Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

Ρητή αλγεβρική παράσταση, ονομάζεται μια παράσταση που είναι κλάσμα, του οποίου οι όροι είναι πολυώνυμα.

Για παράδειγμα οι παραστάσεις $\dfrac{2}{x},\;\dfrac{x^2+1}{x-1}\,\,\kai\,\dfrac{x^3-x+2}{x^2-3x+2}$ είναι ρητές αλγεβρικές παραστάσεις.

Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι για να ισορροπεί το σύστημα στην εικόνα μας, πρέπει να ισχύει $F_l\cdot \gra=F_e\cdot\grb$ . Αν θεωρήσουμε ως $\ell$ το μήκος του μοχλού, τότε $\grb=\ell-\gra$ . Για να βρούμε την ελάχιστη δύναμη $F_e$ που θα χρειαστεί για να σηκώσουμε το βάρος $F_l$ , θα εφαρμόσουμε τον τύπο:

$F_e=\dfrac{F_l\cdot\gra}{\grb}=\dfrac{F_l\cdot\gra}{\ell-\gra}$

Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα του μοχλού, με στοιχεία: $\ell=3m$ , $F_l=4000N$ και $\gra=x$ τότε ο παραπάνω τύπος θα δώσει:

$F_e=\dfrac{4000\cdot x}{3-x}$

Η τελευταία παράσταση είναι μια ρητή αλγεβρική παράσταση, που για τις διάφορες τιμές του $x$ μας δίνει την δύναμη $F_e$ που πρέπει να ασκήσουμε για να ισορροπίσει το σύστημα. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το $x$ ; Καταρχάς δεν μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με το 3. Πρέπει, δηλαδή να είναι $0<x<3$ . Εδώ παρατηρούμε ότι για να βρούμε την αριθμητική τιμή της ρητής αλγεβρικής παράστασης $F_e=\dfrac{4000\cdot x}{3-x}$ , δεν μπορούμε να δώσουμε στο $x$ ό,τι τιμή θέλουμε. Λόγω της φύσης του προβλήματος δεν μπορούμε να δώσουμε αρνητικές τιμές, ούτε τιμές μεγαλύτερες του μήκους του μοχλού, που είναι $\ell=3$ . Εντάξει αυτά! Όμως γιατί δεν μπορούμε να δώσουμε την τιμή $x=3$ . Όπως είναι φανερό, η τιμή αυτή μηδενίζει τον παρονομαστή. Ένα κλάσμα με παρονομαστή $0$ δεν έχει νόημα. Γνωρίζουμε ότι όλα τα κλάσματα $\dfrac{\gra}{\grb}$ ορίζονται για $\grb\neq 0$ .

Οι πιο πολλοί περιορισμοί, που μπαίνουν σε μια μεταβλητή, εξαρτώνται από τη φύση του προβλήματος που εκφράζει η αλγεβρική παράσταση. Όμως σε κάθε ρητή αλγεβρική παράσταση $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ ο περιορισμός $Q(x)\neq 0$ είναι υποχρεωτικός.

Απλοποίηση ρητών παραστάσεων

Κλάσμα μονωνύμων

Ήδη έχουμε αναφερθεί στην απλοπίηση αυτή στο μάθημα Διαίρεση πολυωνύμων. Ας δούμε μερικά παραδείγματα και μετά μια γενική μέθοδο απλοποίησης μονωνύμων.

$\dfrac{18}{30}=\dfrac{3\cdot{\color{red}\cancel{ 6}}}{5\cdot{\color{red}\cancel{ 6}}}=\dfrac{3}{5}$

Αναλύουμε τους όρους του κλάσματος σε γινόμενο παραγόντων και απλοποιούμε τον παράγοντα Που είναι ίδιος σε αριθμητή -παρονομαστή.

$\dfrac{2x^4y^2z}{4x^6yz^2}=\dfrac{{\color{red}\cancel{2x^4yz}}\cdot(y)}{{\color{red}\cancel{2x^4yz}}\cdot(2x^2z)}=\dfrac{y}{2x^2z}$

Από τα μονώνυμα αριθμητή και παρονομαστή ξεχωρίζουμε τις κοινές μεταβλητές με το μικρότερο εκθέτη. Μετά απλοποιούμε.

Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα μονωνύμων διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με το Μ.Κ.Δ των μονωνύμων. Θυμήσου ότι κάθε αλγεβρική παράσταση διαιρείται μόνο από τους παράγοντες της και μόνο αυτούς. Στην τελευταία απλοποίηση τα μονώνυμα $\bf {2x^4y^2z\,\kai\,4x^6yz^2}$ έχουν Μ.Κ.Δ το $\bf 2x^4yz$ . Ξεχωρίζουμε , λοιπόν το Μ.Κ.Δ σε αριθμητή και παρονομαστή και τον απλοποιούμε.

$\dfrac{15x^3y^2}{20xy^4}=\dfrac{{\color{red}\cancel{5xy^2}}\cdot(3x^2)}{{\color{red}\cancel{5xy^2}}\cdot(4y^2)}=\dfrac{3x^2}{4y^2}$

Ο Μ.Κ.Δ. των μονωνύμων $\color{blue} 15x^3y^2$ και $\color{blue} 20xy^4$ είναι ο $\color{blue} 5xy^2$ . Διαιρούμε λοιπόν με το Μ.Κ.Δ. και το κλάσμα ανάγεται στην απλούστερη μορφή του. Στην πράξη, ξεχωρίζουμε το Μ.Κ.Δ. στα μονώνυμα και τον απλοποιούμε.

Για ποιες τιμές της μεταβλητής ορίζεται μια ρητή αλγεβρική παράσταση

Μια ρητή αλγεβρική παράσταση ορίζεται για όσες τιμές της μεταβλητής ΔΕΝ μηδενίζουν τον παρονομαστή της. Η παράσταση,π.χ. $\bf \dfrac{4x+3}{x-1}$ ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς $x$ , τέτοιους, ώστε $\bf x-1\neq 0\,\gr\,x\neq 1$ . Η παράσταση $\dfrac{3x^2+1}{x^2-1}$ ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς $x$ , τέτοιους, ώστε $\bf x^2-1\neq 0\,\gr\,(x-1)(x+1)\neq 0\,\gr\,x\neq 1\,\kai\,x\neq -1$ .

Tώρα προσπάθησε να απαντήσεις στα επόμενα ερωτήματα: Για ποιες τιμές του $x$ ορίζεται το κλάσμα $\bf\dfrac{5x+3}{x^2-4}$ ;

Απάντηση

Πρέπει $x^2-4\neq0\,\gr\,(x-2)(x+2)\neq 0\,\gr\,x\neq 2\,\kai\,x\neq -2$

Για ποιες τιμές του πραγματικού $x$ ορίζεται το κλάσμα $\bf\dfrac{9+x^2}{x^2+2x-15}$ ;

Απάντηση

Πρέπει $x^2+2x-15\neq 0\,\gr\,(x+5)(x-3)\neq 0\,\gr\,x\neq -5\,\kai\,x\neq 3$

Για ποιες τιμές του πραγματικού $x$ ορίζεται το κλάσμα $\bf{\dfrac{\gra+\grb+3}{15+3\gra^2-5\grb-\gra^2\grb}}$ ;

Απάντηση

Πρέπει $15+3\gra^2-5\grb-\gra^2\grb\neq 0\,\gr\,3(5+\gra^2)-\grb(5+\gra^2)\neq 0\,\gr\,(5+\gra^2)(3-\grb)\neq 0\,\gr\,5+\gra^2\neq 0\,\kai\,3-\grb\neq 0$ . Άρα $\gra\in\RR$ (Ο όρος $\gra^2+5\neq 0$ για κάθε πραγματικό $\gra$ ) και $\grb\neq 3$

Κάνε μια εξάασκηση στις επόμενες περιπτώσεις.

Ομάδα Α Για ποιές τιμές του πραγματικού $x$ ορίζονται οι παρακάτω ρητές αλγεβρικές παραστάσεις:

1) $\dfrac{2x^2+x+1}{2x+5}$

2) $\dfrac{4x^2+28}{x^2+x-6}$

3) $\dfrac{x+y+1}{2y+6-xy-3x}$

4) $\dfrac{\gra x+\gra y}{x-y}$

Απλοποίηση ρητών αλγεβρικών παραστάσεων

Tώρα θα ασχοληθούμε με ρητές παραστάσεις της μορφής $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ με $Q(x)\neq 0$ . Η απλοποίηση των ρητών αλγεβρικών παραστάσεων, είναι άμεσα συνδεδεμένη με την παραγοντοποίηση των πολυωνύμων.

Απλοποιούμε παράγοντες και όχι όρους

Παραδείγματα

Να απλοποιηθούν τα α) $\dfrac{5\gra+15}{10}$ , β) $\dfrac{6x+12}{8x+16}$ , γ) $\dfrac{6x^2+4x}{2x^2+2x}$ , δ) $\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-1}$

Λύση

α)

$\begin{align*} \dfrac{5\gra+15}{10}&=\dfrac{5(\gra+3)}{5\cdot 2}\\ &=\dfrac{\color{red}\cancel{5}}{\color{red}\cancel{5}}\cdot\dfrac{\gra+3}{2}\\ &=\dfrac{\gra+3}{2} \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος. Απομονώνουμε σε ένα κλάσμα τους ίσους παράγοντες. Απλοποιούμε ( $\frac{5}{5}=1$ )

β)

$\begin{align*} \dfrac{6x+12}{8x+16}&=\dfrac{3\cdot2(x+2)}{4\cdot 2\cdot(x+2)}\\ &=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{\color{red}\cancel{2(x+2)}}{\color{red}\cancel{2(x+2)}}\\ &=\dfrac{3}{4},\;\;x\neq -2 \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος. Απομονώνουμε σε ένα κλάσμα τους ίσους παράγοντες. Απλοποιούμε ( $\frac{2(x+2)}{2(x+2)}=1$ με $x+2\neq 0$ )

γ)

$\begin{align*} \dfrac{6x^2+4x}{2x^2+2x}&=\dfrac{2x\cdot(3x+2)}{2x\cdot (x+1)}\\ &=\dfrac{\color{red}\cancel{2x}}{\color{red}\cancel{2x}}\cdot\dfrac{3x+2}{x+1}\\ &=\dfrac{3x+2}{x+1},\;\;x\neq 0,\,-1 \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος. Απομονώνουμε σε ένα κλάσμα τους ίσους παράγοντες. Απλοποιούμε ( $\frac{2x}{2x}=1$ με $x\neq 0$ )

δ)

$\begin{align*} \dfrac{x^2-3x+2}{x^2-1}&=\dfrac{(x-1)\cdot(x-2)}{(x-1)\cdot (x+1)}\\ &=\dfrac{\color{red}\cancel{x-1}}{\color{red}\cancel{x-1}}\cdot\dfrac{x-2}{x+1}\\ &=\dfrac{x-2}{x+1},\;\;x\neq -1,\,1 \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος. Απομονώνουμε σε ένα κλάσμα τους ίσους παράγοντες. Απλοποιούμε ( $\frac{x-1}{x-1}=1$ με $x\neq 1$ )

Γενικά σε κάθε περίπτωση ρητής αλγεβρικής παράστασης, θεωρούμε ότι ο παρονομαστής είναι διάφορος του μηδενός.

Μερικές ασκήσεις για εξάσκηση

Ομάδα Β Να απλοποιήσετε τις ρητές παραστάσεις:

1) $\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}$

Λύση

Είναι: $\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}=\dfrac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}(x+2)}=\dfrac{x-3}{x+2},\;x\neq -3,\,-2$

2) $\dfrac{6x+12}{x^2-x-6}$

Λύση

Είναι: $\dfrac{6x+12}{x^2-x-6}=\dfrac{6\cancel{(x+2)}}{(x-3)\cancel{(x+2)}}=\dfrac{6}{x-3},\;x\neq -2,\,3$

3) $\dfrac{x^2-4}{(x+2)^2}$

Λύση

$\dfrac{x^2-4}{(x+2)^2}=\dfrac{(x-2)\cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel 2}}=\dfrac{x-2}{x+2},\;x\neq -2$

4) $\dfrac{x-3}{3-x}$

Λύση

Είναι: $\dfrac{x-3}{3-x}=\dfrac{\cancel{x-3}}{-\cancel{(x-3)}}=-1,\;x\neq 3$

5) $\dfrac{x^2-16}{16-x^2}$

Λύση

$\dfrac{x^2-16}{16-x^2}=\dfrac{\cancel{x^2-16}}{-\cancel{(x^2-16)}}=-1,\;x\neq 4,\,-4$

