Προβλήματα εξισώσεων 1ου βαθμού

Για να λύσουμε ένα πρόβλημα στα μαθηματικά (και όχι μόνο) πρέπει αρχικά να το κατανοήσουμε, να το “μεταφράσουμε” σε μαθηματική γλώσσα, να διαχειριστούμε κάποιες μαθηματικές πράξεις και επαληθεύσουμε το αποτέλεσμα και τέλος να δώσουμε μια σαφή απάντηση. Πιο παραστατικά:

5 βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήμα 1

Κατανόηση του προβλήματος, δηλαδή εξοικείωση με το πρόβλημα

Βήμα 2

Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα, δηλαδή το “μεταφράζουμε” με μια μαθηματική έκφραση, συνήθως εξίσωση.

Βήμα 3

Εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων, συνήθως λύση της εξίσωσης.

Βήμα 4

Επαλήθευση. Το αποτέλεσμα πρέπει να επαληθεύει το αρχικό πρόβλημα.

Βήμα 5

Συμπέρασμα διατυπώνουμε με σαφήνεια το συμπέρασμα.

Από τα παραπάνω 5 βήματα, ίσως το πιο σημαντικό είναι το Βήμα 1. Η εξοικείωση (κατανόηση) με το πρόβλημα. Για να το καταφέρεις ακολούθησε τις επόμενες συμβουλές.

Διάβασε προσεκτικά το πρόβλημα
Ξαναδιάβασε το και κάνε αν χρειάζεται ένα σχήμα, γράψε πάνω σ’ αυτό τα μεγέθη που σου δίνονται και ό,τι σου ζητείται.
Κατάγραψε σε μια λίστα τα δεδομένα και το ερώτημα στο οποίο πρέπει να απαντήσεις. Καθόρισε τον άγνωστο και συμβόλισέ τον με ένα γράμμα, συνήθως $x\,\gr\, y\,\gr\grv$ .
Βρες έναν τύπο, που να συνδέει τις άγνωστες με τις γνωστές ποσότητες.

Στο Βήμα 2, δηλαδή την απόδοση (“μετάφραση”) του προβλήματος στην μαθηματική γλώσσα, παραθέτουμε σε ένα πίνακα μερικές μαθηματικές αποδόσεις εκφράσεων.

Έκφραση	Άλγεβρα
Το άθροισμα των $x$ και $y$	$x+y$
O $2x$ υπερβαίνει κατά 3 τον $x$	$2x=x+3$
O $x$ αυξάνεται κατά 5	$x+5$
O $x$ ελαττούται (ή μειώνεται) κατά 5	$x-5$
Η διαφορά των $x$ και $y$	$x-y$
Ο $x$ ελαττωμένος (μειωμένος) κατά 4	$x-4$
Το τριπλάσιο του $x$	$3x$
Τα $\dfrac{2}{5}$ του $x$	$\dfrac{2}{5}\cdot x$
Το τριπλάσιο του $x$ ελαττωμένο κατά 6	$3x-6$

Ας εφαρμόσουμε το παραπάνω πλάνο σε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Έχουμε ένα δοκάρι μήκους $270\,cm$ . Θέλουμε να το κόψουμε σε δύο κομμάτια έτσι, ώστε το ένα να είναι διπλάσιο του άλλου.

Λύση

Βήμα 1 Κατανόηση

Φτιάχνουμε ένα σχήμα. Υποθέτουμε ότι:

$\bf {x\,\;=}\;\;$ το μήκος του μικρού κομματιού.

Τότε

$\bf{ 2x\,\;=}\;\;$ το μήκος του μεγάλου κομματιού.

Βήμα 2 Απόδοση

Από το σχήμα, διαπιστώνουμε ότι αν προσθέσουμε τα μήκη των δύο κομματιών θα προκύψει $270\,cm$ . Η διαπίστωση αυτή μας βοηθάει στην μαθηματική έκφραση του προβλήματος.

Βήμα 3 Εκτέλεση

Στο προηγούμενο βήμα προέκυψε η εξίσωση:

$\begin{align*} x+2x&=270\\ 3x&=270\\ \dfrac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}&=\dfrac{270}{3}\\ x&=90 \end{align*}$

Βήμα 4 Επαλήθευση

Αν το ένα κομμάτι είναι $90\,cm$ , το άλλο θα είναι $2\cdot 90=180\,cm$ . Τα μήκη των δύο κομματιών έχουν άθροισμα $90+180=270\,cm$ .

