Προβλήματα κλασματικών εξισώσεων

Προβλήματα που λύνονται με ρητές εξισώσεις.

Ας υπενθυμίσουμε τον τρόπο με τον οποίο προσεγγίζουμε ένα προβλήματος με στόχο την επίλυσή του..

5 βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήμα 1 Κατανόηση του προβλήματος, δηλαδή εξοικείωση με το πρόβλημα.

Βήμα 2 Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα, δηλαδή το “μεταφράζουμε” με μια μαθηματική έκφραση, συνήθως εξίσωση.

Βήμα 3 Εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων, συνήθως λύση της εξίσωσης.

Βήμα 4 Επαλήθευση. Το αποτέλεσμα πρέπει να επαληθεύει το αρχικό πρόβλημα.

Βήμα 5 Συμπέρασμα διατυπώνουμε με σαφήνεια το συμπέρασμα.

Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που καταλήγουν σε ρητές εξισώσεις.

Αν σε έναν αριθμό προσθέσουμε το τριπλάσιο του αντιστρόφου του, προκύπτει -4. Ποιος είναι ο αριθμός;

Κατανόηση του προβλήματος, δηλαδή εξοικείωση με το πρόβλημα.

Ας προσπαθήσουμε να μαντέψουμε τον αριθμό. Έστω ότι είναι ο 4. Σύμφωνα με το πρόβλημα είναι $4+3\cdot\dfrac{1}{3}=4+\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{3}$ . Όμως $\dfrac{16}{3}\neq -4$ . Αρχικά παρατηρούμε ότι δεν μπορεί να είναι λύση στο πρόβλημα ένας θετικός αριθμός, διότι και ο αντίστροφός του θα είναι θετικός, οπότε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης θα είναι θετικό. Επομένως ψάχνουμε για έναν αρνητικό αριθμό. Ας υποθέσουμε ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο x<0.

Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα, δηλαδή το “μεταφράζουμε” με μια μαθηματική έκφραση, συνήθως εξίσωση.

δηλαδή

$x+3\cdot\dfrac{1}{x}=-4$

Εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων, με άλλα λόγια επίλυση της εξίσωσης.

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x+3\cdot\dfrac{1}{x}=-4$
$\cdot x+x\cdot 3\cdot\dfrac{1}{x}=-4\cdot x$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}x$ , ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
$x^2+3=-4\cdot x$	Κάνουμε την επιμεριστική ιδιότητα.
$x^2+4\cdot x+3=0$	Συγκεντρώνουμε στο α μέλος.
$x=-1\,\gr\,x=-3$	Λύση της εξίσωσης.

Επαλήθευση .
Παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές που βρέθηκαν, επαληθεύουν την αρχική εξίσωση, άρα γίνονται δεκτές.

Συμπέρασμα Άρα η λύση του προβλήματος είναι οι δύο τιμές $x=-3\,\gr\,x=-1$

Πρόβλημα: Ένα αυτοκίνητο κινείται με 20 km/h ταχύτερα από ένα άλλο. Στον ίδιο χρόνο το γρηγορότερο αυτοκίνητο διανύει 240 km και το άλλο 160 km. Ποιες είναι οι ταχύτητές τους.

Κατανόηση του προβλήματος, δηλαδή εξοικείωση με το πρόβλημα.

Ας υποθέσουμε ότι ότι το αυτοκίνητο με την μικρότερη ταχύτητα κινείται με 30 km/h. Τότε το άλλο με κατά 20 km/h μεγαλύτερη ταχύτητα, κινείται με (30+20)=50 km/h. Το πρώτο αυτοκίνητο διανύει τα 160 km σε χρόνο $\dfrac{160}{30}=\dfrac{16}{3}\,h$ , ενώ το ταχύτερο διανύει τα 240 km σε χρόνο $\dfrac{240}{50}=\dfrac{24}{5}\,h$ . Σύμφωνα με το πρόβλημα ο χρόνος που διανύουν τις αντίστοιχες αποστάσεις τα δύο αυτοκίνητα είναι ο ίδιος. Στην περίπτωση όμως που αναφέραμε πριν είναι $\dfrac{16}{3}\neq \dfrac{24}{5}$ , δηλαδή οι τιμές που υποθέσαμε στο παράδειγμά μας δεν επαληθεύουν το πρόβλημα. Όμως η σκέψη μας βοηθάει να ξεκαθαρίσουμε την τακτική της λύσης μας.

