Εξισώσεις 1ου βαθμού με παράμετρο

Θα αρχίσουμε προσπαθώντας να σας βοηθήσουμε να κατανοήσετε την έννοια της μεταβλητής και την αντίστοιχη της παραμέτρου. Ας ασχοληθούμε με ένα πρόβλημα:
Σε μια περιοχή υπάρχουν 3 βενζινάδικα Α,Β,Γ. Οι τιμές της αμόλυβδης βενζίνης είναι αντίστοιχα $1,4$ , $1,5$ και $1,6$ ευρώ. Αν διαθέτουμε 30 ευρώ, πόσα λίτρα βενζίνης μπορούμε να βάλουμε στο αυτοκίνητό μας;

Απάντηση

Το πόσα λίτρα θα βάλουμε, εξαρτάται από την τιμή του λίτρου. Αν παραστήσoυμε με $x$ τα λίτρα που θα βάλουμε, τότε θα έχουμε:

$1,4\cdot x=30$ για το βενζινάδικο Α
$1,5\cdot x=30$ για το βενζινάδικο Β
$1,6\cdot x=30$ για το βενζινάδικο Γ

Θα μπορούσαμε να εκφράσουμε, με μία εξίσωση το ίδιο πρόβλημα; Βέβαια! Έστω ότι παριστάνουμε με $\gra$ οποιαδήποτε από τις τιμές $\{1,4,\,1,5,\,1,6\}$ . Τότε θα είχαμε την εξίσωση

$\gra\cdot x=30\;\;\;(1)$ ,

Στην εξίσωση (1) παρουσιάζονται δύο γράμματα. Το $x$ και το $\gra$ . Ο ρόλος τους όμως είναι διαφορετικός. Το $x$ εκφράζει την άγνωστη ποσότητα των λίτρων βενζίνης , που θα αγοράσουμε. Η τιμή που μπορεί να πάρει το $x$ είναι αυτή που μας ζητάει η άσκηση. Γι αυτό λέμε ότι ο $x$ είναι ο άγνωστος στην εξίσωση. Γράμμα επίσης είναι και το $\gra$ , όμως εδώ έχουμε μια διαφορά. Το $\gra$ μπορεί να πάρει μόνο μια από τις τιμές του συνόλου $\{1,4\,\,,1,5\,\,,1,6\}$ . Τότε λέμε ότι το $\gra$ είναι παράμετρος.

Στο παρακάτω σχήμα ζητείται να βρούμε το x ώστε να ισχύει η εξίσωση των εμβαδών $E_1+15=E_3$ .

Επειδή έχουμε να κάνουμε με ορθογώνια, η εξίσωση γίνεται ως εξής:

$3\cdot x+15=11\cdot\dfrac{x}{2}$

Τώρα μπορείς να γενικεύσεις το πρόβλημα, χρησιμοποιώντας κάποια “γράμματα”, στην θέση των σταθερών;

Δες μια δική μας προσέγγιση

Με βάση το επόμενο σχήμα

η εξίσωση γίνεται: $A\cdot x+B=\Gamma\cdot\dfrac{x}{2}$

Τα γράμματα που μπαίνουν στη θέση των 3, 15 και 11 λέγονται παράμετροι. Στην περίπτωσή μας παίρνουν μόνο θετικές τιμές. Με τον τρόπο αυτό “μοντελοποιούμε” το πρόβλημα, με άλλα λόγια δίνοντας όποιες θετικές τιμές θέλουμε στα Α, Β και Γ “κατασκευάζουμε” προβλήματα που διατηρούν όμως την βασική δομή της εξίσωσης.

Ας δούμε όμως μερικά παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Δίνεται η εξίσωση $2(x+k)-3=(k+2)x+5$ .

Αν $k=2$ να δείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση τον αριθμό $-2$
Να βρεθεί ο $k$ ώστε η εξίσωση να έχει λύση τον αριθμό $-1$

Λύση

Αν $k=2$ η εξίσωση γίνεται $2(x+2)-3=(2+2)x+5$ , οπότε έχουμε:
$\begin{align*} 2(x+2)-3=(2+2)x+5\,&\gr\,2x+4-3=4x+5\\ 2x-4x=-4+3+5\,&\gr\,-2x=4\\ x=-2 \end{align*}$
Αφού το $-1$ είναι λύση της εξίσωσης η εξίσωση θα επαληθεύεται για $x=-1$ δηλαδή $2(-1+k)-3=(k+2)(-1)+5$ , οπότε έχουμε:
$\begin{align*} 2(-1+k)-3=(k+2)(-1)+5\,&\gr\,-2+2k-3=-k-2+5\\ 2k+k=2+3-2+5\,&\gr\,3k=8\\ k=\dfrac{8}{3} \end{align*}$

Παράδειγμα 2

Δίνονται οι εξισώσεις $\dfrac{x+k}{3}-1=2\,\kai\,2(3-k)x+\dfrac{5x}{2}=3-\dfrac{x-1}{3}$ .

Αν η λύση της πρώτης είναι το $x=2$ να βρείτε το $k$
Για την τιμή του $k$ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να λύσετε την δεύτερη εξίσωση.

Λύση

Αφού το 2 είναι λύση της πρώτης εξίσωσης, αυτή θα επαληθεύεται για $x=2$ , οπότε έχουμε:
$\begin{align*} \dfrac{x+k}{3}-1=2\,&\gr\,\dfrac{2+k}{3}-1=2\\ 2+k-3=6\,&\,k=-2+3+6\,\gr\,k=7 \end{align*}$
Για την τιμή του $k=7$ που βρήκαμε στο πρώτο ερώτημα η επόμενη εξίσωση γίνεται:
$\begin{align*} 2(3-k)x+\dfrac{5x}{2}=3-\dfrac{x-1}{3}\,&\gr\,2(3-7)x+\dfrac{5x}{2}=3-\dfrac{x-1}{3}\\ -8x+\dfrac{5x}{2}=3-\dfrac{x-1}{3}\,&\gr\,6\cdot(-8x)+6\cdot\dfrac{5x}{2}=6\cdot 3-6\cdot\dfrac{x-1}{3}\\ -48x+15x=18-2x+2\,&\gr\,-48x+15x+2x=18+2\\ -31x=20\,&\gr\,x=-\dfrac{20}{31} \end{align*}$

Διερεύνηση της εξίσωσης αx=β (για πιο προχωρημένους μαθητές)

Αν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγαμε στην μορφή $\bf{\color{blue}0\cdot x=3}$ , πως θα την χαρακτηρίζαμε; Σκεφτείτε ότι όποια τιμή και να πάρει το x το πρώτο της μέλος δίνει 0 ενώ το δεύτερο είναι 3, διαφορετικό από το 0. Η ισότητα λοιπόν είναι αδύνατον να ισχύει. Επομένως χαρακτηρίζουμε την εξίσωση ως αδύνατη.

Αντίστοιχα αν καταλήγαμε στην μορφή $\bf{\color{blue}0\cdot x=0}$ , τότε για οποιαδήποτε τιμή του x, η ισότητα θα ίσχυε διότι θα είχαμε ως αποτέλεσμα 0=0, που είναι πάντα αληθής. Την εξίσωση αυτή την χαρακτηρίζουμε ως ταυτότητα

Κάθε εξίσωση της μορφής $\bf{\color{blue}\gra\cdot x=\grb}\;\;(1)$ , όπου $\gra\kai\grb$ πραγματικοί αριθμοί είναι εξίσωση 1ου βαθμού. Τα α και β είναι παράμετροι, ενώ ο x είναι ο άγνωστος. Για να προχωρήσουμε (δηλαδή να διαιρέσουμε με τον συντελεστή του αγνώστου) πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι το $\bf\color{red}\gra\neq 0$ . Έχουμε λοιπόν:

Αν $\bf\color{blue}\gra\neq 0$ , τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση την $\bf\color{blue}x=\dfrac{\grb}{\gra}$
Αν τότε:
- Αν $\bf\color{blue}\grb\neq 0$ τότε $\bf\color{blue}0\cdot x=\grb$ , οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη
- Αν $\bf\color{blue}\grb=0$ τότε $\bf\color{blue}0\cdot x=0$ , οπότε η εξίσωση είναι ταυτότητα (αόριστη)

Για να εφαρμόσουμε τα παραπάνω σε μια εξίσωση, πρέπει αρχικά να την φέρνουμε στην τελική μορφή $\bf{\color{blue}\gra\cdot x=\grb}$ . Η διερεύνηση των περιπτώσεων θα γίνεται πάνω σε αυτήν την μορφή. Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα

Παράδειγμα 3

Να λυθεί η εξίσωση

$\dfrac{2x-1}{3}+1=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{6}$

Λύση

Διαδοχικά ακολουθούμε τα βήματα, όπως έχουμε ήδη αναλύσει. Απαλοιφή παρονομαστών, επιμεριστικές, χωρισμός γνωστών από αγνώστους, και αναγωγές. Έχουμε λοιπόν:

$\begin{align*} &\dfrac{2x-1}{3}+1=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{6}\,\gr\\ & 6\dfrac{2x-1}{3}+6=6\dfrac{x}{2}+6\dfrac{x}{6}\,\gr\\ &2(2x-1)+6=3x+x\,\gr\,4x-2+6=4x\,\gr\\ &4x-4x=-4\,\gr\,0\cdot x=-4 \end{align*}$

Η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη (μορφή $0\cdot x=\gra\neq 0$ )

Παράδειγμα 4

Nα λυθεί η εξίσωση $x+\dfrac{3-x}{3}-1=\dfrac{2}{3}x$

Λύση

Αντίστοιχα έχουμε:

$\begin{align*} &x+\dfrac{3-x}{3}-1=\dfrac{2}{3}x\\ &3x+3\dfrac{3-x}{3}-3=3\dfrac{2}{3}x\\ &3x+3-x-3=2x\,\gr\,3x-x-2x=3-3\,\gr\,0\cdot x=0 \end{align*}$

Επομένως η εξίσωση είναι ταυτότητα (αόριστη).