Βήμα 4 Συμπέρασμα

Άρα το ένα κομμάτι είναι $90\,cm$ και το άλλο $180\,cm$

Παράδειγμα 2

Ένα βιβλίο είναι ανοικτό. Το άθροισμα των αριθμών των αντικριστών σελίδων είναι 233. Να βρείτε τους αριθμούς των σελίδων.

Λύση

Βήμα 1 Κατανόηση

Οι αριθμοί των αντικριστών σελίδων είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Επομένως αν $\bf x$ είναι ο μικρότερος ακέραιος, τότε ο μεγαλύτερος θα είναι $\bf{x+1}$ . Για να κατανοήσεις περισσότερο το πρόβλημα ας δούμε κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις:

x	x+1	Άθροισμα του x με το x+1
$\bf{17}$	$\bf{18}$	$\bf{35}$
$\bf{112}$	$\bf{113}$	$\bf{225}$

Βήμα 2 Απόδοση

Μεταφράζουμε το πρόβλημα (τις λέξεις) στη μαθηματική γλώσσα.

Βήμα 3 Εκτέλεση

Η προηγούμενη διαδικασία της απόδοσης του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα. μας οδήγησε στην εξίσωση:

$\begin{align*} x+(x+1)&=233\\ x+x+1&=233\\ 2x+1&=233\\ 2x&=233-1\\ 2x&=232\\ \dfrac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}&=\dfrac{232}{2}\\ x&=116 \end{align*}$

Αν $x=116$ τότε $x+1=117$

Βήμα 4 Επαλήθευση

Οι απαντήσεις μας είναι 116 και 117. Είναι διαδοχικοί ακέραιοι και το άθροισμά του είναι $\bf{116+117=233$

Βήμα 5 Συμπέρασμα

Άρα οι αριθμοί των σελίδων είναι 116 και 117.

Παράδειγμα 3

Ένα Γυμνάσιο έχει 84 εγγεγραμμένους μαθητές και στις τρεις τάξεις. Η Β Γυμνασίου έχει διπλάσιους μαθητές από την Α Γυμνασίου και η Γ Γυμνασίου έχει 12 μαθητές περισσότερους από την Α Γυμνασίου. Πόσοι μαθητές είχε η κάθε τάξη;

Λύση

Βήμα 1 Κατανόηση

Αν η Α’ Γυμνασίου έχει $\bf x$ μαθητές, τότε η Β’ Γυμνασίου έχει $\bf{2x}$ μαθητές και η Γ’ Γυμνασίου $\bf{x+12}$ μαθητές.

Για να κατανοήσουμε το πρόβλημα ας κάνουμε κάποιες “μαντεψιές” με βάση τα δεδομένα. Ας υποθέσουμε ότι η Α Γυμνασίου έχει 12 μαθητές, τότε η Β Γυμνασίου έχει διπλάσιους, δηλαδή $12\cdot 2=24$ μαθητές και η Γ Γυμνασίου έχει 12 μαθητές παραπάνω από την Α Γυμνασίου, δηλαδή $12+12=24$ μαθητές. Ας αποτυπώσουμε σε ένα πίνακα μερικές “μαντεψιές”.

x	2x	x+12	Άθροισμα όλων των μαθητών
$\bf{12}$	$\bf{24}$	$\bf{24}$	$\bf{60}$
$\bf{15}$	$\bf{30}$	$\bf{27}$	$\bf{72}$

Βήμα 2 Απόδοση

Μεταφράζουμε το πρόβλημα (τις λέξεις) στη μαθηματική γλώσσα.

Βήμα 3 Εκτέλεση

Η προηγούμενη διαδικασία της απόδοσης του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα. μας οδήγησε στην εξίσωση:

$\begin{align*} x+2x+(x+12)&=84\\ x+2x+x+12&=84\\ 4x+12&=84\\ 4x&=84-12\\ 4x&=72\\ \dfrac{\cancel{4}x}{\cancel{4}}&=\dfrac{72}{4}\\ x&=18 \end{align*}$

Βήμα 4 Επαλήθευση

Οι απαντήσεις μας είναι η Α’ Γυμνασίου έχει 18 μαθητές, η Β’ Γυμνασίου έχει
36 μαθητές και η Γ’ Γυμνασίου έχει 30 μαθητές. Πράγματι το σύνολο των μαθητών είναι $\bf{18+36+30=84$ μαθητές.

Βήμα 5 Συμπέρασμα

Άρα οι μαθητές της Α’ Γυμνασίου είναι 18, της Β’ Γυμνασίου 36 και της Γ’ Γυμνασίου 30.