Γνωρίζουμε από την Φυσική ότι το διάστημα $\pmb s$ που διανύει ένα κινητό σε χρόνο $\pmb t$ με σταθερή ταχύτητα $\pmb v$ δίνεται από την εξίσωση

$\pmb{s=v\cdot t}.$

Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται τον ίδιο χρόνο, έστω $t$ . Έχουμε:

	Απόσταση	Ταχύτητα	Χρόνος
Αυτοκ. αργό	160	v	t
Αυτοκ.γρήγορο	240	v+20	t

Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα, δηλαδή το “μεταφράζουμε” σε μαθηματική έκφραση, συνήθως εξίσωση.

	Απόσταση	Ταχύτητα	Χρόνος
Αυτοκ. αργό	160	v	$\pmb{\dfrac{160}{v}}$
Αυτοκ.γρήγορο	240	v+20	$\pmb{\dfrac{240}{v+20}}$

Μη ξεχνάμε ότι ο χρόνος είναι ο ίδιος, επομένως προκύπτει η εξίσωση

$\pmb{\dfrac{160}{v}=\dfrac{240}{v+20}}$

Εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων, με άλλα λόγια επίλυση της εξίσωσης.

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{160}{v}=\dfrac{240}{v+20}$
$160(v+20)=240v$	Κάνουμε χιαστί.
$160v+3200=240v$	Κάνουμε την επιμεριστική ιδιότητα.
$80v=3200$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε αναγωγές.
$v=\dfrac{3200}{80}=40$	Λύση της εξίσωσης.

Επαλήθευση .
Επομένως η ταχύτητα του αργού αυτοκινήτου είναι 40 km/h, ενώ του γρήγορου 40+20=60 km/h. Ας δούμε αν η λύση μας είναι αποδεκτή. Το ένα αυτοκίνητο διανύει τα 160 km σε χρόνο $\dfrac{160}{40}=4\,h$ , ενώ το άλλο σε $\dfrac{240}{60}=4\,h$ . παρατηρούμε ότι η λύση μας επαληθεύει το πρόβλημα.

Συμπέρασμα Άρα το ένα αυτοκίνητο κινείται με 40 km/h και το άλλο με ταχύτητα 60km/h.

Πρόβλημα:Η Ειρήνη γυμνάζεται για 3 ώρες κάθε Σάββατο. Τρέχει 8km και μετά κάνει ποδήλατο για 24km. Η ταχύτητά της με το ποδήλατο είναι 4km/h μεγαλύτερη από την ταχύτητα που τρέχει. Ποια έιναι η ταχύτητα που τρέχει;

Κατανόηση του προβλήματος, δηλαδή εξοικείωση με το πρόβλημα.

Ας υποθέσουμε ότι ότι η Ειρήνη τρέχει με ταχύτητα 5km/h, τότε με το ποδήλατο θα έχει ταχύτητα 5+4=9km/h. Αφού ασκείται για 3h άθροισμα των χρόνων, που τρέχει και κάνει ποδήλατο θα είναι 3h.

Γνωρίζουμε από την Φυσική ότι ο χρόνος $\pmb t$ που απαιτείται για να διανύσει ένα κινητό απόσταση $\pmb s$ με σταθερή ταχύτητα $\pmb v$ δίνεται από την εξίσωση

$\pmb{t=\dfrac{s}{v}}.$

Ας λάβουμε υπόψη μας ότι στο συγκεκριμένο πρόβλημα η σταθερή ταχύτητα $v>0$ .Έχουμε λοιπόν:

	Απόσταση	Ταχύτητα	Χρόνος
Τρέξιμο	8	v	$\pmb{t_1}$
Ποδηλασία	24	v+4	$\pmb{t_2}$

	Απόσταση	Ταχύτητα	Χρόνος
Τρέξιμο	8	v	$\pmb{\dfrac{8}{v}}$
Ποδηλασία	24	v+4	$\pmb{\dfrac{24}{v+4}}$

Ισχύει $\pmb{t_1+t_2=3h}$ , επομένως προκύπτει η εξίσωση

$\pmb{\dfrac{8}{v}+\dfrac{24}{v+4}=3}$

Εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων, με άλλα λόγια επίλυση της εξίσωσης.

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{8}{v}+\dfrac{24}{v+4}=3$
$\cancel{v}(v+4)\dfrac{8}{\cancel{v}}+v\cancel{(v+4)}\dfrac{24}{\vancel{v+4}}=3v(v+4)$	Πολλαπλασιάζουμε επί το ΕΚΠ= v(v+4).
$8(v+4)+24v=3v(v+4)$
$8v+32+24v=3v^2+12v$	Κάνουμε την επιμεριστική ιδιότητα, αναγωγές και μεταφορά στο 1ο μέλος.
$3v^2-20v-32=0$	Λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση.
$v=8\,\gr\,v=-\dfrac{4}{3}$	Λύσεις της εξίσωσης.

Επαλήθευση .
Ας δούμε μια-μια τιμή. Αν τρέχει με 8km/h τότε με το ποδήλατο θα έχει ταχύτητα 12km/h. Επομένως οι αντίστοιχοι χρόνοι θα είναι για το τρέξιμο $\dfrac{8}{8}=1h$ και για την ποδηλασία $\dfrac{24}{12}=2h.$ Επομένως 1+2=3h, αποτέλεσμα που επαληθεύει το πρόβλημα. Η τιμή $v=-\dfrac{4}{3}$ απορρίπτεται διότι η ταχύτητα v μπορεί να πάρει μόνο θετικές τιμές.

Συμπέρασμα Άρα η Ειρήνη τρέχει με ταχύτητα 8km/h (και ποδηλατεί με ταχύτητα 12km/h).

Πρόβλημα: Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ότι: $E_1=10\,m^2,\,E_2=4\,m^2$ και όσα στοιχεία αναφέρονται στο σχήμα. Να υπολογίσετε την ΒΓ= x

Κατανόηση του προβλήματος, δηλαδή εξοικείωση με το πρόβλημα.

Έχουμε πλέον κατανοήσει ότι για να υπολογίσουμε μια άγνωστη ποσότητα, πρέπει να κατασκευάσουμε μια εξίσωση, που ικανοποιεί, και να την λύσουμε. Η διάταξη στο σχήμα και τα δεδομένα, μας καθοδηγούν. Αφού δίνονται τα εμβαδά των δύο τριγώνων θα ξεκινήσουμε από τους τύπους τους. παρατηρούμε ότι το άθροισμα των δύο υψών των τριγώνων. ισούται με 6. Επομένως ισχύει $h_1+h_2=6$

Γνωρίζουμε ότι ο τύπος του εμβαδού ενός τριγώνου είναι $E=\dfrac{\grb\cdot h}{2}$ , όπου $\pmb\grb$ η θεωρούμενη ως βάση και $\pmb h$ το αντίστοιχο ύψος. Είναι λοιπόν:

$E=\dfrac{\grb\cdot h}{2}\,\gr\,2E=\grb\cdot h\,\gr\,h=\dfrac{2E}{\grb}$

Στην περίπτωσή μας και με βάση τα δεδομένα, έχουμε αντίστοιχα:

$h_1=\dfrac{20}{x}\,\kai\,h_2=\dfrac{8}{x-3},\;\;x>3$

Προσοχή: Ο περιορισμός $x>3$ αναφέρεται διότι δεν μπορεί $x=3$ (μηδενίζεται ο παρονομαστής) και δεν μπορεί $x-3<0\,\gr\,x<3$ διότι τότε το μήκος του αντίστοιχου ύψους θα είναι αρνητικό, πράγμα άτοπο.

Επομένως από την $h_1+h_2=6$ προκύπτει η εξίσωση $\dfrac{20}{x}+\dfrac{8}{x-3}=6$ , που τελικά γίνεται

$\dfrac{10}{x}+\dfrac{4}{x-3}=3,\;x>3$

Εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων, με άλλα λόγια επίλυση της εξίσωσης.

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{10}{x}+\dfrac{4}{x-3}=3$
$\cancel{x}(x-3)\cdot\dfrac{10}{\cancel{x}}+x\cancel{(x-3)}\cdot\dfrac{4}{\cancel{x-3}}=3\cdot x(x-3$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}x(x-3)$ , ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονομαστών
$10(x-3)+4x=3x(x-3)$
$10x-30+4x=3x^2-9x$	Κάνουμε τις επιμεριστικές.
$3x^2-23x+30=0$	Κάνουμε αναγωγές και μεταφέρουμε στο 1ο μέλος.
$x=\dfrac{5}{3}\,\gr\,x=6$	Λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Επαλήθευση .
Η τιμή $x=\dfrac{5}{3}<3$ επομένως απορρίπτεται βάσει του περιορισμού. Η τιμή $x=6$ γίνεται δεκτή διότι επαληθεύει το πρόβλημα. Πράγματι $\dfrac{10}{6}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{9}{3}=3$ . Παρατηρούμε ότι για $x=6$ το ορθογώνιο του σχήματος είναι τετράγωνο

Συμπέρασμα Άρα η ΒΓ=6.

Προηγούμενο μάθημα