Κλασματικές εξισώσεις – Μάθημα 2

Κλασματικές εξισώσεις-Μάθημα 2

Στο μάθημα αυτό θα επιλύσουμε ρητές εξισώσεις πιο σύνθετης μορφής. Η διαδικασία επίλυσης δεν είναι διαφορετική, ακολουθούμε τα ίδια βήματα, όπως σε αυτές τις περιπτώσεις στο Μάθημα 1. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα.

Προσοχή! Όσες τιμές του χ, από αυτές που βρίσκουμε, ανήκουν σε αυτές που απορρίπτονται από τους περιορισμούς, αορρίπτονται και ως λύσεις. Πρέπει λοιπόν στο τέλος να αναφέρουμε αν οι τιμές είναι δεκτές ως λύσεις ή απορρίπτονται, λόγω των περιορισμών.

1) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{3}{x-5}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{2}{x^2-25}\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{3}{x-5}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{2}{x^2-25} Αρχικά παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (όσους χρειάζεται) για να προσδιορίσουμε το Ε.Κ.Π.
\dfrac{3}{x-5}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{2}{(x-5)(x+5)} Πρέπει \color{blue}{x\neq 5\,\kai\,x\neq -5}
{\color{red}{\cancel{(x-5)}(x+5)}}\dfrac{3}{\cancel{x-5}}+{\color{red}{\cancel{(x+5)}(x-5)}}\dfrac{1}{\cancel{x+5}}={\color{red}{\cancel{(x-5)(x+5)}}}\dfrac{2}{\cancel{(x-5)(x+5)}} Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=\color{blue}{(x-5)(x+5)\neq 0}
3(x+5)+(x-5)=2 Μην παραλείπουμε τις παρενθέσεις, μετά την απλοποίηση των παραγόντων.
3x+15+x-5=2 Κάνουμε τις επιμεριστικές
3x+x=2-15+5 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
4x=-8 Κάνουμε τις αναγωγές.
x=-2 Λύση της εξίσωσης (δεκτή).

2) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{x}{x+6}=\dfrac{72}{x^2-36}+4\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{x}{x+6}=\dfrac{72}{x^2-36}+4 Αρχικά παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (όσους χρειάζεται) για να προσδιορίσουμε το Ε.Κ.Π.
\dfrac{x}{x+6}=\dfrac{72}{(x-6)(x+6)}+4 Πρέπει \color{blue}{x\neq 6\,\kai\,x\neq -6}
{\color{red}{\cancel{(x+6)}(x-6)}}\dfrac{x}{\cancel{x+6}}={\color{red}{\cancel{(x+6)(x-6)}}}\dfrac{72}{\cancel{(x+6)(x-6)}}={\color{red}{(x-6)(x+6)}}}\cdot 4 Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=\color{blue}{(x-6)(x+6)\neq 0}
x(x-6)=72+4(x-6)(x+6) Μην παραλείπουμε τις παρενθέσεις, μετά την απλοποίηση των παραγόντων.
x^2-6x=72+4x^2-144 Κάνουμε τις επιμεριστικές
3x^2+6x-72=0 Συγκεντρώνουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος.
3(x^2+2x-24)=0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα.
x=-6\,\gr\,x=4 Από τις τιμές του χ, που βρήκαμε δεκτή ως λύση είναι η x=4. Η x=-6 απορρίπτεται λόγω των περιορισμών.
Άρα λύση της εξίσωσης είναι η x=4

3) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{3y-5}{y^2+4y+3}+\dfrac{2y+2}{y+3}=\dfrac{y-3}{y+1}\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{3y-5}{y^2+4y+3}+\dfrac{2y+2}{y+3}=\dfrac{y-3}{y+1} Αρχικά παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (όσους χρειάζεται) για να προσδιορίσουμε το Ε.Κ.Π.
\dfrac{3y-5}{(y+1)(y+3)}+\dfrac{2y+2}{y+3}=\dfrac{y-3}{y+1} Πρέπει \color{blue}{y\neq -3\,\kai\,y\neq -1}
{\color{red}{\cancel{(y+3)(y+1)}}}\dfrac{3y-5}{\cancel{(y+1)(y+3)}}+{\color{red}{\cancel{(y+3)}(y+1)}}\dfrac{2y+2}{\cancel{y+3}}={\color{red}{\cancel{(y+1)}(y+3)}}\dfrac{y-3}{\cancel{y+1}} Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=\color{blue}{(y+3)(y+1)\neq 0}
3y-5+(y+1)(2y+2)=(y+3)(y-3) Μην παραλείπουμε τις παρενθέσεις, μετά την απλοποίηση των παραγόντων.
3y-5+2y^2+2y+2y+2=y^2-9 Κάνουμε τις επιμεριστικές
y^2+7y+6=0 Συγκεντρώνουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος.
y=-6\,\gr\,y=-1 Από τις τιμές του y, που βρήκαμε δεκτή ως λύση είναι η y=-6. Η y=-1 απορρίπτεται λόγω των περιορισμών.
Άρα λύση της εξίσωσης είναι η y=-6

4) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{x}{2x-2}+\dfrac{2}{3x+3}=\dfrac{5x^2-2x+9}{12x^2-12}\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{x}{2x-2}-\dfrac{2}{3x+3}=\dfrac{5x^2-2x+9}{12x^2-12} Αρχικά παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (όσους χρειάζεται) για να προσδιορίσουμε το Ε.Κ.Π.
\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5x^2-2x+9}{12(x-1)(x+1)} Πρέπει \color{blue}{x\neq 1\,\kai\,x\neq -1}
{\color{red}{\cancel{12}^6\cancel{(x-1)}}(x+1)}}\dfrac{x}{\cancel{2(x-1)}}-{\color{red}{\cancel{12}^4\cancel{(x+1)}}(x-1)}}\dfrac{2}{\cancel{3(x+1)}}={\color{red}{\cancel{12(x-1)(x+1)}}}\dfrac{5x^2-2x+9}{\cancel{12(x-1)(x+1)}} Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=\color{blue}{12(x+1)(x-1)\neq 0}
6x(x+1)-8(x-1)=5x^2-2x+9 Μην παραλείπουμε τις παρενθέσεις, μετά την απλοποίηση των παραγόντων.
6x^2+6x-8x+8=5x^2-2x+9 Κάνουμε τις επιμεριστικές
x^2-1=0 Συγκεντρώνουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος.
x=-1\,\gr\,x=1 Από τις τιμές του x, που βρήκαμε απορρίπτονται και οι δύο, λόγω των περιορισμών.
Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.

5) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{4}{3x^2-10x+3}+\dfrac{3}{3x^2+2x-1}=\dfrac{2}{x^2-2x-3}\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{4}{3x^2-10x+3}+\dfrac{3}{3x^2+2x-1}=\dfrac{2}{x^2-2x-3} Αρχικά παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (όσους χρειάζεται) για να προσδιορίσουμε το Ε.Κ.Π.
\dfrac{4}{(3x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)} Πρέπει \color{blue}{x\neq -1\,\,x\neq\dfrac{1}{3}\kai\,x\neq 3}
{\color{red}{\cancel{(3x-1)(x-3)}(x+1)}}\dfrac{4}{\cancel{(3x-1)(x-3)}}+{\color{red}{\cancel{(3x-1)(x+1)}(x-3)}}\dfrac{3}{\cancel{(3x-1)(x+1)}}={\color{red}{\cancel{(x+1)(x-3)}(3x-1)}}\dfrac{2}{\cancel{(x-3)(x+1)}} Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ=\color{blue}{(3x-1)(x+1)(x-3)\neq 0}
4(x+1)+3(x-3)=2(3x-1) Μην παραλείπουμε τις παρενθέσεις, μετά την απλοποίηση των παραγόντων.
4x+4+3x-9=6x-2 Κάνουμε τις επιμεριστικές
4x+3x-6x=-4+9-2=0 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
x=3 Η τιμή \color{blue}{x=3}, απορρίπτεται, λόγω των περιορισμών.
Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.

Ας λύσεις τώρα με ρικές ασκήσεις για εξάσκηση.

1) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{5}{x-1}=\dfrac{3}{x+2}

2) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{4}{x+4}-\dfrac{4}{x-4}=\dfrac{x^2+16}{x^2-16}

3) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x}{x^2+3x-4}-\dfrac{x+1}{x^2+6x+8}=\dfrac{2x}{x^2+x-2}

4) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x^2}{x^2-4}=\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{2x}{2-x}

5) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x+11}{x^2-5x+4}=\dfrac{5}{x-4}-\dfrac{3}{x-1}

Share This