Εξισώσεις 2ου βαθμού που λύνονται με παραγοντοποίηση

Στην ενότητα “ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ” ασχοληθήκαμε με εξισώσεις όπου εμφανίζεται ένας άγνωστος, υψωμένος στην πρώτη δύναμη, δηλαδή εξισώσεις των μορφών \gra\cdot x=\grb ή \gra\cdot x+\grb=\grg.

Στην ενότητα αυτήν θα εργαστούμε πάνω στης εξισώσεις 2ου βαθμού, σε εξισώσεις με έναν άγνωστο, που ο άγνωστος είναι υψωμένος στην δευτέρα, δηλαδή εξισώσεις των μορφών x^2=\gra ή x^2+\gra\cdot x=\grb ή x^2+\gra\cdot x+\grb=0 ή τέλος \gra\cdot x^2+\grb\cdot x+\grg=0.

Ας δούμε ένα απλό πρόβλημα, που παρουσιάζεται η ανάγκη να λύσουμε μια εξίσωση 2ου βαθμού ή μια δευτεροβάθμια εξίσωση.

Αν ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 16\,cm^2, να βρεθεί η πλευρά του.

Αν συμβολίσουμε με \bf x την πλευρά του τετραγώνου τότε, όπως γνωρίζουμε από την Γεωμετρία,

    \[x^2=16.\]

Η εξίσωση αυτή έχει έναν άγνωστο που είναι υψωμένος στην δευτέρα. Επομένως είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο ή απλά μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Πως την λύνουμε;

Στο σημείο αυτό “μπαίνουν στο παιχνίδι” οι τετραγωνικές ρίζες. Θυμόμαστε από το σχετικό μάθημα (μπορείς να το ξαναδείς για να το φρεσκάρεις) ότι:
Για κάθε μη αρνητικό αριθμό \color{red}\gra (δηλαδή \color{red}{\gra\geq 0}),

    \[\color{red}{\gra\grn\;x^2=\gra\tote\;x=\sqrt{\gra}\,\gr\,x=-\sqrt{\gra}}\]

Με βάση τον παραπάνω ορισμό (ορισμός της τετραγωνικής ρίζας) η εξίσωση

x^2=16 γίνεται x=\sqrt{16}\,\gr\,x=-\sqrt{16} δηλαδή x=4\,\gr\,x=-4.

Στο συγκεκριμένο όμως πρόβλημα, επειδή δεν μπορεί ένα τετράγωνο να έχει πλευρά με αρνητικό μήκος, απορρίπτουμε την αρνητική λύση, οπότε x=\sqrt{16}=4

Ένας άλλος τρόπος επίλυσης τηε εξίσωσης x^2=16 είναι ο εξής:

    \begin{align*} x^2=16&\ann x^2-16=0\ann x^2-4^2=0\\ &\ann (x-4)(x+4)=0\ann x-4=0\,\gr\,x+4=0\\ &\ann\,x=4\,\gr\,x=-4 \end{align*}

Ας θυμηθούμε ότι:

    \[\color{red}{A\grn\;A\cdot B=0\;\tote\;A=0\,\gr\,B=0}\]

Ας δούμε ένα άλλο πρόβλημα.

Ένα τετράγωνο με πλευρά \bf x έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα ορθογώνιο, που έχει μήκος ίσο με την πλευρά του τετραγώνου και πλάτος ίσο με \bf 7\,cm. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου \bf x.

Στην περίπτωση αυτήν έχουμε την σύγκριση δύο εμβαδών. Ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου. Όπως γνωρίζουμε το εμβαδόν του τετραγώνου E_1 δίνεται από τον E_1=x^2, ενώ του ορθογωνίου από τον E_2=7\cdot x.

Με βάση το πρόβλημα ισχύει E_1=E_2, δηλαδή

    \[x^2=7\cdot x\]

Όπως βλέπουμε έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Δεν είναι η απλή μορφή που συναντήσαμε προηγούμενα. Αποτελείται από δύο όρους. Όμως και οι δύο όροι περιέχουν το \bf x. Επομένως, προχωρούμε ως εξής:

Μεταφέρουμε τον όρο \bf {7\cdot x} στο πρώτο μέλος και θα προκύψει:

    \[x^2-7\cdot x=0\]

Τώρα έχοντας κατά νου όσα μάθαμε στο μάθημα “Επίλυση εξισώσεων με την βοήθεια της παραγοντοποίησης“, ως επόμενο βήμα παραγοντοποιούμε την τελευταία εξίσωση κι έχουμε:

    \[x^2=7\cdot x=0\ann x\cdot(x-7)=0\ann x=0\,\gr\,x-7=0\ann x=0\,\gr\,x=7\]

Σχετικά με το σύμβολο \bf\ann ή το \bf\an διάβασε εδώ.

Στα επόμενα παραδείγματα θα λύσουμε εξισώσεις 2ου βαθμού της μορφής x^2=\gra,\,\,\gra\geq 0 και με την βοήθεια της τετραγωνικής ρίζας και με την βοήθεια της παραγοντοποίησης.

Παράδειγμα 1) Να λυθεί η εξίσωση x^2-50=0

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
x^2-50=0
x^2=50 Κρατάμε το \color{blue}x^2 στο 1ο μέλος
x=\pm\sqrt{50} Εργαζόμαστε με την μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας.
x=\pm\sqrt{25\cdot 2}\,\gr\,x=\pm5\sqrt{2} Απλοποιούμε την τετραγωνική ρίζα.

Παράδειγμα 2) Να λυθεί η εξίσωση x^2=36

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
x^2-36=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
x^2-6^2=0 Σχηματίζουμε διαφορά τετραγώνων.
(x-6)(x+6)=0 Παραγοντοποιούμε.
x-6=0\,\gr\,x+6=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=6\,\gr\,x=-6 Λύση της εξίσωσης

Η προηγούμενη εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί και με την μέθοδο της τετραγωνικής ρίζας, όπως εφαρμόστηκε στο Παράδειγμα 1.

Παράδειγμα 3) Να λυθεί η εξίσωση x^2=6x

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
x^2-6x=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
x(x-6)=0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x.
x=0\,\gr\,x-6=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=0\,\gr\,x=6 Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 4) Να λυθεί η εξίσωση 3x^2=27

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
3x^2-27=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
3(x^2-9)=0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 3 και στην παρένθεση
δημιουργείται διαφορά τετραγώνων.
3(x-3)(x+3)=0 Παραγοντοποιούμε.
x-3=0\,\gr\,x+3=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=3\,\gr\,x=-3 Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 5) Να λυθεί η εξίσωση 2x^2=5x

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
2x^2-5x=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
x(2x-5)=0 Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x.
x=0\,\gr\,2x-5=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=0\,\gr\,x=\dfrac{5}{2} Λύση της εξίσωσης

Παράδειγμα 6) Να λυθεί η εξίσωση 4x^2=9

Διαδικασία επίλυσης Αιτιολόγηση
4x^2-9=0 Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος, ώστε στο 2ο μέλος να έχουμε 0
(2x)^2-3^2=0 Σχηματίζουμε διαφορά τετραγώνων.
(2x+3)(2x-3)=0 Παραγοντοποιούμε.
2x-3=0\,\gr\,2x+3=0 \color{blue}{A\grn\;A\cdot B=0\,\tote\,A=0\,\gr\,B=0}
x=\dfrac{3}{2}\,\gr\,x=-\dfrac{3}{2} Λύση της εξίσωσης
Share This