Παράδειγμα 5

Να προσδιορίσετε τον αριθμό (παράμετρο) $\grl$ έτσι, ώστε η εξίσωση

$2(x-3)=\grl\cdot x-5$

να είναι αδύνατη.

Λύση

Καταρχάς θα φέρουμε την εξίσωση σε τελική μορφή, δηλαδή στην μορφή $\gra\cdot x=\grb$ . Έχουμε λοιπόν διαδοχικά:

$\begin{align*} 2(x-3)&=\grl\cdot x-5\\ {\color{red}{2x}}-6&={\color{red}{\grl\cdot x}}-5\\ {\color{red}{2x}}-{\color{red}{\grl\cdot x}}&=6-5\\ (2-\grl){\color{red}x}&=1 \end{align*}$

Η εξίσωση είναι αδύνατη όταν ο συντελεστής του $\bf{x}$ είναι $\bf{0}$ . Επομένως:

$\begin{align*} &2-\grl=0\\ &-\grl=-2\\\ &\grl=2 \end{align*}$

Παράδειγμα 6

Να προσδιορίσετε τον αριθμό (παράμετρο) $\grl$ έτσι, ώστε η εξίσωση

$3(x-1)=\grl\cdot x-3$

να είναι ταυτότητα (αόριστη).

Λύση

Καταρχάς θα φέρουμε την εξίσωση σε τελική μορφή, δηλαδή στην μορφή $\gra\cdot x=\grb$ . Έχουμε λοιπόν διαδοχικά:

$\begin{align*} 3(x-1)&=\grl\cdot x-3\\ {\color{red}{3x}}-3&={\color{red}{\grl\cdot x}}-3\\ {\color{red}{3x}}-{\color{red}{\grl\cdot x}}&=3-3\\ (3-\grl){\color{red}x}&=0 \end{align*}$

Η εξίσωση είναι αόριστη όταν ο συντελεστής του $\bf{x}$ είναι $\bf{0}$ . Επομένως:

$\begin{align*} &3-\grl=0\\ &-\grl=-3\\\ &\grl=3 \end{align*}$

Παράδειγμα 7

Δίνεται η εξίσωση $(\grl-1)x=\grl^2-1$

Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση έχει μοναδική λύση;
Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση είναι ταυτότητα;

Λύση

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι σε τελική μορφή, δηλαδή στη μορφή $\gra\cdot x=\grb$ . Για να έχει μοναδική λύση πρέπει ο συντελεστής του x να είναι διάφορος του μηδενός. Στην περίπτωσή μας, συντελεστής του x είναι ο $(\grl-1)$ .
Άρα πρέπει $\bf{\grl-1\neq 0\,\gr\,\grl\neq 1$ . Τότε η λύση της εξίσωσης θα είναι

$\bf{x=\dfrac{\grl^2-1}{\grl-1}\,\gr\,x=\dfrac{(\grl+1)(\grl-1)}{\grl-1}\,\gr\,x=\grl+1}$
Για να είναι η εξίσωση ταυτότητα, πρέπει να πάρει τη μορφή $0\cdot x=0$ . Πρέπει λοιπόν:
$\bf{ \grl-1=0\,\kai\,\grl^2-1= 0}$ , δηλαδή
$\grl=1$ και $\grl^2-1= 0\,\gr \grl^2= 1 \,\gr\,\grl=\pm1$ .
Επομένως η ζητούμενη τιμή είναι $\grl=1$ , διότι με αυτήν την τιμή μηδενίζονται ταυτόχρονα και τα δύο μέλη κι έχουμε ως αποτέλεσμα $0x=0$ .

