Εξισώσεις 1ου βαθμού σύνθετης μορφής

Στο μάθημα αυτό θα εργαστούμε πάνω σε πιο σύνθετες μορφές εξισώσεων, που εφαρμόζονται ό,τι μάθαμε στα προηγούμενα μαθήματα. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα επόμενα:

Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (αν υπάρχουν)
Κάνουμε τις επιμεριστικές, που προκύπτουν
Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου

Ας δούμε τα παρακάτω παραδείγματα

1) Nα λυθεί η εξίσωση $\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{4}x+6\right)-\dfrac{7}{2}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{3}\cdot 6\right)-\dfrac{7}{2}$	Κάνουμε την επιμεριστική στο 2ο μέλος. Σε περιπτώσεις που υπάρχει επιμεριστική με κλασματικό παράγοντα καλό είναι να ξεκινάμε με αυτήν, ώστε να έχουμε ξεκάθαρα τους παρονομαστές.
$\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{\cancel{3}}\cdot\dfrac{\cancel{3}}{4}x+\dfrac{1}{\cancel{3}}\cdot{\cancel{6}^2}\right)-\dfrac{7}{2}$	Κάνουμε την επιμεριστική στο 2ο μέλος
${\color{red}\cancel{4}^1}\cdot\dfrac{3}{{\color{red}\cancel{4}}}x-{\color{red}\cancel{4}^2}\cdot\dfrac{1}{{\color{red}\cancel{2}}}={\color{red}\cancel{4}^1}\cdot\dfrac{1}{\color{red}{\cancel{4}}}+4\cdot 2-{\color{red}\cancel{4}^2}\cdot\dfrac{7}{\cancel{2}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,4)=4$ των παρονομαστών.
$3x-2=x+8-14$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
$3x-x=8-14+2$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$2x=-4$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{2}}}x}{{\color{red}\cancel{2}}}=\dfrac{-4}{2}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=-2$	Λύση της εξίσωσης

2) Nα λυθεί η εξίσωση $-\dfrac{2-x}{3}-\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x+1}{6}-3x$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$-\dfrac{2-x}{3}-\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x+1}{6}-3x$
$-{\color{red}\cancel{6}^2}\cdot\dfrac{2-x}{{\color{red}\cancel{3}}}-{\color{red}\cancel{6}^3}\cdot\dfrac{x-5}{{\color{red}\cancel{2}}}={\color{red}\cancel{6}^3}\cdot\dfrac{3}{\color{red}{\cancel{2}}}-{\color{red}\cancel{6}^1}\cdot\dfrac{x+1}{\cancel{6}}-{\color{red}{6}}\cdot{3x}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $(\color{blue}2,\,3,\,6)=6$ των παρονομαστών.
$-2(2-x)-3(x-5)=3\cdot 3-(x+1)-18x$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$-4+2x-3x+15=9-x-1-18x$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστουςν
$2x-3x+x+18x=9-1+4-15$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$18x=-3$
$\dfrac{{\color{red}{\cancel{18}}}x}{{\color{red}\cancel{18}}}=\dfrac{-3}{18}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$x=-\dfrac{1}{6}$	Λύση της εξίσωσης

3) Αν $A=2-x$ και $B=\dfrac{x+3}{2}$ να λύσετε την εξίσωση $\dfrac{4A}{3}-2=3\cdot B\;\;\;(1)$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{4(2-x)}{3}-2=3\dfrac{x+3}{2}$	Αντικαθιστούμε στην (1) τα Α και Β με τα ίσα τους, όπως μας δίνονται.
${\color{red}{\cancel{6}}^2}}\dfrac{4(2-x)}{\color{red}{\cancel{3}}}-{\color{red}{6}}\cdot 2={\color{red}{\cancel{6}}^3}}\cdot 3\dfrac{x+3}{\color{red}{\cancel{2}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $({\color{blue}2,\,3})=6$ των παρονομαστών.
$8(2-x)-12=9(x+3)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$16-8x-12=9x+27$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-8x-9x=27-16+12$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$-17x=23$
$\dfrac{\cancel{-17}x}{\cancel{-17}}=\dfrac{23}{-17}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x= $-\dfrac{23}{17}$	Λύση της εξίσωσης

4) Nα λυθεί η εξίσωση $\dfrac{2x}{3}-\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{2}-\dfrac{2}{3}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=3\dfrac{3}{12}$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{2x}{3}-\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{3}\right)\cdot3}{2\cdot 3}-\dfrac{2}{3}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{12}$	Πολλαπλασιάζουμε επί 3 τους όρους του σύνθετου κλάσματος για να μετετραπεί σε απλό.
$\dfrac{2x}{3}-\dfrac{3x+1}{6}-\dfrac{2}{3}\cdot x-\dfrac{\cancel{2}}{3}\cdot\dfrac{1}{\cancel{2}}=-\dfrac{3}{12}$	Κάνουμε επιμεριστική με το $\color{blue}\small \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{2x}{3}-\dfrac{3x+1}{6}-\dfrac{2}{3}\cdot x-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{12}$
${\color{red}{\cancel{12}}^4}}\dfrac{2x}{\color{red}{\cancel{3}}}-{\color{red}\cancel{12}^2}\dfrac{3x+1}{\color{red}\cancel{6}}-{\color{red}{\cancel{12}}^4}}\dfrac{2x}{\color{red}\cancel{3}}-{\color{red}{\cancel{12}}^4}}\dfrac{1}{\color{red}\cancel{3}}=-{\color{red}{\cancel{12}}^1}}\cdot \dfrac{3}{\color{red}{\cancel{12}}}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $({\color{blue}2,\,3)=6}$ των παρονομαστών.
$8x-2(3x+1)-8x-4=-3$	Κάνουμε την επιμεριστική
$\cancel{8x}-6x-2-\cancel{8x}-4=-3$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$-6x=2+4-3$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$-6x=3$
$\dfrac{{\color{red}\cancel{-6}}x}{\color{red}\cancel{-6}}=\dfrac{\cancel{3}^1}{\cancel{-6}^2}$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
x= $-\dfrac{1}{2}$	Λύση της εξίσωσης

5) Nα λυθεί η εξίσωση $2\left[-(1-x)-\dfrac{x+2}{4}\right]=3\left[\dfrac{1}{3}-\dfrac{12-x}{9}\right]$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$2\left(x-1-\dfrac{x+2}{4}\right)=3\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{12-x}{9}\right)$	Βγάζουμε την παρένθεση στην αγκύλη του 1ου μέλους
$2x-2-{\cancel{2}}\cdot\dfrac{x+2}{\cancel{4}_2}={\cancel{3}}\cdot\dfrac{1}{\cancel{3}}-{\cancel{3}}\cdot\dfrac{12-x}{\cancel{9}_3}$	Κάνουμε τις επιμεριστικές στο 1ο και 2ο μέλος
$2x-2-\dfrac{x+2}{2}=1-\dfrac{12-x}{3}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ $({\color{blue}2,\,3)=6}$ των παρονομαστών.
$6\cdot{2x}-6\cdot{2}-\cancel{6}_3\dfrac{x+2}{\cancel{3}}=6\cdot 1-\cancel{6}_2\dfrac{12-x}{\cancel{3}}$
$12x-12-3(x+2)=6-2(12-x)$	Κάνουμε τις επιμεριστικές
$12x-12-3x-6=6-24+2x$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$12x-3x-2x=6-24+6+12$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$7x=0$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου
$\dfrac{{\color{red}\cancel{7}}x}{\color{red}\cancel{7}}}=\dfrac{0}{7}$	Μπορούμε να διαιρέσουμε το $0$ με οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό. Το αποτέλεσμα είναι πάντα $0$ .
$x=0$	Λύση της εξίσωσης

6) Αν $A=\dfrac{x-1}{2}\,\kai\,B=\dfrac{2(2-x)}{3}$ να λύσετε την εξίσωση $\dfrac{3A+B}{2}-1=5B\;\;\;(1)$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{3\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{2(2-x)}{3}}{2}-1=5\dfrac{2(2-x)}{3}$	Αντικαθιστούμε τα Α και Β στην (1) με τα ίσα τους
$\dfrac{\dfrac{3(x-1)}{2}+\dfrac{2(2-x)}{3}}{2}-1=\dfrac{10(2-x)}{3}$	Πρώτα θα μετατρέψουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλο.
$\dfrac{{\color{red}6}\left(\dfrac{3(x-1)}{2}+\dfrac{2(2-x)}{3}\right)}{{\color{red}6}\cdot 2}-1=\dfrac{10(2-x)}{3}$	Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή του συνθέτου κλάσματος επί 6, που είναι το ΕΚΠ των παρονομαστών του αριθμητή.
$\dfrac{{\cancel{6}_3}\cdot\dfrac{3(x-1)}{\cancel{2}}+{\cancel{6}_2}\cdot\dfrac{2(2-x)}{\cancel{3}}}{12}-1=\dfrac{10(2-x)}{3}$	Απλοποιούμε και το κλάσμα γίνεται απλό.
$\dfrac{9(x-1)+4(2-x)}{12}-1=\dfrac{10(2-x)}{3}$	Κάνουμε επιμεριστικές στον αριθμητή
$\dfrac{9x-9+8-4x}{12}-1=\dfrac{10(2-x)}{3}$	Κάνουμε τις αναγωγές των ομοίων όρων στον αριθμητή
$\dfrac{5x-1}{12}-1=\dfrac{20-10x}{3}$	Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ(3,12)=12
$\cancel{12}\dfrac{5x-1}{\cancel{12}}-12\cdot 1=\cancel{12}_4\dfrac{20-10x}{\cancel{3}}$	Κάνουμε την επιμεριστική
$5x-1-12=4(20-10x)$
$5x-1-12=80-40x$	Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους
$5x+40x=80+12+1$	Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
$45x=93$	Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.
$\dfrac{\cancel{45}x}{\cancel{45}}=\dfrac{\cancel{93}^31}{\cancel{45}_15}$	Λύση της εξίσωσης
$x=\dfrac{31}{15}$	Λύση της εξίσωσης