Επίλυση τύπων

Οι τύποι είναι χρήσιμα εργαλεία σε περιπτώσεις εφαρμογής των μαθηματικών σε πολλά πεδία. Οι τύποι είναι εξισώσεις οι οποίες εκφράζουν σχέσεις ανάμεσα σε γράμματα και αριθμούς. Μέχρι τώρα έχουμε συναντήσει αρκετούς τύπους, για παράδειγμα:

Τύπος	Ερμηνεία τύπου
$E=\dfrac{1}{2}\grb\cdot\gry$	Τύπος εμβαδού τριγώνου
$s=\dfrac{1}{2}at^2$	Διανυόμενο διάστημα σε επιταχυνόμενη κίνηση
$V=\pi\cdot\rho^2\cdot\gry$	Τύπος όγκου κυλίνδρου

Δυστυχώς όμως οι τύποι δεν δίνονται πάντα στην μορφή, που χρειάζεται για να λυθεί ένα πρόβλημα. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

παράδειγμα 1

Αν ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν $10\,m^2$ και βάση $5\,m$ , να βρεθεί το ύψος του.

Είναι φανερό ότι θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του εμβαδού

$E=\dfrac{1}{2}\grb\cdot\gry.$

Στη συνέχεια θα επιδιώξουμε να δημιουργήσουμε μια ισοδύναμη εξίσωση, που θα έχει στο πρώτο μέλος της το $\gry$ . Στη συγκεκριμένη περίπτωση θεωρούμε το $\dfrac{1}{2}\grb$ ως συντελεστή του αγνώστου $\gry$ , οπότε έχουμε:

$E=\dfrac{1}{2}\grb\cdot\gry$	Τύπος εμβαδού τριγώνου
$2E=2\left(\dfrac{1}{2}\grb\cdot{\color{red}\gry}\right)$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 2, για να γίνει απαλοιφή παρονομαστή
$2E=\grb\cdot{\color{red}\gry}$
$\dfrac{2E}{\grb}=\dfrac{\grb\cdot{\color{red}\gry}}{\grb}$	Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το β, για να λύσουμε ως προς υ
$\dfrac{2E}{\grb}={\color{red}\gry}$ ή ${\color{red}\gry}=\dfrac{2E}{\grb}$	Η εξίσωση λύθηκε ως προς υ

παράδειγμα 2

Όταν ρίχνουμε προς τα κάτω ενα σώμα με αρχική ταχύτητα $\bf v_o$ , τότε μετά από χρόνο $\bf t\,sec$ θα αποκτήσει ταχύτητα $\bf v$ η οποία δίνεται από τον τύπο

$v=v_o+g\cdot t$

, όπου $\bf g$ είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Στο παράδειγμα αυτό ζητείται να λύσουμε τον τύπο ως προς $\bf \color{red}t$

Έχουμε διαδοχικά:

$v=v_o+g\cdot{\color{red} t}$	Ο τύπος της τελικής ταχύτητας
$v-v_o=v_o-v_o+g\cdot{\color{red}t}$	Αφαιρούμε το $\bf\color{red}v_o$ και από τα δύο μέλη.
$v-v_o=g\cdot{\color{red}t}$
$\dfrac{v-v_o}{g}=\dfrac{g\cdot{\color{red}t}}{g}$	Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το $\bf\color{red}g$ , για να λύσουμε ως προς $\bf\color{red}t$
$\dfrac{v-v_o}{g}=t\;\;\gr\;\;{\color{red}t}=\dfrac{v-v_o}{g}$	Η εξίσωση λύθηκε ως προς $\bf\color{red}t$

παράδειγμα 3

Δίνεται ο τύπος του δείκτη νοημοσύνης, $Q=\dfrac{100M}{C}$ , όπου $\bf Q$ ο δείκτης ευφυίας, $\bf M$ η πνευματική ηλικία και $\bf C$ η βιολογική ηλικία. Να λυθεί ο τύπος ως προς $\bf C$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$Q=\dfrac{100M}{\color{red}C}$	Τύπος του δείκτη νοημοσύνης
${\color{red}C}\cdot Q={\cancel{\color{red}C}}\cdot\dfrac{100M}{\cancel{\color{red}C}}}$	Πολλαπλασιάζουμε επί $\bf\color{red}C$ και τα δύο μέλη, για να γίνει απαλοιφή παρονομαστών.
${\color{red}C}\cdot Q=100M$
$\dfrac{{\color{red}C}\cdot Q}{Q}=\dfrac{100M}{Q}$	Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το $\bf\color{red}Q$ , για να λύσουμε ως προς $\bf\color{red}C$
${\color{red}C}=\dfrac{100M}{Q}$	Η εξίσωση λύθηκε ως προς $\bf\color{red}C$

