Εξισώσεις 1ου βαθμού που συνδυάζουν τις προηγούμενες μορφές

Ας δούμε με απλά βήματα πως λύνουμε μια εξίσωση, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες της ισότητας καθώς και τις μεθόδους των δύο προηγούμενων μαθημάτων.

Ας λύσουμε για παράδειγμα την εξίσωση $5x+3=2x-6\;\;\;(1)$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$5x+3=2x-6$
$5x+3{\color{red}-2x-3}=2x-6{\color{red}-2x-3}$	Προσθέτουμε και στα δύο μέλη τους αντίθετους των $\color{blue}2x \,\kai\,+3$
$5x+\cancel{3}{\color{red}-2x\cancel{-3}}=\cancel{2x}-6{\color{red}\cancel{-2x}-3}$	Διαγράφουμε τους αντίθετους
$5x-2x=-6-3\;\;\;(2)$	Έτσι χωρίστηκαν οι άγνωστοι από τους γνωστούς όρους.
$3x=-9$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{3}}}x}{{\color{red}\cancel{3}}}=\dfrac{-9}{3}$	Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.
$x=-3$	Λύση της εξίσωσης

Ας προσέξουμε τι συνέβη όταν στην προηγούμενη διαδικασία προσθέσαμε και στα δύο μέλη τους αντίθετους των $2x$ και $+3$ . Επικεντρωνόμαστε στην (1) και την (2). Παρατηρούμε ότι η (2) προήλθε από την (1) με την “μεταφορά” του $+3$ στο δεύτερο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο ως $-3$ και του $2x$ από το 2ο μέλος στο πρώτο με αλλαγμένο το πρόσημο ως $-2x$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

οπότε καταλήγουμε από την (1) στη (2) απλά “μεταφέροντας” όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αρκεί να αλλάζουμε τα πρόσημα των μεταφερόμενων όρων.

Για εμπέδωση αυτής της διαδικασίας ας δούμε την μετατροπή στην παρακάτω:

Rendered by QuickLaTeX.com

δηλαδή

$7x-5x=3+2$

κι έτσι χωρίσαμε τους γνωστούς από τους αγνώστους. Μην ξεχνάμε όμως ότι πίσω από αυτή την εμπειρική διαδικασία “κρύβεται” η ιδιότητα της ισότητας:

Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\color{blue}\gra,\,\grb\,\kai\,\grg$ ισχύει:

$\color{blue}\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\gra+\grg=\grb+\grg\,\gr\,\gra-\grg=\grb-\grg$

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων.

1) Να λυθεί η εξίσωση $4x+5=2x+1$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$4x-2x=1-5$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους “μεταφέροντας” αντίστοιχα, όπως αναφέρθηκε πιο πάνω
$2x=-4$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων.
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{2}}}x}{{\color{red}\cancel{2}}}=\dfrac{-4}{2}$	Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου.
$x=-2$	Λύση της εξίσωσης

2) Να λυθεί η εξίσωση $2(x+1)-3=4x+5$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$2x+2-3=4x+5$	Κάνουμε την επιμεριστική
$2x-4x=5-2+3$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-2x=6$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{-2}}}x}{{\color{red}\cancel{-2}}}=\dfrac{6}{-2}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.
$x=-3$	Λύση της εξίσωσης

3) Να λυθεί η εξίσωση $-3(x+1)+5=2-2(x-3)$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$-3x-3+5=2-2x+6$	Κάνουμε την επιμεριστική
$-3x+2x=3-5+2+6$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-x=6$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$\dfrac{-x}{-1}=\dfrac{6}{-1}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.
$x=-6$	Λύση της εξίσωσης

4) Να λυθεί η εξίσωση $-8(6+5x)+4(-3+6x)=-12$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$-8(6+5x)+4(-3+6x)=-12$	Εφαρμόζουμε την επιμεριστική στους πολλαπλασιαμούς με τις παρενθέσεις
$-48-40x-12+24x=-12$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-40x+24x=-12+12+48$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$-16x=48$
$\dfrac{{\color{red}\cancel{-16}}x}{{\color{red}\cancel{-16}}}=\dfrac{48}{-16}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=-3$	Λύση της εξίσωσης

5) Να λυθεί η εξίσωση $-3\{7-2\left[1-4(1-x)\right]\}=-8-\left[2x-3\left(4-x\right)\right]$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$-3\{7-2\left(1-4+4x\righ)\}=-8-\left[2x-12+3x\right]$	Κάνουμε τις επιμεριστικές, ξεκινώντας από τις “εσωτερικές” παρενθέσεις, για να μην μπερδέψουμε τα πρόσημα.
$-3\left(7-2+8-8x\right)=-8-2x+12-3x$	Συνεχίζουμε, τελειώνοντας με τις επιμεριστικές και βγάζοντας τις παρενθέσεις (ή αγκύλες) σύμφωνα με το κανόνα των προσήμων
$-21+6-24+24x=-8-2x+12-3x$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$24x+2x+3x=-8+12+21-6+24$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$\dfrac{{\color{red}\cancel{29}}x}{{\color{red}\cancel{29}}}=\dfrac{43}{29}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=\dfrac{43}{29}$	Λύση της εξίσωσης

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα