Εξισώσεις 1ου βαθμού με κλάσματα

Εξισώσεις 1ου βαθμού με κλάσματα

Εξισώσεις με κλάσματα

Στις εξισώσεις με παρονομαστές στη διαδικασία επίλυσης προστίθεται ένα βήμα ακόμη. Η απαλοιφή παρονομαστών. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα.

1) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x}{2}=3

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
2\cdot \dfrac{x}{2}=2\cdot 3 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί \color{blue}2,
ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
x=6 Λύση της εξίσωσης

2) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{3x}{-2}=4

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
(-2)\cdot \dfrac{3x}{-2}=(-2)\cdot 3 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί \color{blue}-2, ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
3x=-6 Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
\dfrac{{\color{red}{\cancel{3}}}x}{{\color{red}\cancel{3}}}=\dfrac{-6}{3}
x=-2 Λύση της εξίσωσης

3) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{2}{3}-2=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{6}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
{\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{2}{{\color{red}\cancel{3}}}x-{\color{red}6}\cdot{2}={\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{3}{\color{red}{\cancel{2}}}+{\color{red}\cancel{6}_1}\cdot\dfrac{1}{{\color{red}\cancel{6}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3)=6 των παρονομαστών.
4x-12=9x+1 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
4x-9x=1+12 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
-5x=13 Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
\dfrac{{\color{red}{\cancel{-5}}}x}{{\color{red}\cancel{-5}}}=\dfrac{13}{-5}
x=-\dfrac{13}{5} Λύση της εξίσωσης

4) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x+3}{2}=1-\dfrac{x-1}{3}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x+3}{{\color{red}\cancel{2}}}=6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x-1}{\color{red}{\cancel{3}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας
επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3)=6 των παρονομαστών.
3(x+3)=6-2(x-1) Κάνουμε τις επιμεριστικές
3x+9=6-2x+2 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
3x+2x=6+2-9 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
5x=-1
\dfrac{{\color{red}{\cancel{5}}}x}{{\color{red}\cancel{5}}}=\dfrac{-1}{5} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=-\dfrac{1}{5} Λύση της εξίσωσης

5) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{3}-1\right)+3=\dfrac{2(x-1)}{3}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{x}{6}-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{2x-2}{3} Κάνουμε επιμεριστική με τον κλασματικό
συντελεστή, για να έχουμε ξεκαθαρίσει
τους παρονομαστές
{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{6}}}-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{1}{\color{red}\cancel{2}}+6\cdot 3={\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{2x-2}{\color{red}{\cancel{3}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας
επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3,\,6)=6 των παρονομαστών.
x-3+18=2(2x-2) Κάνουμε τις επιμεριστικές
x+15=4x-4 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
x-4x=-15-4 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
-3x=-19
\dfrac{{\color{red}{\cancel{-3}}}x}{{\color{red}\cancel{-3}}}=\dfrac{-19}{-3} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=\dfrac{19}{3} Λύση της εξίσωσης

6) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{2(3x-1)+1}{2}+\dfrac{x}{3}=1-\dfrac{2x+3}{2}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{6x-2+1}{2}+\dfrac{x}{3}=1-\dfrac{2x+3}{2} “Τακτοποιούμε” τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, κάνοντας επιμεριστική
{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{6χ+1}{{\color{red}\cancel{2}}}+{\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{3}}}=6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{2x+3}{\color{red}{\cancel{2}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3)=6 των παρονομαστών.
3(6x+1+2x=6-3(2x+3) Κάνουμε τις επιμεριστικές
18x+3+2x=6-6x-9 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
18x+2x+6x=6-3-9 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
26x=-6
\dfrac{{\color{red}{\cancel{26}}}x}{{\color{red}\cancel{26}}}=\dfrac{-6}{26} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=-\dfrac{3}{13} Λύση της εξίσωσης

7) Να λυθεί η εξίσωση \dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}} Τα κλάσματα είναι σύνθετα, οπότε θα εργαστούμε,
πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ\color{blue}(2,\,3)=6 όλων των εμφανιζόμενων
παρονομαστών.
\dfrac{6\left(x-\frac{2}{3}\right)}{6\left(1-\frac{1}{2}\right)}=\dfrac{6\left(\frac{x}{2}+1\right)}{6\left(2-\frac{1}{3}\right)} Κάνουμε τις επιμεριστικές
\dfrac{6x-4}{6-3}=\dfrac{3x+6}{12-2} Τα φέρνουμε σε τελική μορφή.
\dfrac{6x-4}{3}=\dfrac{3x+6}{10} Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ=\color{blue}30 ή κάνουμε “χιαστί”
10\left(6x-4\right)=3\left(3x+6\right)
60x-40=9x+18 Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα
60x-9x=40+18 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
51x=58 Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
\dfrac{{\color{red}\cancel{51}}x}{{\color{red}\cancel{51}}}=\dfrac{58}{51} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=\dfrac{58}{51} Λύση της εξίσωσης
Share This