Κλασματικές εξισώσεις – Μάθημα 1

Κλασματικές εξισώσεις- Μάθημα 1

Απλές κλασματικές εξισώσεις

Στην ενότητα “ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ” διαπραγματευτήκαμε και εξισώσεις που είχαν ως όρους απλά κλάσματα ή σύνθετα κλάσματα, που οι παρονομαστές τους ήταν αριθμοί (φυσικά όχι 0 ). Όπως θυμάσαι εργαζόμαστε με την διαδικασία απαλοιφής των παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους την εξίσωσης επί το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. Το πως βρίσκουμε των Ε.Κ.Π. μερικών αλγεβρικών παραστάσεων θα το βρεις στο σχετικό μάθημα εδώ. Για να μπορέσεις να παρακολουθήσεις την ενότητα αυτήν είναι υποχρεωτική η ολοκλήρωση της ενότητας “Ρητές Αλγεβρικές παραστάσεις

Γνωρίζουμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη μια ισότητας με τον ίδιο αριθμό, τότε η ισότητα παραμένει. Αν θέλουμε όμως η ισότητα που προκύπτει να είναι ισοδύναμη με την αρχική, τότε πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι ο αριθμός με τον οποίον πολλαπλασιάζουμε είναι διάφορος του μηδενός. Δηλαδή ισχύει:

    \[\color{blue}{\boxed{\gra=\grb\ann \gra\cdot\grg=\grb\cdot\grg,\,\grm\gre\,\grg\neq 0}}\]

Ας ξεκινήσουμε με μερικά απλά παραδείγματα για να κατανοήσουμε την διαδικασία.

1) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{4}{x}=2\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{4}{x}=2 Πρέπει να είναι \color{blue}{x\neq 0}
{\color{red}{\cancel{x}}}\cdot \dfrac{4}{\cancel{x}}=2\cdot {\color{red}{\cancel{x}}}\,\kai\,x\neq 0 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί \color{blue}{x\neq 0},
ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή. Προσοχή!
βάζουμε τον περιορισμό \color{blue}{x\neq 0}
2x=4
\dfrac{2x}{2}=\dfrac{4}{2} Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.
x=2 Λύση της εξίσωσης

2) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3} Πρέπει να είναι \color{blue}{x\neq 0}
{\color{red}{6\cancel{x}}}\cdot\dfrac{1}{\cancel{x}}+{\color{red}{\cancel{6}^3x}}\cdot\dfrac{1}{\cancel{2}}={\color{red}{\cancel{6}^3 x}}\cdot\dfrac{2}{\cancel{3}} Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί το ΕΚΠ που είναι \color{blue}{6x\neq 0},
ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονομαστών.
6+3x=4x
6=4x-3x Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
x=6 Λύση της εξίσωσης

3) Να λυθεί η εξίσωση

    \[\dfrac{1}{x-2}+2}=x\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{1}{x-2}+2=x Πρέπει να είναι \color{blue}{x-2\neq 0\,\gr\,x\neq 2}
{\color{red}{\cancel{(x-2)}}}\cdot\dfrac{1}{\cancel{x-2}}+2{\color{red}{\cancel{(x-2)}}}=x{\color{red}{\cancel{(x-2)}}} Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί το ΕΚΠ που είναι \color{blue}{x-2\neq 0},
ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονομαστών.
1+2x-4=x^2-2x
x^2-4x+3=0 Λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση.
x=1\,\gr\,x=3 Δεκτές και οι δύο ρίζες.

4) Να λυθεί η εξίσωση

    \[x+\dfrac{6}{x}=-5\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
x+\dfrac{6}{x}=-5 Πρέπει να είναι \color{blue}{x\neq 0}
{\color{red}{x}}\cdot x+{\color{red}{\cancel{x}}}\cdot\dfrac{6}{\cancel{x}}=-5{\color{red}{x}} Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί το ΕΚΠ που είναι \color{blue}{x\neq 0},
ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονομαστών.
x^2+6=-5x
x^2+5x+6=0 Συγκεντρώνουμε στο 1ο μέλος και λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση.
x=-3\,\gr\,x=-2 Δεκτές και οι δύο ρίζες.

5) Να λυθεί η εξίσωση

    \[1+\dfrac{3x}{x+2}=\dfrac{-6}{x+2}\]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
1+\dfrac{3x}{x+2}=\dfrac{-6}{x+2} Πρέπει να είναι \color{blue}{x+2\neq 0\,\gr\,x\neq -2}
1\cdot{\color{red}(x+2)}+{\color{red}{\cancel{(x+2)}}}}\cdot\dfrac{3x}{\cancel{x+2}}=-6{\color{red}{(x+2)} Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί το ΕΚΠ που είναι \color{blue}{x+2\neq 0},
ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονομαστών.
x+2+3x=-6
x+3x=-6-2 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
4x=-8 Κάνουμε αναγωγές.
x=-2 Η τιμή που βρήκαμε απορρίπτεται, επειδή πρέπει το \color{blue}{x\neq -2}. Άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.
Share This