παράδειγμα 4

Δίνεται η εξίσωση $3x-4y=12$ . Να λυθεί η εξίσωση ως προς $y$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$3x-4{\color{red}y}=12$	Αρχική εξίσωση
$-4{\color{red}y}=-3x+12$	Μεταφέρουμε τον όρο $\bf\color{red}3x$ στο δεύτερο μέλος, θεωρώντας τον ως γνωστό.
$4{\color{red}y}=3x-12$	Αλλάζουμε τα πρόσημα και στα δύο μέλη, για να φέρουμε σε πιο απλή μορφή την εξίσωση.
$\dfrac{\cancel{4}{\color{red}y}}{\cancel{4}}=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{\cancel{12}}{\cancel{4}}$	Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το $\bf\color{red}4$ , για να λύσουμε ως προς $\bf\color{red}y$
${\color{red}y}=\dfrac{3}{4}x-3$	Η εξίσωση λύθηκε ως προς $\bf\color{red}x$

παράδειγμα 5

Ο τύπος $F=\dfrac{9}{5}C+32$ χρησιμοποιείται για να μετατρέψουμε τους βαθμούς Κελσίου σε βαθμούς Φαρενάιτ. Να επιλυθεί ο τύπος ως προς $C$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$F=\dfrac{9}{5}C+32$	Αρχική εξίσωση
$5\cdot F={\cancel{5}}\cdot\dfrac{9}{\cancel{5}}C+5\cdot 32$	Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη επί $\bf\color{red}5$ για να γίνει απαλοιφή παρονομαστή.
$5F=9C+160$
$5F-160=9C$	Μεταφέρουμε το 160 στο πρώτο μέλος, ώστε να “απομονώσουμε” το C
$\dfrac{\cancel{9}C}{\cancel{9}}=\dfrac{5}{9}F-\dfrac{160}{9}$	Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το $\bf\color{red}9$ , για να λύσουμε ως προς $\bf\color{red}C$
$C=\dfrac{5}{9}F-\dfrac{160}{9}$	Η εξίσωση λύθηκε ως προς $\bf\color{red}C$

παράδειγμα 6

Ο γνωστός νόμος του Coulomb στον ηλεκτρισμό εκφράζεται από τον τύπο $F=K\cdot\dfrac{q_1\cdot q_2}{r^2}$ , όπου $F$ η δύναμη που ασκείται ανάμεσα σε δύο ηλεκτρικά φορτία $q_1\,\kai\,q_2$ , $r$ η απόσταση των δύο φορτίων και $K$ μια σταθερά, που η τιμή της, εξαρτάται από το σύστημα των μονάδων. Να επιλυθεί ο τύπος ως προς $q_2$

Έχουμε διαδοχικά:

$F=K\cdot\dfrac{q_1\cdot{\color{red}q_2}}{r^2}$	Αρχική εξίσωση
$r^2\cdot F={\cancel{r^2}}\cdot K\dfrac{q_1\cdot{\color{red}q_2}}{\cancel{r^2}}$	Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη επί $\bf\color{red}r^2$ για να γίνει απαλοιφή παρονομαστή.
$r^2\cdot F=K\cdot q_1\cdot {\color{red}q_2}$
$\dfrac{r^2\cdot F}{K\cdot q_1}=\dfrac{\cancel{K\cdot q_1}\cdot {\color{red}q_2}}{\cancel{K\cdot q_1}}$	Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το $\bf\color{red}K\cdot q_1$ , για να λύσουμε ως προς $\bf\color{red}q_2$
${\color{red}q_2}=\dfrac{r^2\cdot F}{K\cdot q_1}$	Η εξίσωση λύθηκε ως προς $\bf\color{red}q_2$

παράδειγμα 7

Δίνεται η εξίσωση $2x+\gra x+3y=5$ , ως προς $\bf x$

Έχουμε διαδοχικά:

$2x+\gra x+3y=5$	Αρχική εξίσωση
$\gra x=5-2x-3y$	Μεταφέραμε στο δεύτερο μέλος.
$\frac{\gra x}{\gra}=\dfrac{5-2x-3y}{\gra}$	Διαιρούμε με τοn συντελεστή του x
$x=\dfrac{5-2x-3y}{\gra}$	Λύθηκε ως προς x;

Η εξίσωση δεν έχει λυθεί ως προς x, διότι παρατηρούμε ότι υπάρχει και άλλο x στο δεύτερο μέλος. Πράγματι ${\color{red}x}=\dfrac{5-2{\color{red}x}-3y}{\gra}$ , επομένως δεν έχει λυθεί η εξίσωση ως προς x.

Ας έχουμε υπόψη μας ότι για να έχει λυθεί ένας τύπος ως προς μια μεταβλητή, πρέπει η μεταβλητή αυτή να υπάρχει μόνο στο ένα μέλος. Πως έπρεπε να αντιμετωπίσουμε αυτή την περίπτωση; Ας δούμε παρακάτω:

$2x+\gra x+3y=5$	Αρχική εξίσωση
$(2+\gra)x+3y=5$	Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x, ώστε να έχουμε έναν όρο με την μεταβλητή x.
$(2+\gra)x=5-3y$	μεταφέρουμε το 3y στο δεύτερο μέλος, ώστε να απομονώσουμε το (α+2)x
$\dfrac{\cancel{(2+\gra)} x}{\cancel{2+\gra}}=\dfrac{5-3y}{2+\gra}$	Διαιρούμε με τοn συντελεστή του x
$x=\dfrac{5-3y}{2+\gra}$	Λύθηκε ως προς x