Παράδειγμα 4

Αν η μια πλευρά ενός τριγώνου είναι το ένα τρίτο της περιμέτρου, η δεύτερη πλευρά είναι $7\,cm$ και η τρίτη είναι το ένα πέμπτο της περιμέτρου, ποια είναι η περιετρος του τριγώνου;

Λύση

Βήμα 1 Κατανόηση

Ένα σχήμα θα μας βοηθήσει στην κατανόηση του προβλήματος. Φτιάχνουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με τα στοιχεία, που μας δίνει το πρόβλημα.

Έστω $p$ η περίμετρος του τριγώνου. Για να κατανοήσουμε το πρόβλημα ας κάνουμε κάποιες “μαντεψιές” με βάση τα δεδομένα. Αν το τρίγωνο έχει για παράδειγμα περίμετρο $p=30\,cm$ , τότε η μία πλευρά θα έχει μήκος $\dfrac{p}{3}=\dfrac{30}{3}=10\,cm$ , η δεύτερη θα έχει μήκος $\dfrac{p}{5}=\dfrac{30}{5}=6\,cm$ και η τρίτη έχει μήκος $7\,cm$ . Ας αποτυπώσουμε σε ένα πίνακα μερικές “μαντεψιές”.

$\dfrac{p}{3}=10\,cm$	$\dfrac{p}{5}=6\,cm$	$7\,cm$	Άθροισμα όλων των πλευρών
$\bf{10cm}$	$\bf{6cm}$	$\bf{7cm}$	$\bf{23cm}$

Παρατηρούμε ότι ναι μεν έχουμε κατανοήσει την δομή του προβλήματος, αλλά με “μαντεψιές” πρέπει να είμαστε τυχεροί για να βρούμε τη λύση του. Άλλωστε και να μαντεύαμε τη λύση δεν θα ήταν αποδεκτή σαν λύση στα μαθηματικά. Πρέπει να βρούμε μια στέρεη μέθοδο για να λύσουμε το πρόβλημα.

Βήμα 2 Απόδοση

Μεταφράζουμε το πρόβλημα (τις λέξεις) στη μαθηματική γλώσσα.

Βήμα 3 Εκτέλεση

Η προηγούμενη διαδικασία της απόδοσης του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα. μας οδήγησε στην εξίσωση:

$\begin{align*} AB+A\grG+B\grG&=p\\ \dfrac{p}{3}+\dfrac{p}{5}+7&=p\\ 15\cdot\dfrac{p}{3}+15\cdot\dfrac{p}{5}+15\cdot 7&=15\cdot p\\ 5p+3p+105&=15p\\ 15p-5p-3p&=105\\ 7p&=105\\ \dfrac{\cancel{7}p}{\cancel{7}}&=\dfrac{105}{7}\\ p&=15 \end{align*}$

Βήμα 4 Επαλήθευση

Οι απαντήσεις μας είναι: η πλευρά $(AB)=\dfrac{p}{3}=\dfrac{15}{3}=5\,cm$ , η πλευρά $(A\grG)= \dfrac{p}{5}=\dfrac{15}{5}=3\,cm$ και η πλαυρά $(B\grG)=7\,cm$ . Πράγματι έχουμε $5+7+3=15\,cm$

Βήμα 5 Συμπέρασμα

Άρα οι πλευρές του τριγώνου έχουν μήκη $(AB)=5\,cm, (A\grG)=3\,cm\,\kai\,(B\grG)=7\,cm$

Τηρώντας τα 5 βήματα, που αναλύσαμε πιο πάνω, προσπαθείστε να λύσετε τα επόμενα προβλήματα. Πιο πολλά προβλήματα (και επιλύσεις τύπων) θα βρείτε εδώ

Προβλήματα για λύση

1) Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξανόμενο κατά 5 ισούται με 17. Να βρείτε τον αριθμό.

2) Το άθροισμα δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων ισούται με 41. Nα βρείτε τους ακέραιους.

3) Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς άρτιους αριθμούς, τέτοιους ώστε το άθροισμα των τριών πρώτων να υπερβαίνει τον τέταρτο κατά 8

Υπόδειξη

4) Ο Γιώργος κερδίζει το μήνα 120 ευρώ περισσότερα από τον Γιάννη. Αν οι μισθοί και των δυο είναι 2680 ευρώ το μήνα, ποιος είναι ο μισθός του καθενός;

Υπόδειξη

5) Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι $55\,cm$ . Αν το μήκος της βάσης είναι $5\,cm$ λιγότερο από τα μήκη των ίσων πλευρών, να βρείτε τα μήκη των ίσων πλευρών και της βάσης του τριγώνου.

Περισσότερες ασκήσεις και προβλήματα θα βρεις εδώ.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενη Ενότητα