Παράδειγμα 8

Δίνεται η εξίσωση $(\grl^2-1)x=\grl+1$

Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση έχει μοναδική λύση;
Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση είναι ταυτότητα;
Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση είναι αδύνατη;

Λύση

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι σε τελική μορφή, δηλαδή στη μορφή $\gra\cdot x=\grb$ . Για να έχει μοναδική λύση πρέπει ο συντελεστής του x να είναι διάφορος του μηδενός. Στην περίπτωσή μας, συντελεστής του x είναι ο $(\grl^2-1)$ .
Άρα πρέπει $\bf{\grl^2-1\neq 0\,\gr\,\grl^2\neq 1\,\gr\,\grl\neq\pm 1.$

Τότε η λύση της εξίσωσης θα είναι

$x=\dfrac{\grl+1}{\grl^2-1}\,\gr\,x=\dfrac{\grl+1}{(\grl-1)(\grl+1)}\,\gr\,x=\dfrac{1}{\grl-1}$
Για να είναι η εξίσωση ταυτότητα, πρέπει να πάρει τη μορφή $0\cdot x=0$ . Πρέπει λοιπόν:
$\bf{ \grl^2-1=0\,\kai\,\grl-1= 0}$ , δηλαδή
$\grl^2-1=0$ και $\grl-1= 0\,\gr \grl=\pm 1 \,\kai\,\grl=1$ .
Άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα όταν $\grl=1$ , διότι με αυτήν την τιμή μηδενίζονται ταυτόχρονα και τα δύο μέλη κι έχουμε ως αποτέλεσμα $0x=0$ .
Για να είναι η εξίσωση αδύνατη, πρέπει
$\bf{ \grl^2-1=0\,\kai\,\grl-1\neq 0}$

δηλαδή

$\begin{cases} \grl^2=1,\kai\\ \grl-1\neq 0 \end{cases}\,\gr\, \begin{cases} \grl=\pm 1\,\kai\\ \grl\neq 1 \end{cases}$

Επομένως πρέπει $\grl=-1$ διότι τότε η εξίσωση γίνεται $0\cdot x=-2$ , δηλαδή αδύνατη.

Παράδειγμα 9

Δίνεται η εξίσωση $(\grl^2-3\grl+2)x=\grl-1$

Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση έχει μοναδική λύση;
Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση είναι ταυτότητα;
Για ποια τιμή του $\grl$ η εξίσωση είναι αδύνατη;

Λύση

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι σε τελική μορφή, δηλαδή στη μορφή $\gra\cdot x=\grb$ . Για να έχει μοναδική λύση πρέπει ο συντελεστής του x να είναι διάφορος του μηδενός. Στην περίπτωσή μας, συντελεστής του x είναι ο $(\grl^2-3\grl+2)$ .
Άρα πρέπει $\bf{\grl^2-3\grl+2\neq 0\,\gr\,(\grl-2)(\grl-1)\neq 0$ .

Αιτιολόγηση

Ο συντελεστής $\grl^2-3\grl+2$ παραγοντοποιείται με τη μέθοδο του τριωνύμου $\underbrace{\grl^2-\grl}\underbrace{-2\grl+2}=\grl{\color{red}(\grl-1)}-2{\color{red}(\grl-1)}=(\grl-1)(\grl-2)$

Επομένως:

$\grl\neq 1\,\kai\,\grl\neq 2$

Τότε η λύση της εξίσωσης θα είναι

$x=\dfrac{\grl-1}{(\grl-1)(\grl-2)}\,\gr\,x=\dfrac{1}{\grl-2}$
Για να είναι η εξίσωση ταυτότητα, πρέπει να πάρει τη μορφή $0\cdot x=0$ . Πρέπει λοιπόν:
$\begin{cases} \grl^2-3\grl+2=0,\\ \grl-1= 0\end{cases}\,\gr\, \begin{cases} \grl-1=0\,\gr\,\grl-2=0\\ \grl-1=0 \end{cases},$

οπότε $\grl-1=0\,\gr\,\grl=1$
Άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα όταν $\grl=1$ , διότι με αυτήν την τιμή μηδενίζονται ταυτόχρονα και τα δύο μέλη κι έχουμε ως αποτέλεσμα $0x=0$ .
Για να είναι η εξίσωση αδύνατη, πρέπει
$\begin{cases} \grl^2-\grl+2=0\\ \grl-1\neq 0 \end{cases}\,\gr\, \begin{cases} \grl=1\,\gr\,\grl=2\\ \grl\neq 1 \end{cases}$

Επομένως πρέπει $\grl=2$ διότι τότε η εξίσωση γίνεται $0\cdot x=1$ , δηλαδή αδύνατη.

Μερικές ασκήσεις για εξάσκηση

Ποιες από τις επόμενες εξισώσεις είναι αδύνατες, ποιες αόριστες και ποιες έχουν λύση.

${\bf\color{red}1)}\;\;\;4(x-1)=4x+3$
${\bf\color{red}2)}\;\;\;2x-4=2(x-1)-2$
${\bf\color{red}3)}\;\;\;\dfrac{x-1}{3}+\dfrac{x+8}{6}=\dfrac{x+2}{2}$
${\bf\color{red}4)}\;\;\;\dfrac{3x+1}{2}-x=\dfrac{2x-1}{4}$