Εξισώσεις μορφής x+α=β ή α-x=β

Για την επίλυση μιας εξίσωσης πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας μερικές βασικές ιδιότητες των ισοτήτων.

Κάθε τιμή του αγνώστου, που επαληθεύει μια εξίσωση, ονομάζεται λύση της εξίσωσης (ή αλλιώς ρίζα). Να λύσουμε μια εξίσωση σημαίνει να βρούμε όλες τις λύσεις της.
Εξισώσεις που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμες εξισώσεις
Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\gra,\,\grb\,\kai\,\grg$ ισχύει:
$\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\gra+\grg=\grb+\grg}\;\;\;\;(1)$
Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\gra,\,\grb\,\kai\,\grg$ ισχύει:
$\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\gra-\grg=\grb-\grg}\;\;\;\;(2)$
Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\gra,\,\grb\,\kai\,\grg$ ισχύει:
$\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\gra\cdot\grg=\grb\cdot\grg}\;\;\;\;(3)$
Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $\gra,\,\grb\,\kai\,\grg\neq 0$ ισχύει:
$\boxed{\grA\grn\;\;\gra=\grb,\;\tote\;\dfrac{\gra}{\grg}=\dfrac{\grb}{\grg}}\;\;\;\;(4)$

Ας δούμε με απλά βήματα πως λύνουμε μια εξίσωση, εφαρμόζοντας τις ιδιότητες της ισότητας.

Παράδειγμα 1) Να λυθεί η εξίσωση $x-3=4$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x-3=4\;\;\;(1)$
$x\cancel{-3}{\color{red}\cancel{+3}}=4{\color{red}+3}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}+3}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 1)
$x=4{\color{red}+3}\;\;\;(2)$
$x=7$	Υπολογίζουμε το άθροισμα.

Παράδειγμα 2) Να λυθεί η εξίσωση $y+5=-12$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$y+5=-12$
$y\cancel{+5}{\color{red}\cancel{-5}}=-12{\color{red}-5}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}-5}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$y=-12{\color{red}-5}$
$y=-17$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων

Παράδειγμα 3) Να λυθεί η εξίσωση $x+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{2}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{2}$
$x\cancel{+\dfrac{1}{3}}{\color{red}\cancel{-\dfrac{1}{3}}}=-\dfrac{3}{2}{\color{red}-\dfrac{1}{3}}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}-\dfrac{1}{3}}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$x=-\dfrac{9}{6}-\dfrac{2}{6}$	Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα του δεύτερου μέλους.
$x=-\dfrac{11}{6}$	Υπολογίζουμε το άθροισμα.

Παράδειγμα 4) Να λυθεί η εξίσωση $3-x=-18$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$3-x=-18$
$\cancel{3}{\color{red}\cancel{-3}}-x=-18{\color{red}-3}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}-3}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$-x=-18-3$
$-x=-21$	Υπολογίζουμε το άθροισμα στο δεύτερο μέλος.
$-x\cdot(-1)=-21\cdot(-1)$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί ${\color{blue}-1}$ (ιδιότητα 3) για να αλλάξουμε τα πρόσημα.
$x=21$

Παράδειγμα 5) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{1}{3}-x=-\dfrac{3}{2}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{1}{3}-x=-\dfrac{3}{2}$
$\cancel{\dfrac{1}{3}}{\color{red}\cancel{-\dfrac{1}{3}}}-x=-\dfrac{3}{2}{\color{red}-\dfrac{1}{3}}$	Προσθέτουμε το ${\color{blue}-\dfrac{1}{3}}$ και στα δύο μέλη (ιδιότητα 2)
$-x=-\dfrac{9}{6}-\dfrac{2}{6}$	Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα του δεύτερου μέλους.
$-x=-\dfrac{11}{6}$	Υπολογίζουμε το άθροισμα στο δεύτερο μέλος.
$-x\cdot(-1)=-\dfrac{11}{6}\cdot(-1)$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί ${\color{blue}-1}$ (ιδιότητα 3) για να αλλάξουμε τα πρόσημα.
$x=\dfrac{11}{6}$

Ας προσέξουμε τι συνέβη όταν στην προηγούμενη διαδικασία προσθέσαμε και στα δύο μέλη τους αντίθετους των $-5$ , $+3$ , $-\dfrac{1}{3}$ . Επικεντρωνόμαστε στην (1) και την (2). Παρατηρούμε ότι η (2) προήλθε από την (1) με την “μεταφορά” του $-3$ στο δεύτερο μέλος με αλλαγμένο πρόσημο $+3$ .

οπότε καταλήγουμε από την (1) στη (2) απλά “μεταφέροντας” όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αρκεί να αλλάζουμε τα πρόσημα των μεταφερόμενων όρων.

με ανάλογο τρόπο εργαζόμαστε και στα επόμενα παραδείγματα. Στο παράδειγμα 2), έχουμε:

Στο παράδειγμα 3) έχουμε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Στο παράδειγμα 4) έχουμε:

Μπορούμε λοιπόν απλοποιώντας την διαδικασία, χωρίς να ξεχνάμε την αυστηρή διαδικασία και την αιτιολόγησή της να λύσουμε, έστω το παράδειγμα 5, όπως παρακάτω:

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{1}{3}-x=-\dfrac{3}{2}$
$-x=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, μεταφέροντας κατάλληλα όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο όσων όρων μεταφέρουμε.
$-x=-\dfrac{9}{6}-\dfrac{2}{6}$	Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα του δεύτερου μέλους.
$-x=-\dfrac{11}{6}$	Υπολογίζουμε το άθροισμα στο δεύτερο μέλος.
$-x=-\dfrac{11}{6}$	Αλλάξουμε τα πρόσημα και στα δύο μέλη.
$x=\dfrac{11}{6}$

Ας προχωρήσουμε σε μερικές ασκήσεις για εξάσκηση

Να λυθούν οι εξισώσεις

1) $13+x=-26$

2) $x+7=-8$

3) $13-x=9$

4) $x+\dfrac{5}{6}=-2$

5) $-x-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$

Επόμενο μάθημα