Στο μάθημα αυτό θα εργαστούμε πάνω σε πιο σύνθετες μορφές εξισώσεων, που εφαρμόζονται ό,τι μάθαμε στα προηγούμενα μαθήματα. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα επόμενα:

  1. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (αν υπάρχουν)
  2. Κάνουμε τις επιμεριστικές, που προκύπτουν
  3. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
  4. Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου

Ας δούμε τα παρακάτω παραδείγματα

1) Nα λυθεί η εξίσωση \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{4}x+6\right)-\dfrac{7}{2}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{3}\cdot 6\right)-\dfrac{7}{2} Κάνουμε την επιμεριστική στο 2ο μέλος. Σε περιπτώσεις που υπάρχει επιμεριστική με κλασματικό παράγοντα καλό είναι να ξεκινάμε με αυτήν, ώστε να έχουμε ξεκάθαρα τους παρονομαστές.
\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{\cancel{3}}\cdot\dfrac{\cancel{3}}{4}x+\dfrac{1}{\cancel{3}}\cdot{\cancel{6}^2}\right)-\dfrac{7}{2} Κάνουμε την επιμεριστική στο 2ο μέλος
{\color{red}\cancel{4}^1}\cdot\dfrac{3}{{\color{red}\cancel{4}}}x-{\color{red}\cancel{4}^2}\cdot\dfrac{1}{{\color{red}\cancel{2}}}={\color{red}\cancel{4}^1}\cdot\dfrac{1}{\color{red}{\cancel{4}}}+4\cdot 2-{\color{red}\cancel{4}^2}\cdot\dfrac{7}{\cancel{2}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,4)=4 των παρονομαστών.
3x-2=x+8-14 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
3x-x=8-14+2 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
2x=-4
\dfrac{{\color{red}{\cancel{2}}}x}{{\color{red}\cancel{2}}}=\dfrac{-4}{2} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=-2 Λύση της εξίσωσης

2) Nα λυθεί η εξίσωση -\dfrac{2-x}{3}-\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x+1}{6}-3x

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
-\dfrac{2-x}{3}-\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x+1}{6}-3x
-{\color{red}\cancel{6}^2}\cdot\dfrac{2-x}{{\color{red}\cancel{3}}}-{\color{red}\cancel{6}^3}\cdot\dfrac{x-5}{{\color{red}\cancel{2}}}={\color{red}\cancel{6}^3}\cdot\dfrac{3}{\color{red}{\cancel{2}}}-{\color{red}\cancel{6}^1}\cdot\dfrac{x+1}{\cancel{6}}-{\color{red}{6}}\cdot{3x} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ(\color{blue}2,\,3,\,6)=6 των παρονομαστών.
-2(2-x)-3(x-5)=3\cdot 3-(x+1)-18x Κάνουμε τις επιμεριστικές
-4+2x-3x+15=9-x-1-18x Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστουςν
2x-3x+x+18x=9-1+4-15 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
18x=-3
\dfrac{{\color{red}{\cancel{18}}}x}{{\color{red}\cancel{18}}}=\dfrac{-3}{18} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=-\dfrac{1}{6} Λύση της εξίσωσης

3) Αν A=2-x και B=\dfrac{x+3}{2} να λύσετε την εξίσωση \dfrac{4A}{3}-2=3\cdot B\;\;\;(1)

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{4(2-x)}{3}-2=3\dfrac{x+3}{2} Αντικαθιστούμε στην (1) τα Α και Β με τα ίσα τους, όπως μας δίνονται.
{\color{red}{\cancel{6}}^2}}\dfrac{4(2-x)}{\color{red}{\cancel{3}}}-{\color{red}{6}}\cdot 2={\color{red}{\cancel{6}}^3}}\cdot 3\dfrac{x+3}{\color{red}{\cancel{2}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ ({\color{blue}2,\,3})=6 των παρονομαστών.
8(2-x)-12=9(x+3) Κάνουμε τις επιμεριστικές
16-8x-12=9x+27 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
-8x-9x=27-16+12 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
-17x=23
\dfrac{\cancel{-17}x}{\cancel{-17}}=\dfrac{23}{-17} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=-\dfrac{23}{17} Λύση της εξίσωσης

4) Nα λυθεί η εξίσωση \dfrac{2x}{3}-\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{2}-\dfrac{2}{3}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=3\dfrac{3}{12}

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{2x}{3}-\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{3}\right)\cdot3}{2\cdot 3}-\dfrac{2}{3}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{12} Πολλαπλασιάζουμε επί 3 τους όρους του σύνθετου κλάσματος για να μετετραπεί σε απλό.
\dfrac{2x}{3}-\dfrac{3x+1}{6}-\dfrac{2}{3}\cdot x-\dfrac{\cancel{2}}{3}\cdot\dfrac{1}{\cancel{2}}=-\dfrac{3}{12} Κάνουμε επιμεριστική με το \color{blue}\small \dfrac{2}{3}
\dfrac{2x}{3}-\dfrac{3x+1}{6}-\dfrac{2}{3}\cdot x-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{12}
{\color{red}{\cancel{12}}^4}}\dfrac{2x}{\color{red}{\cancel{3}}}-{\color{red}\cancel{12}^2}\dfrac{3x+1}{\color{red}\cancel{6}}-{\color{red}{\cancel{12}}^4}}\dfrac{2x}{\color{red}\cancel{3}}-{\color{red}{\cancel{12}}^4}}\dfrac{1}{\color{red}\cancel{3}}=-{\color{red}{\cancel{12}}^1}}\cdot \dfrac{3}{\color{red}{\cancel{12}}} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ ({\color{blue}2,\,3)=6} των παρονομαστών.
8x-2(3x+1)-8x-4=-3 Κάνουμε την επιμεριστική
\cancel{8x}-6x-2-\cancel{8x}-4=-3 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
-6x=2+4-3 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
-6x=3
\dfrac{{\color{red}\cancel{-6}}x}{\color{red}\cancel{-6}}=\dfrac{\cancel{3}^1}{\cancel{-6}^2} Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x=-\dfrac{1}{2} Λύση της εξίσωσης

5) Nα λυθεί η εξίσωση 2\left[-(1-x)-\dfrac{x+2}{4}\right]=3\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{12-x}{9}\right]

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
2\left(x-1-\dfrac{x+2}{4}\right)=3\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{12-x}{9}\right) Βγάζουμε την παρένθεση στην αγκύλη του 1ου μέλους
2x-2-{\cancel{2}}\cdot\dfrac{x+2}{\cancel{4}_2}={\cancel{3}}\cdot\dfrac{1}{\cancel{3}}-{\cancel{3}}\cdot\dfrac{12-x}{\cancel{9}_3} Κάνουμε τις επιμεριστικές στο 1ο και 2ο μέλος
2x-2-\dfrac{x+2}{2}=1-\dfrac{12-x}{3} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ ({\color{blue}2,\,3)=6} των παρονομαστών.
6\cdot{2x}-6\cdot{2}-\cancel{6}_3\dfrac{x+2}{\cancel{3}}=6\cdot 1-\cancel{6}_2\dfrac{12-x}{\cancel{3}}
12x-12-3(x+2)=6-2(12-x) Κάνουμε τις επιμεριστικές
12x-12-3x-6=6-24+2x Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
12x-3x-2x=6-24+6+12 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
7x=0 Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
\dfrac{{\color{red}\cancel{7}}x}{\color{red}\cancel{7}}}=\dfrac{0}{7} Μπορούμε να διαιρέσουμε το 0 με οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό. Το αποτέλεσμα είναι πάντα 0.
x=0 Λύση της εξίσωσης

6) Αν A=\dfrac{x-1}{2}\,\kai\,B=\dfrac{2(2-x)}{3} να λύσετε την εξίσωση \dfrac{3A+B}{2}-1=5B\;\;\;(1)

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
\dfrac{3\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{2(2-x)}{3}}{2}-1=5\dfrac{2(2-x)}{3} Αντικαθιστούμε τα Α και Β στην (1) με τα ίσα τους
\dfrac{\dfrac{3(x-1)}{2}+\dfrac{2(2-x)}{3}}{2}-1=\dfrac{10(2-x)}{3} Πρώτα θα μετατρέψουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλο.
\dfrac{{\color{red}6}\left(\dfrac{3(x-1)}{2}+\dfrac{2(2-x)}{3}\right)}{{\color{red}6}\cdot 2}-1=\dfrac{10(2-x)}{3} Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή του συνθέτου κλάσματος επί 6, που είναι το ΕΚΠ των παρονομαστών του αριθμητή.
\dfrac{{\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{3(x-1)}{\cancel{2}}+{\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{2(2-x)}{\cancel{3}}}{12}-1=\dfrac{10(2-x)}{3} Απλοποιούμε και το κλάσμα γίνεται απλό.
\dfrac{9(x-1)+4(2-x)}{12}-1=\dfrac{10(2-x)}{3} Κάνουμε επιμεριστικές στον αριθμητή
\dfrac{9x-9+8-4x}{12}-1=\dfrac{10(2-x)}{3} Κάνουμε τις αναγωγές των ομοίων όρων στον αριθμητή
\dfrac{5x-1}{12}-1=\dfrac{20-10x}{3} Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ(3,12)=12
\cancel{12}\dfrac{5x-1}{\cancel{12}}-12\cdot 1=\cancel{12}_4\dfrac{20-10x}{\cancel{3}} Κάνουμε την επιμεριστική
5x-1-12=4(20-10x)
5x-1-12=80-40x Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
5x+40x=80+12+1 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
45x=93 Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.
\dfrac{\cancel{45}x}{\cancel{45}}=\dfrac{\cancel{93}^31}{\cancel{45}_15} Λύση της εξίσωσης
x=\dfrac{31}{15} Λύση της εξίσωσης

Ας λύσετε τις επόμενες εξισώσεις και για περισσότερη εξάσκηση πιέστε στο πλήκτρο Ασκήσεις του μαθήματος

Nα λυθούν οι εξισώσεις:

1) 2(3+4x)-9=45

Απ.

x=6

2)  5y-3(2y+8)=17

Απ.

x=-41

3)  5(x+3)+9=3(x-2)+6

Απ.

x=-12

4)  \dfrac{6x+24}{3}-20=-\dfrac{12x-72}{4}

Απ.

x=6

5)  2+\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}\left(5-\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac[1}{3}\left(7-\dfrac{x}{2}\right)

Απ.

x=\dfrac{34}{7}

6)  \dfrac{7}{2}x=3x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}x

Απ.

x=-1

7)  \dfrac{2}{3}\left(x+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{5}{2}\left(x+\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{20}{3}

Απ.

x=-\dfrac{40}{11}

Share This