^2=\left(2x-y\right)^2$

Τελικά λοιπόν εργαζόμαστε ως εξής:

$\begin{align*} &4x^2-4xy+y^2-9x^2y^2=\left(2x\right)^2-2\cdot 2x\cdot y+y^2-9x^2y^2\\ &\left(2x-y\right)^2-\left(3xy\right)^2=(2x-y+3xy)(2x-y-3xy) \end{align*}$

Παράδειγμα 6

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\bf{\large{\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-6\right)+9}}$

Μια πρακτική συμβουλή: Όταν σου δίνεται μια παράσταση τέτοιας μορφής με πράξεις “περίεργων” παρενθέσεων μη βιαστείς να κάνεις πράξεις! Άλλωστε παραγοντοποίηση μας ζητείται και όχι να κάνουμε πράξεις.

Η μορφή αυτή χρειάζεται μια ιδιαίτερη μεταχείριση. Παρατηρούμε ότι η παράσταση $\color{red} x^2+x$ υπάρχει και στις 2 παρενθέσεις. Κάνουμε λοιπόν την εξής “κίνηση” για να απλοποιήσουμε την κατάσταση.

$\left(\underbrace{{\color{red}x^2+x}}_{y}\right)\left(\underbrace{{\color{red}x^2+x}}_{y}-6\right)+9$

Επομένως η παράστασή μας μετασχηματίζεται σε αυτήν:

$y(y-6)+9=y^2-6y+9=(y-3)^2\,\;(1)$

Επειδή $x^2+x=y$ η (1) γίνεται $(x^2+x-3)^2$ , οπότε τελικά έχουμε:

$\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-6\right)+9=\left(x^2+x-3\right)^2$

Παράδειγμα 7

Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $6x^2y^4-21x^3y^5+3x^2y^6$

Πρώτα θα εξετάσουμε αν υπάρχει κοινός παράγοντας. Πράγματι έχουμε:

$6x^2y^4-21x^3y^5+3x^2y^6=3x^2y^4\left(2-7xy+y^2\right).$

Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε αν η παράσταση μέσα στην παρένθεση παραγοντοποιείται. Επειδή έχει 3 όρους, ελέγχουμε για δύο περιπτώσεις:

Εξετάζουμε να έχουμε ανάπτυγμα ταυτότητας. Όμως αυτή η περίπτωση απορρίπτεται διότι δεν έχουμε 2 τέλεια τετράγωνα. Άλλωστε παρατηρούμε ότι στο $-7xy$ παρουσιάζεται το $x$ , που δεν εμφανίζεται σε κανέναν άλλο όρο. Αν είχαμε περίπτωση τριωνύμου 2ου βαθμού, γινόμενο θα ήταν της μορφής $(\gra-y)(\grb-y)$ που απορρίπτεται ως περίπτωση, διότι τότε δεν θα εμφανιζόταν το $x$ . Επομένως η παράσταση $2-7xy+y^2$ δεν παραγοντοποιείται. Η τελική λοιπόν μορφή είναι:
$6x^2y^4-21x^3y^5+3x^2y^6=3x^2y^4\left(2-7xy+y^2\right).$

Ασκήσεις για λύση

Να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις:

1) $x^3-5x^2-25x+125$

2) $x^3-18x^2+81x$

3) $4x^2y^2+12xyz+9z^2$

4) $x^4+2x^2+1$

5) $\gra^2+4\gra\grb+4\grb^2-1$

6) $\gra^2-16\grb^2+2\gra-8\grb$

7) $(\gra-\grb)^3+(\grb-\gra)$

8) $\left(x+\sqrt{3}\right)^2+2\left(x+\sqrt{3}\right)+1$

9) $9-16x^2+8xy-y^2$

9) $x^4+4y^4+3x^2y^2$

10) $(y+4)^2+2x(y+4)+x^2$

Στα επόμενα μαθήματα θα κάνουμε εφαρμογή σε όσα μάθαμε στην ενότητα της παραγοντοποίησης, λύνοντας ασκήσεις, βλέποντας σχετικά βίντεο και συμπληρώνοντας ένα τεστ.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα