Εξισώσεις 1ου βαθμού με κλάσματα

Στις εξισώσεις με παρονομαστές στη διαδικασία επίλυσης προστίθεται ένα βήμα ακόμη. Η απαλοιφή παρονομαστών. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα.

1) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{x}{2}=3$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$2\cdot \dfrac{x}{2}=2\cdot 3$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}2$ , ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
$x=6$	Λύση της εξίσωσης

2) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{3x}{-2}=4$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$(-2)\cdot \dfrac{3x}{-2}=(-2)\cdot 3$	Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί $\color{blue}-2$ , ώστε να γίνει απαλοιφή του παρονομαστή
$3x=-6$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{3}}}x}{{\color{red}\cancel{3}}}=\dfrac{-6}{3}$
$x=-2$	Λύση της εξίσωσης

3) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{2}{3}x-2=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{6}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
${\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{2}{{\color{red}\cancel{3}}}x-{\color{red}6}\cdot{2}={\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{3}{\color{red}{\cancel{2}}}x+{\color{red}\cancel{6}_1}\cdot\dfrac{1}{{\color{red}\cancel{6}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3)=6$ των παρονομαστών.
$4x-12=9x+1$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$4x-9x=1+12$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$-5x=13$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{-5}}}x}{{\color{red}\cancel{-5}}}=\dfrac{13}{-5}$
$x=-\dfrac{13}{5}$	Λύση της εξίσωσης

4) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{x+3}{2}=1-\dfrac{x-1}{3}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
${\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x+3}{{\color{red}\cancel{2}}}=6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x-1}{\color{red}{\cancel{3}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3)=6$ των παρονομαστών.
$3(x+3)=6-2(x-1)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$3x+9=6-2x+2$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$3x+2x=6+2-9$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$5x=-1$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{5}}}x}{{\color{red}\cancel{5}}}=\dfrac{-1}{5}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=-\dfrac{1}{5}$	Λύση της εξίσωσης

5) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{3}-1\right)+3=\dfrac{2(x-1)}{3}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{x}{6}-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{2x-2}{3}$	Κάνουμε επιμεριστική με τον κλασματικό συντελεστή, για να έχουμε ξεκαθαρίσει τους παρονομαστές
${\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{6}}}-{\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{1}{\color{red}\cancel{2}}+6\cdot 3={\color{red}\cancel{6}}\cdot\dfrac{2x-2}{\color{red}{\cancel{3}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3,\,6)=6$ των παρονομαστών.
$x-3+18=2(2x-2)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$x+15=4x-4$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$x-4x=-15-4$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$-3x=-19$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{-3}}}x}{{\color{red}\cancel{-3}}}=\dfrac{-19}{-3}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=\dfrac{19}{3}$	Λύση της εξίσωσης

6) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{2(3x-1)+1}{2}+\dfrac{x}{3}=1-\dfrac{2x+3}{2}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{6x-2+1}{2}+\dfrac{x}{3}=1-\dfrac{2x+3}{2}$	“Τακτοποιούμε” τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, κάνοντας επιμεριστική
${\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{6χ+1}{{\color{red}\cancel{2}}}+{\color{red}\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{x}{{\color{red}\cancel{3}}}=6\cdot 1-{\color{red}\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{2x+3}{\color{red}{\cancel{2}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3)=6$ των παρονομαστών.
$3(6x+1+2x=6-3(2x+3)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$18x+3+2x=6-6x-9$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$18x+2x+6x=6-3-9$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$26x=-6$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{26}}}x}{{\color{red}\cancel{26}}}=\dfrac{-6}{26}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=-\dfrac{3}{13}$	Λύση της εξίσωσης

7) Να λυθεί η εξίσωση $\dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{x-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{x}{2}+1}{2-\frac{1}{3}}$	Τα κλάσματα είναι σύνθετα, οπότε θα εργαστούμε, πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $\color{blue}(2,\,3)=6$ όλων των εμφανιζόμενων παρονομαστών.
$\dfrac{6\left(x-\frac{2}{3}\right)}{6\left(1-\frac{1}{2}\right)}=\dfrac{6\left(\frac{x}{2}+1\right)}{6\left(2-\frac{1}{3}\right)}$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$\dfrac{6x-4}{6-3}=\dfrac{3x+6}{12-2}$	Τα φέρνουμε σε τελική μορφή.
$\dfrac{6x-4}{3}=\dfrac{3x+6}{10}$	Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ= $\color{blue}30$ ή κάνουμε “χιαστί”
$10\left(6x-4\right)=3\left(3x+6\right)$
$60x-40=9x+18$	Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα
$60x-9x=40+18$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

$51x=58$	Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
$\dfrac{{\color{red}\cancel{51}}x}{{\color{red}\cancel{51}}}=\dfrac{58}{51}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=\dfrac{58}{51}$	Λύση της εξίσωσης