6) $\dfrac{y^2-3y-18}{y^2-2y-15}$

Λύση

Είναι: $\dfrac{y^2-3y-18}{y^2-2y-15}=\dfrac{(y-6)\cancel{(y+3)}}{(y-5)\cancel{(y+3)}}=\dfrac{y-6}{y-5},\;y\neq -3,\,5$

7) $\dfrac{(\gra-3)^2}{\gra^2-9}$

Λύση

Είναι: $\dfrac{(\gra-3)^2}{\gra^2-9}=\dfrac{(\gra-3)^{\cancel 2}}{(\gra+3)\cancel{(\gra-3)}}=\dfrac{\gra-3}{\gra+3},\;\gra\neq 3,\,-3$

8) $\dfrac{x^3-x}{x^2-x}$

Λύση

Είναι: $\dfrac{x^3-x}{x^2-x}=\dfrac{x(x^2-1)}{x(x-1)}=\dfrac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x-1)}}{\cancel{x}\cancel{(x-1)}}=x+1,\;x\neq 0,1$

9) $\dfrac{x^4-16y^4}{ (x^2+4y^2)(x-2y)}$

Λύση

Είναι:

$\begin{align*} &\dfrac{x^4-16y^4}{(x^2+4y^2)(x-2y)}\\ &=\dfrac{(x^2)^2-(4y^2)^2}{(x^2+4y^2)(x-2y)}\\ &=\dfrac{\cancel{(x^2+4y^2)}(x^2-4y^2)}{\cancel{(x^2+4y^2)}(x-2y)}\\ &=\dfrac{\cancel{(x-2y)}(x+2y)}{\cancel{x-2y}}=x+2y,\;x\neq 2y,\,-2y \end{align*}$

10) $\dfrac{(x-1)(x^4-1)(x^2-1)}{(x^2+1)(x-1)^2(x^4-2x^2+1)}$

Λύση

Είναι:

$\begin{align*} &\dfrac{(x-1)(x^4-1)(x^2-1)}{(x^2+1)(x-1)^2(x^4-2x^2+1)}\\ &=\dfrac{(x-1)(x^2-1)(x^2+1_(x^2-1)}{(x^2+1)(x-1)^2(x^2-1)^2}\\ &=\dfrac{(x-1)(x^2-1)(x^2+1)(x^2-1)}{(x^2+1)(x-1)^2(x^2-1)^2}\\ &=\dfrac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x^2+1)}\cancel{(x^2-1)^2}}{(x-1)^{\cancel 2}\cancel{(x^2+1)}\cancel{(x^2-1)^2)}}\\ &=\dfrac{1}{x-1},\;x\neq 1,\,-1 \end{align*}$

Για να μη ξεχνιόμαστε

Στις παρακάτω ασκήσεις υπάρχουν λάθη, τα οποία γίνονται συχνά από τους μαθητές. Ποιο είναι το λάθος σε κάθε μια περίπτωση; (Δίνουμε κάποια βοήθεια στις δύο πρώτες)

1) $\dfrac{3(x+y)}{z+2(x+y)}=\dfrac{3}{z+2}$

Ο παρονομαστής δεν είναι γινόμενο, έτσι απλοποιούμε τον παράγοντα του αριθμητή $(x+y)$ με τον όρο $(x+y)$ του παρονομαστή. Θυμίσου την διαφορά “όρου” και “παράγοντα”, αλλιώς συμβουλεύσου εδώ.

2) $\dfrac{2x+y}{x+y}=2$

Οι όροι του κλάσματος δεν έχουν παραγοντοποιηθεί και δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε όρους αθροίσματος.

3) $\dfrac{\gra+\grb+\grg}{\gra+\grb}=\grg$

4) $\dfrac{2+{\cancel{x}}}{{\cancel{x}}+1}=\dfrac{2}{1}$

5) $\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3}{2}$

ΠΡΟΣΟΧΗ! όλες οι περιπτώσεις που αναφέραμε στο “Να μη ξεχνιόμαστε” είναι ΛΑΘΗ που γίνονται. Ζητείται να εξηγήσετε, που βρίσκεται το λάθος. Οι δύο πρώτες εξηγήσεις θα σας βοηθήσουν.

Για περισσότερες ασκήσεις πήγαινε εδώ

Ας προχωρήσουμε τώρα στο πρώτο τεστ του μαθήματος.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα