Εξισώσεις 2ου βαθμού που λύνονται με παραγοντοποίηση

Εξισώσεις 2ου βαθμού που λύνονται με παραγοντοποίηση

Στην ενότητα “ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ” ασχοληθήκαμε με εξισώσεις όπου εμφανίζεται ένας άγνωστος, υψωμένος στην πρώτη δύναμη, δηλαδή εξισώσεις των μορφών \gra\cdot x=\grb ή \gra\cdot x+\grb=\grg.

Στην ενότητα αυτήν θα εργαστούμε πάνω στης εξισώσεις 2ου βαθμού, σε εξισώσεις με έναν άγνωστο, που ο άγνωστος είναι υψωμένος στην δευτέρα, δηλαδή εξισώσεις των μορφών x^2=\gra ή x^2+\gra\cdot x=\grb ή x^2+\gra\cdot x+\grb=0 ή τέλος \gra\cdot x^2+\grb\cdot x+\grg=0.

Ας δούμε ένα απλό πρόβλημα, που παρουσιάζεται η ανάγκη να λύσουμε μια εξίσωση 2ου βαθμού ή μια δευτεροβάθμια εξίσωση.

Αν ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 16\,cm^2, να βρεθεί η πλευρά του.

Αν συμβολίσουμε με \bf x την πλευρά του τετραγώνου τότε, όπως γνωρίζουμε από την Γεωμετρία,

    \[x^2=16.\]

Η εξίσωση αυτή έχει έναν άγνωστο που είναι υψωμένος στην δευτέρα. Επομένως είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο ή απλά μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Πως την λύνουμε;

Στο σημείο αυτό “μπαίνουν στο παιχνίδι” οι τετραγωνικές ρίζες. Θυμόμαστε από το σχετικό μάθημα (μπορείς να το ξαναδείς για να το φρεσκάρεις) ότι:
Για κάθε μη αρνητικό αριθμό \color{red}\gra (δηλαδή \color{red}{\gra\geq 0}),

    \[\color{red}{\gra\grn\;x^2=\gra\tote\;x=\sqrt{\gra}\,\gr\,x=-\sqrt{\gra}}\]

Με βάση τον παραπάνω ορισμό (ορισμός της τετραγωνικής ρίζας) η εξίσωση

x^2=16 γίνεται x=\sqrt{16}\,\gr\,x=-\sqrt{16} δηλαδή x=4\,\gr\,x=-4.

Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα, επειδή δεν μπορεί ένα τετράγωνο να έχει πλευρά με αρνητικό μήκος, απορρίπτουμε την αρνητική λύση, οπότε x=\sqrt{16}=4

Ένας άλλος τρόπος επίλυσης τηε εξίσωσης x^2=16 είναι ο εξής:

    \begin{align*} x^2=16&\ann x^2-16=0\ann x^2-4^2=0\\ &\ann (x-4)(x+4)=0\ann x-4=0\,\gr\,x+4=0\\ &\ann\,x=4\,\gr\,x=-4 \end{align*}

Ας θυμηθούμε ότι:

    \[\color{red}{A\grn\;A\cdot B=0\;\tote\;A=0\,\gr\,B=0}\]

Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα.

Ένα τετράγωνο με πλευρά \bf x έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα ορθογώνιο, που έχει μήκος ίσο με την πλευρά του τετραγώνου και πλάτος ίσο με \bf 7\,cm. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου \bf x.

Στην περίπτωση αυτήν έχουμε την σύγκριση δύο εμβαδών. Ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου. Όπως γνωρίζουμε το εμβαδόν του τετραγώνου E_1 δίνεται από τον E_1=x^2, ενώ του ορθογωνίου από τον E_2=7\cdot x.

Με βάση το πρόβλημα ισχύει E_1=E_2, δηλαδή

    \[x^2=7\cdot x\]

Όπως βλέπουμε έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Δεν είναι η απλή μορφή που συναντήσαμε προηγούμενα. Αποτελείται από δύο όρους. Όμως και οι δύο όροι περιέχουν το \bf x. Επομένως, προχωρούμε ως εξής:

Μεταφέρουμε τον όρο \bf {7\cdot x} στο πρώτο μέλος και θα προκύψει:

    \[x^2-7\cdot x=0\]

Τώρα έχοντας κατά νου όσα μάθαμε στο μάθημα “Επίλυση εξισώσεων με την βοήθεια της παραγοντοποίησης“, ως επόμενο βήμα παραγοντοποιούμε την τελευταία εξίσωση κι έχουμε:

    \[x^2=7\cdot x=0\ann x\cdot(x-7)=0\ann x=0\,\gr\,x-7=0\ann x=0\,\gr\,x=7\]

Σχετικά με το σύμβολο \bf\ann ή το \bf\an διάβασε εδώ.

Στα επόμενα παραδείγματα θα λύσουμε εξισώσεις 2ου βαθμού της μορφής x^2=\gra,\,\,\gra\geq 0 και με την βοήθεια της τετραγωνικής ρίζας και με την βοήθεια της παραγοντοποίησης.

Παράδειγμα 1) Να λυθεί η εξίσωση x^2-50=0

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
x^2-50=0
x^2=50 Κρατάμε το \color{blue}x^2 στο 1ο μέλος
x=\pm\sqrt{50} Εργαζόμαστε με την μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας.
x=\pm\sqrt{25\cdot 2}\,\gr\,x=\pm5\sqrt{2} Απλοποιούμε την τετραγωνική ρίζα.

Παράδειγμα 2) Να λυθεί η εξίσωση x^2=36

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
x^2-36=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
x^2-6^2=0 Σχηματίζουμε διαφορά τετραγώνων.
(x-6)(x+6)=0 Παραγοντοποιούμε.
x-6=0\,\gr\,x+6=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=6\,\gr\,x=-6 Λύση της εξίσωσης

Η προηγούμενη εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί και με την μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας, όπως εφαρμόστηκε στο Παράδειγμα 1.

Παράδειγμα 3) Να λυθεί η εξίσωση x^2=6x

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
x^2-6x=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
x(x-6)=0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x.
x=0\,\gr\,x-6=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=0\,\gr\,x=6 Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 4) Να λυθεί η εξίσωση 3x^2=27

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
3x^2-27=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
3(x^2-9)=0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 3 και στην παρένθεση
δημιουργείται διαφορά τετραγώνων.
3(x-3)(x+3)=0 Παραγοντοποιούμε.
x-3=0\,\gr\,x+3=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=3\,\gr\,x=-3 Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 5) Να λυθεί η εξίσωση 2x^2=5x

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
2x^2-5x=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
x(2x-5)=0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x.
x=0\,\gr\,2x-5=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=0\,\gr\,x=\dfrac{5}{2} Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 6) Να λυθεί η εξίσωση 4x^2=9

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
4x^2-9=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
(2x)^2-3^2=0 Σχηματίζουμε διαφορά τετραγώνων.
(2x+3)(2x-3)=0 Παραγοντοποιούμε.
2x-3=0\,\gr\,2x+3=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=\dfrac{3}{2}\,\gr\,x=-\dfrac{3}{2} Λύση της εξίσωσης
Share This