Επίλυση τύπων

Στην ενότητα “ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ” μάθαμε πως να επιλύουμε τύπους ως προς μια μεταβλητή.Στην οικονομία, τις επιστήμες (π.χ. Φυσική, Βιολογία) πολλά προβλήματα εκφράζονται (μοντελοποιούνται) με ρητές εξισώσεις, που συνδέουν δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Στο μάθημα αυτό θα δούμε μερικά παραδείγματα για το πως επιλύονται τύποι ρητής μορφής.

Ο συντελεστής διεύθυνσης (κλίση) μιας ευθείας δίνεται από τον τύπο

$\grl=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}$

Ας δούμε πως μπορούμε να επιλύσουμε τον τύπον αυτόν ως προς $y$ . Είναι:

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\grl=\dfrac{{\color{red}y}-y_1}{x-x_1}$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}{x-x_1}$ , ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
$\grl(x-x_1)={\color{red}y}-y_1$
$\grl(x-x_1)+y_1={\color{red}y}$	Ο τύπος λύθηκε ως προς y

Απο την Φυσική γνωρίζουμε ότι, αν δύο αντιστάσεις $R_1,\,R_2$ συνδεθούν σε παράλληλη διάταξη, τότε η ολική αντίσταση $R$ δίνεται από τον τύπο:

$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$

Να λυθεί ο τύπος ως προς $R_1$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{\color{red}{R_1}}+\dfrac{1}{R_2}$
$\cancel{R}\cdot R_1\cdot R_2\dfrac{1}{\cancel{R}}=R\cdot\cancel{R_1}\cdot R_2\dfrac{1}{\cancel{R_1}}+R\cdot R_1\cdot \cancel{R_2}\cdot \dfrac{1}{\cancel{R_2}}$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}{R\cdot R_1\cdot R_2}$ , ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονομαστών
${\color{red}{R_1}}\cdot R_2=R\cdot R_2+R\cdot{\color{red}{R_1}}$
${\color{red}{R_1}}\cdot R_2-R\cdot {\color{red}{R_1}}=R\cdot R_2$	Συγκεντρώνουμε τους όρους που περιέχουν το $\color{blue}{R_1}$ στο 1ο μέλος.
${\color{red}{R_1}}\cdot(R_2-R)=R\cdot R_2$	Βγάζουμε κοινό παράγοντα το $\color{blue}{R_1}$ στο 1ο μέλος.
$R_1=\dfrac{R\cdot R_2}{R-R_2}$	Λύθηκε ως προς $\color{blue}{R_1}$ .

Απο την Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι, αν οι βάσεις ένός τραπεζίου έχουν μήκη $\grb_1\,\kai\grb_2$ και το ύψος του $h$ , τότε το μεβαδόν του δίνεται από τον τύπο:

$E=\dfrac{\grb_1+\grb_2}{2}\cdot h$

Να λυθεί ο τύπος ως προς $\grb_1$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$E=\dfrac{{\color{red}{\grb_1}}+\grb_2}{2}\cdot h$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 2, ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
$2E=({\color{red}{\grb_1}}+\grb_2)\cdot h$
$2E={\color{red}{\grb_1}}\cdot h+\grb_2\cdot h$
${\color{red}{\grb_1}}\cdot h=2E-\grb_2\cdot h$	Συγκεντρώνουμε τους όρους που περιέχουν το $\color{blue}{\grb_1}$ στο 1ο μέλος.
$\dfrac{{\color{red}{\grb_1}}\cdot \cancel{h}}{\cancel{h}}=\dfrac{2E-\grb_2\cdot h}{h}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του ${\color{blue}{\grb_1}}$ .
${\color{red}{\grb_1}}=\dfrac{2E-\grb_2\cdot h}{h}$	Λύθηκε ως προς $\color{blue}{\grb_1}$ .

Εξάσκηση τώρα με μερικά παραδείγματα:

1) Nα λύσετε τον τύπο $\dfrac{L}{r}=2\pi$ ως προς $r$

2) Nα λύσετε τον τύπο $\dfrac{3}{s}+\dfrac{1}{t}=2$ ως προς $s$

3) Nα λύσετε τον τύπο $s=v_o\cdot t-\gra\cdot t$ ως προς $t$

4) Nα λύσετε τον τύπο $\dfrac{\gra+5}{2-\grb}=\dfrac{4}{3}$ ως προς $\grb$

5) Nα λύσετε τον τύπο $\gra+\grb P=\grg+\grd P$ ως προς $P$
6) Nα λύσετε τον τύπο $Ax+By+\grG=0$ , ως προς y.
7) Nα λύσετε τον τύπο $A=\dfrac{1}{2}\gra h+\dfrac{1}{2}\grb h$ ως προς h.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα