Επίλυση τύπων

Τύπος | Ερμηνεία τύπου |
---|---|
![]() |
Τύπος εμβαδού τριγώνου |
![]() |
Διανυόμενο διάστημα σε επιταχυνόμενη κίνηση |
![]() |
Τύπος όγκου κυλίνδρου |
Δυστυχώς όμως οι τύποι δεν δίνονται πάντα στην μορφή, που χρειάζεται για να λυθεί ένα πρόβλημα. Ας δούμε ένα παράδειγμα.
παράδειγμα 1
Αν ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν και βάση
, να βρεθεί το ύψος του.
Είναι φανερό ότι θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του εμβαδού
Στη συνέχεια θα επιδιώξουμε να δημιουργήσουμε μια ισοδύναμη εξίσωση, που θα έχει στο πρώτο μέλος της το . Στη συγκεκριμένη περίπτωση θεωρούμε το
ως συντελεστή του αγνώστου
, οπότε έχουμε:
![]() |
Τύπος εμβαδού τριγώνου |
![]() |
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 2, για να γίνει απαλοιφή παρονομαστή |
![]() |
|
![]() |
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το β, για να λύσουμε ως προς υ |
![]() ![]() |
Η εξίσωση λύθηκε ως προς υ |
παράδειγμα 2
Όταν ρίχνουμε προς τα κάτω ενα σώμα με αρχική ταχύτητα , τότε μετά από χρόνο
θα αποκτήσει ταχύτητα
η οποία δίνεται από τον τύπο
, όπου είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Στο παράδειγμα αυτό ζητείται να λύσουμε τον τύπο ως προς
Έχουμε διαδοχικά:
![]() |
Ο τύπος της τελικής ταχύτητας |
![]() |
Αφαιρούμε το ![]() |
![]() |
|
![]() |
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το ![]() ![]() |
![]() |
Η εξίσωση λύθηκε ως προς ![]() |
παράδειγμα 3
Δίνεται ο τύπος του δείκτη νοημοσύνης, , όπου
ο δείκτης ευφυίας,
η πνευματική ηλικία και
η βιολογική ηλικία. Να λυθεί ο τύπος ως προς
.
Έχουμε διαδοχικά:
![]() |
Τύπος του δείκτη νοημοσύνης |
![]() |
Πολλαπλασιάζουμε επί ![]() |
![]() |
|
![]() |
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το ![]() ![]() |
![]() |
Η εξίσωση λύθηκε ως προς ![]() |
παράδειγμα 4
Δίνεται η εξίσωση . Να λυθεί η εξίσωση ως προς
.
Έχουμε διαδοχικά:
![]() |
Αρχική εξίσωση |
![]() |
Μεταφέρουμε τον όρο ![]() |
![]() |
Αλλάζουμε τα πρόσημα και στα δύο μέλη, για να φέρουμε σε πιο απλή μορφή την εξίσωση. |
![]() |
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το ![]() ![]() |
![]() |
Η εξίσωση λύθηκε ως προς ![]() |
παράδειγμα 5
Ο τύπος χρησιμοποιείται για να μετατρέψουμε τους βαθμούς Κελσίου σε βαθμούς Φαρενάιτ. Να επιλυθεί ο τύπος ως προς
.
Έχουμε διαδοχικά:
![]() |
Αρχική εξίσωση |
![]() |
Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη επί ![]() |
![]() |
|
![]() |
Μεταφέρουμε το 160 στο πρώτο μέλος, ώστε να “απομονώσουμε” το C |
![]() |
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το ![]() ![]() |
![]() |
Η εξίσωση λύθηκε ως προς ![]() |
παράδειγμα 6
Ο γνωστός νόμος του Coulomb στον ηλεκτρισμό εκφράζεται από τον τύπο , όπου
η δύναμη που ασκείται ανάμεσα σε δύο ηλεκτρικά φορτία
,
η απόσταση των δύο φορτίων και
μια σταθερά, που η τιμή της, εξαρτάται από το σύστημα των μονάδων. Να επιλυθεί ο τύπος ως προς
Έχουμε διαδοχικά:
![]() |
Αρχική εξίσωση |
![]() |
Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη επί ![]() |
![]() |
|
![]() |
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το ![]() ![]() |
![]() |
Η εξίσωση λύθηκε ως προς ![]() |
παράδειγμα 7
Δίνεται η εξίσωση , ως προς
Έχουμε διαδοχικά:
![]() |
Αρχική εξίσωση |
![]() |
Μεταφέραμε στο δεύτερο μέλος. |
![]() |
Διαιρούμε με τοn συντελεστή του x |
![]() |
Λύθηκε ως προς x; |
Η εξίσωση δεν έχει λυθεί ως προς x, διότι παρατηρούμε ότι υπάρχει και άλλο x στο δεύτερο μέλος. Πράγματι , επομένως δεν έχει λυθεί η εξίσωση ως προς x.
Ας έχουμε υπόψη μας ότι για να έχει λυθεί ένας τύπος ως προς μια μεταβλητή, πρέπει η μεταβλητή αυτή να υπάρχει μόνο στο ένα μέλος. Πως έπρεπε να αντιμετωπίσουμε αυτή την περίπτωση; Ας δούμε παρακάτω:
![]() |
Αρχική εξίσωση |
![]() |
Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x, ώστε να έχουμε έναν όρο με την μεταβλητή x. |
![]() |
μεταφέρουμε το 3y στο δεύτερο μέλος, ώστε να απομονώσουμε το (α+2)x |
![]() |
Διαιρούμε με τοn συντελεστή του x |
![]() |
Λύθηκε ως προς x |
Ας προχωρήσεις τώρα σε μερικές ασκήσεις για εξάσκηση. Σε κάθε περίπτωση να επιλύσεις τον τύπο ως προς τη μεταβλητή, που υποδεικνύεται:
(περίμετρος ορθογωνίου), ως προς
.
, ως προς
, ως προς
.
, ως προς
, ως προς
(εμβαδόν κυκλικού τομέα), ως προς