Εξισώσεις 1ου βαθμού μορφής αχ=β ή χ:α=β

Εξισώσεις 1ου βαθμού μορφής αx=β ή x:α=β

Για την επίλυση μιας εξίσωσης πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας μερικές βασικές ιδιότητες των ισοτήτων.

  • Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \gra,\,\grb\,\kai\,\grg ισχύει:

        \[\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\gra+\grg=\grb+\grg}\;\;\;\;(1)\]

  • Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \gra,\,\grb\,\kai\,\grg ισχύει:

        \[\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\gra-\grg=\grb-\grg}\;\;\;\;(2)\]

  • Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \gra,\,\grb\,\kai\,\grg ισχύει:

        \[\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\gra\cdot\grg=\grb\cdot\grg}\;\;\;\;(3)\]

  • Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \gra,\,\grb\,\kai\,\grg\neq 0 ισχύει:

        \[\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\dfrac{\gra}{\grg}=\dfrac{\grb}{\grg}}\;\;\;\;(4)\]

Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με εξισώσεις, που εφαρμόζονται οι ιδιότητες 3 και 4

Με βάση τις ιδιότητες 3 και 4 μπορούμε να διατυπώσουμε τον ισχυρισμό ότι αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης,προκύπτει ισοδύναμη εξίσωσηΕξισώσεις που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμες εξισώσεις.
Για παράδειγμα η εξίσωση 2\cdot x=4\;\;(1) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \dfrac{2x}{2}=\dfrac{4}{2}\;\;(2) τελικά είναι ισοδύναμη με την x=2\;\;(3). Πράγματι η τιμή x=2 επαληθεύει τις εξισώσεις (1), (2) και (3).

Όπως γνωρίζουμε σε όλες τις εξισώσεις ο σκοπός μας είναι να “απομονώσουμε” τον άγνωστο στο ένα μέλος και να έχουμε τους γνωστούς στο άλλο μέλος. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα:

Παράδειγμα 1) Να λυθεί η εξίσωση 3\cdot x=6

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
3\cdot x=6
\dfrac{{\color{red}\cancel{3}}x}{\color{red}\cancel{3}}=\dfrac{\cancel{6}^2}{\cancel{3}^1} Διαιρούμε με το {\color{blue}3} και τα δύο μέλη (ιδιότητα 4)
x=2

Παράδειγμα 2) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x}{3}=-4

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{x}{3}=-4
{\color{red}{\cancel{3}}}\cdot\dfrac{x}{\cancel{3}}=-{\color{red}{3}}\cdot 4 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί \color{blue}3,
ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή(ιδιότητα 3)
x=-12

Προσπάθησε να επιλύσεις τώρα, εφαρμόζοντας τα παραπάνω, τις επόμενες ασκήσεις:

1) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x}{5}=-2

2) Να λυθεί η εξίσωση 3x=-7

3) Να λυθεί η εξίσωση 5x=12

4) Να λυθεί η εξίσωση -\dfrac{-x}{3}=14

5) Να λυθεί η εξίσωση -3x=19

Share This