Μέθοδος επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού με συμπλήρωση τετραγώνου

Εισαγωγή – Θεμέλια

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εξίσωση της μορφής

$(x-1)^2=4$

Μπορούμε να την λύσουμε εύκολα ως εξής:

$(x-1)^2=4\ann x-1=\pm\sqrt{4}\ann x-1=2\,\gr\,x-1=-2\ann x=3\,\gr\,x=-1.$

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα:

$(x+3)^2=7$

Mε τον ίδιο τρόπο θα έχουμε:

$(x+3)^2=7\ann x+3=\pm\sqrt{7}\ann x+3=\sqrt{7}\,\gr\,x+3=-\sqrt{7}\ann x=-3+\sqrt{7}\,\gr\,x=-3-\sqrt{7}$

Η αλήθεια είναι ότι δεν μας τυχαίνουν πάντα τέτοιες “στρωμένες” μορφές. Εδώ θα αναπτύξουμε την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου, η οποία θα μας βοηθήσει να επιλύουμε εξισώσεις δευτέρου βαθμού, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του τετραγώνου αθροίσματος.

Συμπλήρωση τετραγώνου

Ο στόχος της μεθόδου συμπλήρωσης τετραγώνου είναι να μετατρέψουμε μια δευτεροβάθμια έκφραση σε αντίστοιχη, η οποία να περιέχει ένα τέλειο τετράγωνο. Ας θυμηθούμε τις ταυτότητες

$(x+\gra)^2=x^2+2\gra x+\gra^2\,\kai\,(x-\gra)^2=x^2-2\gra x+\gra^2$

1) Να συμπληρωθεί σε τετράγωνο η δευτεροβάθμια έκφραση

$x^2+6x$

ΛΥΣΗ

Για να συμπληρωθεί η έκφραση, ώστε να προκύψει τέλειο τετράγωνο πρέπει αρχικά να διαμορφώσουμε κατάλληλα τους δεδομένους όρους. Έχουμε λοιπόν:

$x^2+2\cdot 3\cdot x$

Είναι φανερό ότι μας λείπει ο σταθερός όρος που θα συμπληρώσει την ταυτότητα. Από το διπλάσιο γινόμενο διαπιστώνουμε ότι ο δεύτερος όρος του αθροίσματος είναι ο $3$ , οπότε

$x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2=(x+3)^2,$

δηλαδή συμπληρώθηκε το τετράγωνο. Προσοχή στο σημείο αυτό. Η τελική μορφή

$(x+3)^2\neq x^2+6x$

διότι προσθέτωντας στην αρχική το $9$ αλλάξαμε την τιμή της. παρακάτω θα δούμε πως θα ξεπεράσουμε το πρόβλημα, δημιουργώντας ισότητα.

2) Να συμπληρωθεί σε τετράγωνο η δευτεροβάθμια έκφραση

$x^2+4x$

ΛΥΣΗ

Είναι κατάλληλη στιγμή να δώσουμε μια άλλη διάσταση στο πρόβλημα της συμπλήρωσης τετραγώνου. Σκεφτείτε ότι ο όρος τετράγωνο, θυμίζει Γεωμετρία. Ας δούμε με γεωμετρικό τρόπο, τι σημαίνει συμπλήρωση τετραγώνου. Παρατηρείστε τα επόμενα σχήματα. Έχουμε ένα τετράγωνο με πλευρά $\bf x$ και δύο ορθογώνια με πλευρές $\bf{2\,\kai\,x}$ αντίστοιχα. Με γεωμετρικό τρόπο έχουμε κατασκευάσει το

$\bf{x^2+4\cdot x=x^2+2\cdot 2\cdot x}$

Στο παραπάνω σχήμα λείπει ένα κομμάτι για να γίνει τετράγωνο. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το κομμάτι αυτό είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 2. Το επόμενο σχήμα, μας συμπληρώνει το τετράγωνο.

Επομένως

$\bf{x^2+2\cdot 2\cdot x+2^2=(x+2)^2}$

Και στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι

$x^2+4x\neq (x+2)^2,$

διότι με την πρόσθεση του όρου $2^2$ η τιμή της δευτεροβάθμιας έκφρασης μεταβλήθηκε. ( $(x+2)^2=x^2+4x+4\neq x^2+4x$ ).

Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με δευτεροβάθμιες εκφράσεις στις οποίες ο συντελεστής του $x^2$ είναι το 1. Ας δούμε και μια περίπτωση με άλλον συντελεστή του $x^2$ . Έστω η παράσταση

$4x^2+32x$

Σε αυτή την περίπτωση εργαζόμαστε ως εξής:

Διαδικασία συμπλήρωσης	Αιτιολόγηση
$4(x^2+8x)$	Βγάζουμε κοινό παράγοντα τον συντελεστή του x.
$4(x^2+2\cdot 4\cdot x)$	Εμφανίζουμε το διπλάσιο γινόμενο.
$4(x^2+2\cdot 4\cdot x+4^2)$	Προσθέτουμε το $\color{blue}4^2$
$4(x+4)^2$	Καταλήξαμε σε ένα τέλειο τετράγωνο.

Ας εφαρμόσουμε την μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου στην επίλυση μια εξίσωσης 2ου βαθμού.

Όταν έχουμε να λύσουμε μια εξίσωση, με την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου, ας έχουμε κατά νου, ότι όποιες αλλαγές πραγματοποιούμε στο ένα μέλος πρέπει να γίνονται και στο άλλο μέλος, ώστε να μην καταστρέφεται η ισότητα. πρέπει, όπως λέμε, να προκύπτει ισοδύναμη εξίσωσηΔύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες, όταν έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων.

Θεωρούμε την εξίσωση

$x^2+6x+5=0$

Για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο ακολουθούμε τα επόμενα βήματα:

Διαδικασία συμπλήρωσης	Αιτιολόγηση
$x^2+6x+5=0$
$x^2+6x=-5$	Μεταφέρουμε τον σταθερό όρο στο 2ο μέλος.
$x^2+2\cdot 3\cdot x=-5$	Εμφανίζουμε το διπλάσιο γινόμενο.
$x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2=-5+9$	Προσθέτουμε το $\color{blue}3^2=9$ και στα δύο μέλη
$(x+3)^2=4$	Έτσι δημιουργείται τέλειο τετράγωνο στο 1ο μέλος.
$x+3=2\;\gr\;x+3=-2$	Αποτετραγωνίζω και τα δύο μέλη.
$x=-1\;\gr\;x=-5$	Λύση της εξίσωσης.

Ας εργαστούμε παρόμοια με την εξίσωση

$x^2-3x+2=0$

Διαδικασία συμπλήρωσης	Αιτιολόγηση
$x^2-3x+2=0$
$x^2-3x=-2$	Μεταφέρουμε τον σταθερό όρο στο 2ο μέλος.
$x^2-2\cdot \dfrac{3}{2}\cdot x=-5$	Εμφανίζουμε το διπλάσιο γινόμενο. Εδώ δεν εμφανίζεται άρτιος συντελεστής του x, ώστε να το μετατρέψουμε σε μορφή $\color{blue}2\cdot...$ , οπότε πολλαπλασιάζουμε και συγχρόνως διαιρούμε το 3 με το 2, δηλαδή $\color{blue}2\cdot\dfrac{3}{2}$
$x^2-2\cdot \dfrac{3}{2}\cdot x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=-2+\dfrac{9}{4}$	Προσθέτουμε το $\color{blue}(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$ και στα δύο μέλη
$\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=-\dfrac{8}{4}+\dfrac{9}{4}$	Έτσι δημιουργείται τέλειο τετράγωνο στο 1ο μέλος.
$\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$
$x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\;\gr\;x-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$	Αποτετραγωνίζουμε και τα δύο μέλη.
$x=2\;\gr\;x=1$	Λύση της εξίσωσης

…και μια άλλη εξίσωση

$x^2-x-2=0$

Διαδικασία συμπλήρωσης	Αιτιολόγηση
$x^2-x-2=0$
$x^2-x=2$	Μεταφέρουμε τον σταθερό όρο στο 2ο μέλος.
$x^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x=2$	Εμφανίζουμε το διπλάσιο γινόμενο. Εδώ δεν εμφανίζεται άρτιος συντελεστής του x, ώστε να το μετατρέψουμε σε μορφή $\color{blue}2\cdot...$ , οπότε πολλαπλασιάζουμε και συγχρόνως διαιρούμε το 1 με το 2, δηλαδή $\color{blue}2\cdot\dfrac{1}{2}$
$x^2-\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=2+\dfrac{1}{4}$	Προσθέτουμε το $\color{blue}(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$ και στα δύο μέλη
$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{8}{4}+\dfrac{1}{4}$	Έτσι δημιουργείται τέλειο τετράγωνο στο 1ο μέλος.
$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$
$x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\;\gr\;x-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$	Αποτετραγωνίζουμε και τα δύο μέλη.
$x=2\;\gr\;x=-1$	Λύση της εξίσωσης