Προβλήματα που λύνονται με εξισώσεις 2ου βαθμού.

Επιλογές

Ας θυμηθούμε τα βήματα που χρειάζονται να κάνουμε στην διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος. Τα είχαμε αναλύσει εδώ.

Για να λύσουμε ένα πρόβλημα στα μαθηματικά (και όχι μόνο) πρέπει αρχικά να το κατανοήσουμε, να το “μεταφράσουμε” σε μαθηματική γλώσσα, να διαχειριστούμε κάποιες μαθηματικές πράξεις και επαληθεύσουμε το αποτέλεσμα και τέλος να δώσουμε μια σαφή απάντηση. Πιο παραστατικά:

5 βήματα για την επίλυση ενός προβλήματος

Βήμα 1

Κατανόηση του προβλήματος, δηλαδή εξοικείωση με το πρόβλημα

Βήμα 2

Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα, δηλαδή το “μεταφράζουμε” με μια μαθηματική έκφραση, συνήθως εξίσωση.

Βήμα 3

Εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων, συνήθως λύση της εξίσωσης.

Βήμα 4

Επαλήθευση. Το αποτέλεσμα πρέπει να επαληθεύει το αρχικό πρόβλημα.

Βήμα 5

Συμπέρασμα διατυπώνουμε με σαφήνεια το συμπέρασμα.

Από τα παραπάνω 5 βήματα, ίσως το πιο σημαντικό είναι το Βήμα 1. Η εξοικείωση (κατανόηση) με το πρόβλημα. Για να το καταφέρεις ακολούθησε τις επόμενες συμβουλές.

Διάβασε προσεκτικά το πρόβλημα
Ξαναδιάβασε το και κάνε αν χρειάζεται ένα σχήμα, γράψε πάνω σ’ αυτό τα μεγέθη που σου δίνονται και ό,τι σου ζητείται.
Κατάγραψε σε μια λίστα τα δεδομένα και το ερώτημα στο οποίο πρέπει να απαντήσεις. Καθόρισε τον άγνωστο και συμβόλισέ τον με ένα γράμμα, συνήθως $x\,\gr\, y\,\gr\grv$ .
Βρες έναν τύπο, που να συνδέει τις άγνωστες με τις γνωστές ποσότητες.

Ας εργαστούμε αναλυτικά σε ένα πρόβλημα που η επίλυσή του καταλήγει σε εξίσωση 2ου βαθμού.

Πρόβλημα 1 Ο αριθμός των διαγωνίων d ενός πολυγώνου με ν πλευρές δίνεται από τον τύπο:

$d=\dfrac{\grn^2-3\grn}{2}.$

Αν ένα πολύγωνο έχει 27 διαγώνιες, πόσες πλευρές έχει;

Λύση

Κατανόηση του προβλήματος.

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο σε ένα εξάγωνο. Στο εξάγωνο του σχήματος μετράμε 9 διαγώνιες. Πράγματι αυτό επιβεβαιώνεται με την εφαρμογή του τύπου

$\dfrac{{\color{red}6}^2-3\cdot {\color{red}6}}{2}=\dfrac{36-18}{2}\=\dfrac{18}{2}=9$
Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα. Αφού το πλήθος των διαγωνίων του πολυγώνου (ν-γώνου) είναι 27, αντικαθιστούμε στον τύπο το d με 27 κι έχουμε:

$27=\dfrac{\grn^2-3\cdot \grn}{2}\;\;(1)$

Η (1) μας αποδίδει μαθηματικά το πρόβλημα.

Εκτέλεση . Εδώ λύση της εξίσωσης:

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$\dfrac{\grn^2-3\cdot \grn}{2}=27$
$\grn^2-3\cdot\grn=54$	Πολλαπλασιάζουμε επί 2 για την απαλοιφή παρονομαστών.
$\grn^2-3\cdot\grn-54=0$
$(\grn-9)(\grn+6)=0$	Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο
$\grn-9=0\,\gr\,\grn+6=0$
$\grn=9\,\gr\,\grn=-6$

Επαλήθευση. To πλήθος των πλευρών δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός, άρα η λύση $\grn=-6$ απορρίπτεται. Με αντικατάσταση της λύσης $\grn=9$ στην (1) βλέπουμε ότι επαληθεύει.
Συμπέρασμα. Άρα το πολύγωνο που έχει 27 διαγωνίους, είναι το 9-γωνο.

Πρόβλημα 2 To μήκος ενός ορθογωνίου είναι κατά $2\,cm$ μεγαλύτερο από το πλάτος του. Το εμβαδόν του είναι $80\,cm^2$ . Πόσο είναι το μήκος και το πλάτος του;

Λύση

Κατανόηση του προβλήματος.

Από την εκφώνηση του προβλήματος έχουμε ότι το μήκος είναι $2\,cm$ μεγαλύτερο από το πλάτος του ορθογωνίου. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν είναι το γινόμενο μήκους επί πλάτος.
Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα. Αν υποθέσουμε ότι το πλάτος είναι x, τότε αφού το μήκος είναι κατά $2\,cm$ μεγαλύτερο από το πλάτος, δηλαδή το μήκος είναι x+2. Το εμβαδόν ισούται με το γινόμενό τους, άρα

$x(x+2)=80$
Εκτέλεση . Θα λύσουμε την εξίσωση:

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση

$x(x+2)=80$

$x^2+2x=80$ Κάνουμε την επιμεριστική.

$x^2+2x-80=0$

$(x-8)(x+10)=0$ Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο

$x-8=0\,\gr\,x+10=0$

$x=8\,\gr\,x=-10$
Επαλήθευση. To μήκος των πλευρών του ορθογωνίου δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός, άρα η λύση $χ=-10$ απορρίπτεται. Για $x=8$ θα είναι $x+2=8+2=10$ , οπότε το εμβαδόν είναι $E=8\cdot 10=80\,cm^2$ , δηλαδή επαληθεύει το ζητούμενο
Συμπέρασμα. Άρα το ορθογώνιο έχει πλάτος 8cm και μήκος 10cm.

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x(x+2)=80$
$x^2+2x=80$	Κάνουμε την επιμεριστική.
$x^2+2x-80=0$
$(x-8)(x+10)=0$	Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο
$x-8=0\,\gr\,x+10=0$
$x=8\,\gr\,x=-10$

Πρόβλημα 3 Το δεύτερο ψηλότερο κτίριο του κόσμου είναι ο Πύργος της Σαγκάης (Sanghai Tower) και έχει περίπου 640m ύψος. Από την κορυφή του Πύργου ρίχνουμε προς τα κάτω μια πέτρα με $v_o=14\,m/sec$ . Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να φτάσει στο έδαφος; ( Θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές -θεωρητικά κενό αέρα)

Λύση

1. Κατανόηση του προβλήματος.

Από την Φυσική γνωρίζουμε ότι αν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει ελεύθερα από ένα ύψος h, τότε με την επίδραση του βάρους του θα χρειαστεί t χρόνο να διανύσει την απόσταση h, που δίνεται από τον τύπο $h=\dfrac{1}{2}\gra t^2$ , όπου $\gra$ η επιτάχυνση της βαρύτητας (εδώ την θεωρούμε ίση με $10m/sec^2$ . Αν τώρα εκτοξεύσουμε την πέτρα προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα $v_o$ τότε προστίθεται και ο όρος $v_o\cdot t$ .

2. Απόδοση του προβλήματος σε μαθηματική γλώσσα. Αν $h$ είναι το ύψος του κτιρίου, $v_o$ η αρχική ταχύτητα που προσδίδουμε στο σώμα και $\gra$ η επιτάχυνση βαρύτητας, τότε ισχύει:

$h=v_o\cdot t+\dfrac{1}{2}\gra t^2\;\;\;(1)$

3 . Εκτέλεση . Αντικαθιστούμε στον τύπο (1) τα δεδομένα κι έχουμε

$14t+\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot t^2=640,$

οπότε λύνουμε την εξίσωση:

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$14t+\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot t^2=640$
$5t^2+14t=640$	Κάνουμε τις πράξεις .
$5t^2+14t-640=0$	Μεταφέρουμε το 640 στο 1ο μέλος .
$t=10\,\gr\,t=-\dfrac{64}{5}$	Λύνουμε την εξίσωση με τον τύπο

4. Επαλήθευση. Ο χρόνος δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός, άρα η λύση $t=-\dfrac{64}{5}sec$ απορρίπτεται. Για $t=10sec$ θα είναι $h=14\cdot 10+\dfrac{1}{2}10^2=140+500=640m$ δηλαδή επαληθεύει το ζητούμενο

5. Συμπέρασμα. Άρα η πέτρα θα κάνει 10 sec να φτάσει στο έδαφος.

Πρόβλημα 4

Στο σχήμα έχουμε δύο τετράγωνα το ένα μέσα στο άλλο, με τις διαστάσεις, όπως είναι σημειωμένες. Να βρείτε το εμβαδόν του μέρους που απομένει αν αφαιρέσουμε το μέσα τετράγωνο. Επιλύσετε το πρόβλημα ακολουθώντας τα 5 βήματα.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα