Εξισώσεις 2ου βαθμού που λύνονται με παραγοντοποίηση

Επιλογές

Στην ενότητα “ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ” ασχοληθήκαμε με εξισώσεις όπου εμφανίζεται ένας άγνωστος, υψωμένος στην πρώτη δύναμη, δηλαδή εξισώσεις των μορφών $\gra\cdot x=\grb$ ή $\gra\cdot x+\grb=\grg$ .

Στην ενότητα αυτήν θα εργαστούμε πάνω στης εξισώσεις 2ου βαθμού, σε εξισώσεις με έναν άγνωστο, που ο άγνωστος είναι υψωμένος στην δευτέρα, δηλαδή εξισώσεις των μορφών $x^2=\gra$ ή $x^2+\gra\cdot x=\grb$ ή $x^2+\gra\cdot x+\grb=0$ ή τέλος $\gra\cdot x^2+\grb\cdot x+\grg=0$ .

Ας δούμε ένα απλό πρόβλημα, που παρουσιάζεται η ανάγκη να λύσουμε μια εξίσωση 2ου βαθμού ή μια δευτεροβάθμια εξίσωση.

Αν ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν $16\,cm^2$ , να βρεθεί η πλευρά του.

Αν συμβολίσουμε με $\bf x$ την πλευρά του τετραγώνου τότε, όπως γνωρίζουμε από την Γεωμετρία,

$x^2=16.$

Η εξίσωση αυτή έχει έναν άγνωστο που είναι υψωμένος στην δευτέρα. Επομένως είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο ή απλά μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Πως την λύνουμε;

Στο σημείο αυτό “μπαίνουν στο παιχνίδι” οι τετραγωνικές ρίζες. Θυμόμαστε από το σχετικό μάθημα (μπορείς να το ξαναδείς για να το φρεσκάρεις) ότι:
Για κάθε μη αρνητικό αριθμό $\color{red}\gra$ (δηλαδή $\color{red}{\gra\geq 0}$ ),

$\color{red}{\gra\grn\;x^2=\gra\tote\;x=\sqrt{\gra}\,\gr\,x=-\sqrt{\gra}}$

Με βάση τον παραπάνω ορισμό (ορισμός της τετραγωνικής ρίζας) η εξίσωση

$x^2=16$ γίνεται $x=\sqrt{16}\,\gr\,x=-\sqrt{16}$ δηλαδή $x=4\,\gr\,x=-4$ .

Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα, επειδή δεν μπορεί ένα τετράγωνο να έχει πλευρά με αρνητικό μήκος, απορρίπτουμε την αρνητική λύση, οπότε $x=\sqrt{16}=4$

Ένας άλλος τρόπος επίλυσης τηε εξίσωσης $x^2=16$ είναι ο εξής:

$\begin{align*} x^2=16&\ann x^2-16=0\ann x^2-4^2=0\\ &\ann (x-4)(x+4)=0\ann x-4=0\,\gr\,x+4=0\\ &\ann\,x=4\,\gr\,x=-4 \end{align*}$

Ας θυμηθούμε ότι:

$\color{red}{A\grn\;A\cdot B=0\;\tote\;A=0\,\gr\,B=0}$

Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα.

Ένα τετράγωνο με πλευρά $\bf x$ έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα ορθογώνιο, που έχει μήκος ίσο με την πλευρά του τετραγώνου και πλάτος ίσο με $\bf 7\,cm$ . Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου $\bf x$ .

Στην περίπτωση αυτήν έχουμε την σύγκριση δύο εμβαδών. Ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου. Όπως γνωρίζουμε το εμβαδόν του τετραγώνου $E_1$ δίνεται από τον $E_1=x^2$ , ενώ του ορθογωνίου από τον $E_2=7\cdot x$ .

Με βάση το πρόβλημα ισχύει $E_1=E_2$ , δηλαδή

$x^2=7\cdot x$

Όπως βλέπουμε έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Δεν είναι η απλή μορφή που συναντήσαμε προηγούμενα. Αποτελείται από δύο όρους. Όμως και οι δύο όροι περιέχουν το $\bf x$ . Επομένως, προχωρούμε ως εξής:

Μεταφέρουμε τον όρο $\bf {7\cdot x}$ στο πρώτο μέλος και θα προκύψει:

$x^2-7\cdot x=0$

Τώρα έχοντας κατά νου όσα μάθαμε στο μάθημα “Επίλυση εξισώσεων με την βοήθεια της παραγοντοποίησης“, ως επόμενο βήμα παραγοντοποιούμε την τελευταία εξίσωση κι έχουμε:

$x^2=7\cdot x=0\ann x\cdot(x-7)=0\ann x=0\,\gr\,x-7=0\ann x=0\,\gr\,x=7$

Σχετικά με το σύμβολο $\bf\ann$ ή το $\bf\an$ διάβασε εδώ.

Στα επόμενα παραδείγματα θα λύσουμε εξισώσεις 2ου βαθμού της μορφής $x^2=\gra,\,\,\gra\geq 0$ και με την βοήθεια της τετραγωνικής ρίζας και με την βοήθεια της παραγοντοποίησης.

Παράδειγμα 1) Να λυθεί η εξίσωση $x^2-50=0$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x^2-50=0$
$x^2=50$	Κρατάμε το $\color{blue}x^2$ στο 1ο μέλος
$x=\pm\sqrt{50}$	Εργαζόμαστε με την μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας.
$x=\pm\sqrt{25\cdot 2}\,\gr\,x=\pm5\sqrt{2}$	Απλοποιούμε την τετραγωνική ρίζα.

Παράδειγμα 2) Να λυθεί η εξίσωση $x^2=36$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x^2-36=0$	Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
$x^2-6^2=0$	Σχηματίζουμε διαφορά τετραγώνων.
$(x-6)(x+6)=0$	Παραγοντοποιούμε.
$x-6=0\,\gr\,x+6=0$	$\color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}$
$x=6\,\gr\,x=-6$	Λύση της εξίσωσης

Η προηγούμενη εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί και με την μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας, όπως εφαρμόστηκε στο Παράδειγμα 1.

Παράδειγμα 3) Να λυθεί η εξίσωση $x^2=6x$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$x^2-6x=0$	Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
$x(x-6)=0$	Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x.
$x=0\,\gr\,x-6=0$	$\color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}$
$x=0\,\gr\,x=6$	Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 4) Να λυθεί η εξίσωση $3x^2=27$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$3x^2-27=0$	Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
$3(x^2-9)=0$	Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 3 και στην παρένθεση δημιουργείται διαφορά τετραγώνων.
$3(x-3)(x+3)=0$	Παραγοντοποιούμε.
$x-3=0\,\gr\,x+3=0$	$\color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}$
$x=3\,\gr\,x=-3$	Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 5) Να λυθεί η εξίσωση $2x^2=5x$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$2x^2-5x=0$	Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
$x(2x-5)=0$	Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x.
$x=0\,\gr\,2x-5=0$	$\color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}$
$x=0\,\gr\,x=\dfrac{5}{2}$	Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 6) Να λυθεί η εξίσωση $4x^2=9$

Διαδικασία επίλυσης	Αιτιολόγηση
$4x^2-9=0$	Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
$(2x)^2-3^2=0$	Σχηματίζουμε διαφορά τετραγώνων.
$(2x+3)(2x-3)=0$	Παραγοντοποιούμε.
$2x-3=0\,\gr\,2x+3=0$	$\color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}$
$x=\dfrac{3}{2}\,\gr\,x=-\dfrac{3}{2}$	Λύση της εξίσωσης

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα