Πολλαπλασιασμός και διαίρεση ρητών παραστάσεων

Για λόγους απλοποίησης της διαδικασίας, δεν θα αναφέρουμε τους περιορισμούς για τους παρονομαστές. Εννοείται όμως ότι για όλα τα ρητά κλάσματα ισχύει ότι οι παρονομαστές τους είναι διάφοροι του μηδενός.

Πολλαπλασιασμός ρητών παραστάσεων

Πως πολλαπλασιάζουμε έναν ακέραιο επί ένα κλάσμα; Θυμάμαι:

$\gra\cdot\dfrac{\grb}{\grg}=\dfrac{\gra\cdot\grb}{\grg}$

Πως πολλαπλασιάζουμε κλάσμα επί κλάσμα; Θυμάμαι:

$\dfrac{\gra}{\grb}\cdot\dfrac{\grg}{\grd}=\dfrac{\gra\cdot\grb}{\grg\cdot\grd}$

Με τον ίδιο τρόπο κάνουμε και τον πολλαπλασιασμό ανάμεσα σε αλγεβρικές παραστάσεις. Εδώ το μονώνυμο «παίρνει τη θέση» του ακεραίου και η ρητή παράσταση «παίρνει τη θέση του κλάσματος».

$x^2y\cdot\dfrac{x^3y}{2x^2y}=\dfrac{(x^2y)(x^3y)}{2x^2y}=\dfrac{x^5y^2}{2x^2y}=\dfrac{\overset{{\color{red}x^3}}{\cancel{x^5}}\cdot\overset{{\color{red}y}}{\cancel{y^2}}}{2\cancel{x^2}\cancel{y}}=\dfrac{x^3y}{2}$

με ίδιο τρόπο έχουμε:

$x^3yz^2\cdot\dfrac{xz}{y^3z}=\dfrac{(x^3yz^2)(xz)}{y^3z}=\dfrac{x^4yz^3}{y^3z}=\dfrac{x^4\cancel{y}\overset{{\color{red}z^2}}{\cancel{z^3}}}{\underset{{\color{red}y^2}}{\cancel{y^3}}\cancel{z}}=\dfrac{x^4z^2}{y^2}$

Αυτό που πρέπει να έχουμε κατά νου είναι οι απλοποιήσεις στo τελικό αποτέλεσμα! Ας δουμε τώρα πως εργαζόμαστε αντίστοιχα σε γινόμενο ρητών κλασμάτων.

$\dfrac{3x}{4y}\cdot\dfrac{9y^2}{12x^3}=\dfrac{27xy^2}{48x^3y}= \dfrac{\overset{{\color{red}{9}}}{\cancel{27}}\cancel{x}\overset{{\color{red}{y}}}{\cancel{y^2}}}{\underset{{\color{red}{16}}}{\cancel{48}}\underset{{\color{red}{x^2}}}{\cancel{x^3}}\cancel{y}}=\dfrac{9y}{16x^2}$

Όταν έχουμε γινόμενο ρητών παραστάσεων μπορούμε να απλοποιήσουμε έναν παράγοντα από τον αριθμητή της μιας παράστασης με παράγοντα από τον παρονομαστή της άλλης παράστασης. Δες το παράδειγμα, πρώτα με κλάσματα ακεραίων και μετά με ρητά κλάσματα.

$\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{10}{12}=\dfrac{\cancel{4}}{\cancel{5}}\cdot\dfrac{\overset{{\color{red}{2}}}{\cancel{10}}}{\underset{{\color{red}{3}}}{\cancel{12}}}=\dfrac{2}{3}$

Αντίστοιχα με ρητά κλάσματα

$\dfrac{3x}{4y}\cdot\dfrac{9y^2}{12x^3}=\dfrac{\cancel{3x}}{x\cancel{y}}\cdot\dfrac{9\overset{{\color{red}{y}}}{\cancel{y^2}}}{\underset{{\color{red}{4}}}{\cancel{12}}\underset{{\color{red}{x^2}}}{\cancel{x^3}}}=\dfrac{9y}{16x^2}$

Γενικά για να πολλαπλασιάσουμε ρητά κλάσματα, πρώτα παραγοντοποιούμε αριθμητές και παρονομαστές, έτσι ώστε να μπορούμε να διακρίνουμε τους κοινούς παράγοντες. Έπειτα απλοποιούμε το κλάσμα. Για παράδειγμα:

$\begin{align*} \dfrac{\gra\grb^2-\grb^2}{\gra^3+\gra^2\grb}\cdot\dfrac{\gra^2-\gra\grb-2\grb^2}{\gra^2-2\gra\grb+\grb^2}&= \dfrac{\grb^2\cancel{(\gra-\grb)}}{\gra^2\cancel{(\gra+\grb)}}\cdot\dfrac{(\gra-2\grb)\cancel{(\gra+\grb)}}{\cancel{(\gra-\grb)}(\gra-\grb)}\\ &=\dfrac{\grb^2(\gra-2\grb)}{\gra^2(\gra-\grb)} \end{align*}$

Λυμένα παραδείγματα

$\begin{align*} \dfrac{x}{x^2-3x}\cdot\dfrac{6x-18}{9x}&=\dfrac{x}{x(x-3)}\cdot\dfrac{6(x-3)}{9x}\\ &=\dfrac{\cancel{x}\overset{2}{\cancel{6}}\cancel{(x-3)}}{\cancel{x}\cancel{(x-3)}\underset{3}{\cancel{9}}x}\\ &=\dfrac{2}{3x} \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων (όσοι παραγοντοποιούνται βέβαια) Απλοποιούμε τους κοινούς παράγοντες.

$\begin{align*} \dfrac{x+2}{x-1}\cdot\dfrac{x-1}{2x+6}\cdot\dfrac{x+3}{x+2}&=\dfrac{x+2}{x-1}\cdot\dfrac{x-1}{2(x+3)}\cdot\dfrac{x+3}{x+2}\\ &=\dfrac{\cancel{x+2}}{\cancel{x-1}}\cdot\dfrac{\cancel{x-1}}{2\cancel{x+3}}\cdot\dfrac{\cancel{x+3}}{\cancel{x+2}}\\ &=\dfrac{1}{2} \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων (όσοι παραγοντοποιούνται βέβαια)

Απλοποιούμε τους κοινούς παράγοντες.

$\begin{align*} \dfrac{x+3}{x^2-16}\cdot\dfrac{x^2+5x+4}{x+3}&=\dfrac{x+3}{(x-4)(x+4)}\cdot\dfrac{(x+1)(x+4)}{x+3}\\ &=\dfrac{\cancel{x+3}}{(x-4)\cancel{(x+4)}}\cdot\dfrac{(x+1)\cancel{(x+4)}}{\cancel{x+3}}\\ &=\dfrac{x+1}{x-4} \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων. Απλοποιούμε τους κοινούς παράγοντες.

$\begin{align*} \dfrac{2x+3y}{x-y}\cdot\dfrac{y^2-x^2}{9y^2-4x^2}&=\dfrac{2x+3y}{x-y}\cdot\dfrac{-(x^2-y^2)}{-\left[(2x)^2-(3y)^2\right]}\\ &=\dfrac{\cancel{2x+3y}}{\cancel{(x-y)}}\cdot\dfrac{(x+y)\cancel{(x-y)}}{\cancel{(2x+3y)}(2x-3y)}\\ &=\dfrac{x+y}{2x-3y} \end{align*}$

Μια διαφορά της μορφής $\color{blue}y-x=-(x-y)$ . με τον τρόπο αυτόν φέρνουμε σε αντίστοιχη μορφή τις δύο διαφορές τετραγώνων Απλοποιούμε τους κοινούς παράγοντες.

$\begin{align*} &\dfrac{x^2+4}{x^-6x+9}\cdot\dfrac{x^2+4x+4}{x^4-16}\cdot\dfrac{x^2+2x-8}{x^2+6x+8}\\ &=\dfrac{x^2+4}{(x-3)^2}\cdot\dfrac{(x+2)^2}{(x^2+4)(x^2-4)}\cdot\dfrac{(x-2)(x+4)}{(x+4)(x+2)}\\ &=\dfrac{\cancel{x^2+4}}{(x-3)^2}\cdot\dfrac{\cancel{(x+2)^2}}{\cancel{(x^2+4)}\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}}\cdot\dfrac{\cancel{(x-2)}\cancel{\cancel{(x+4)}}}{\cancel{(x+4)}\cancel{(x+2)}}\\ &=\dfrac{1}{(x-3)^2} \end{align*}$

Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων. Για βοήθεια στη παραγοντοποίηση δες εδώ και εδώ

Απλοποιούμε τους κοινούς παράγοντες.

Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Θυμάμαι: Όταν ο διαιρέτης είναι κλάσμα μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλσιασμό με τον αντίστροφο του διαιρέτη, δηλαδή:

$\dfrac{\gra}{\grb}:\dfrac{\grg}{\grd}=\dfrac{\gra}{\grb}\cdot \dfrac{\grd}{\grg}$

Το ίδιο συμβαίνει και με τις ρητές παραστάσεις. Για παράδειγμα:

$\bf{\dfrac{2x^2}{y^3}:\dfrac{6x}{2y^2}=\dfrac{2x^2}{y^3}\cdot\dfrac{2y^2}{6x}=\dfrac{\cancel{2}\overset{x}{\cancel{x^2}}}{\underset{y}{\cancel{y^3}}}\cdot\dfrac{2\cancel{y^2}}{\underset{3}{6}\cancel{x}}=\dfrac{2x}{3y}}$

Λυμένα παραδείγματα

1) $(x+1):\dfrac{x+1}{x+3}=\dfrac{x+1}{1}:\dfrac{x+1}{x+3}= \dfrac{x+1}{1}\cdot \dfrac{x+3}{x+1}=\dfrac{\cancel{(x+1)}(x+3)}{\cancel{x+1}}=x+3$

$\begin{align*} \dfrac{2x-1}{x+1}:\dfrac{1-2x}{1+x}&=\dfrac{2x-1}{x+1}\cdot \dfrac{1+x}{1-2x}\\ &=\dfrac{2x-1}{x+1}\cdot \dfrac{1+x}{-(2x-1)}\\ &=\dfrac{\cancel{(2x-1)}\cancel{(x+1)}}{-\cancel{(2x-1)}\cancel{(x+1)}}=-1 \end{align*}$

$\begin{align*} \left(\dfrac{x-3}{x+1}\cdot\dfrac{5x+5}{x+3}\right):\dfrac{6x-6}{x+3}&=\left(\dfrac{x-3}{5(x+1)}\cdot\dfrac{x+1}{x+3}\right)\cdot \dfrac{x+3}{6(x-1)}\\ &=\dfrac{(x-3)5\cancel{(x+1)}\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+1)}\cancel{(x+3)}6(x-1)}\\ &=\dfrac{5(x-3)}{6(x-1)} \end{align*}$

$\begin{align*} \dfrac{x^2+6xy+5y^2}{x^2+4xy+4y^2}:\dfrac{x+6}{x+2y}&=\dfrac{x^2+6xy+5y^2}{x^2+4xy+4y^2}:\dfrac{x+2y}{x+y}\\ &=\dfrac{(x+5y)\cancel{(x+y)}}{\underset{x+2y}{\cancel{(x+2y)^2}}}\cdot\dfrac{\cancel{x+2y}}{\cancel{{x+y}}}\\ &=\dfrac{x+5y}{x+2y} \end{align*}$

Ο όρος ${\color{blue}x^2+6xy+5y^2=x^2+6xy+9y^2-4y^2$ ${\color{blue}=(x+3y)^2-(2y)^2}$ κ.λ.π.

${\color{blue}{x^2+4xy+4y^2=x^2+4xy+(2y)^2}$ ${\color{blue}=(x+2y)^2}$

Ασκήσεις για εξάσκηση

1) $\dfrac{x^2-24-2x}{x^2-30-x}\cdot\dfrac{(x+5)^2}{x^2-16}$

2) $\dfrac{xy^2-y^2}{x^2+x^2y}\cdot\dfrac{x^2-xy-2y^2}{x^2-2xy+y^2}$

3) $\dfrac{x^2+7xy+10y^2}{x^2+6xy+5y^2}\cdot\dfrac{x+y}{x^2+4xy+4y^2}\cdot(x+2y)$

4) $\dfrac{9-x^2}{12+x-x^2}\cdot\dfrac{x-4}{x-3}$

5) $\dfrac{x^2+10x-11}{x^2-1}\cdot\dfrac{x+1}{x-11}$

6) $\dfrac{2x^2-98}{4x^2-4}\cdot\dfrac{8x+8}{16x-112}$

7) $(x^2-5x-6):\dfrac{x^2-1}{x+6}$

8) $(x-5):\dfrac{2x^2-11x+5}{4x^2-1}$

9) $\dfrac{x^2-x-20}{x^2+7x+12}:\dfrac{x^2-10x+25}{x^2+6x+9}$

10) $\dfrac{x^4-1}{x^4-81}\cdot\dfrac{x^2-9}{x^2+1}:\dfrac{(x+1)^2}{(x-9)^2}$

11) $\dfrac{2\gra^2-5\gra\grb}{2\gra+5\grb}:\left(4\gra^2-25\grb^2\right)$

Σύνθετα κλάσματα

Ένα πηλίκο $\gra:\grb$ μπορεί να γραφεί και με μορφή κλάσματος, δηλαδή $\gra:\grb=\dfrac{\gra}{\grb}$ . Επομένως όταν έχουμε μια διαίρεση κλασμάτων, μπορούμε να τη μετατρέψουμε σε κλάσμα, όπως παρακάτω:

$\dfrac{\gra}{\grb}:\dfrac{\grg}{\grd}=\dfrac{\cfrac{\gra}{\grb}}{\cfrac{\grg}{\grd}}$

Η διαίρεση όμως, όπως μάθαμε σε αυτό το μάθημα μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη, δηλαδή:

$\dfrac{\gra}{\grb}:\dfrac{\grg}{\grd}=\dfrac{\gra}{\grb}\cdot\dfrac{\grd}{\grg}=\dfrac{\gra\cdot\grd}{\grb\cdot\grg}$

Επομένως ισχύει ότι:

Rendered by QuickLaTeX.com

Mε άλλα λόγια το σύνθετο κλάσμα μετατρέπεται σε απλό, με αριθμητή το γινόμενο των άκρων και παρονομαστή το γινόμενο των μέσω όρων του.
Το ίδιο συμβαίνει και με τα σύνθετα κλάσματα ρητών παραστάσεων. Για παράδειγμα:

Rendered by QuickLaTeX.com

Όταν έχουμε να μετατρέψουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό, πρώτα θα το φέρνουμε στην μορφή

$\dfrac{\cfrac{\gra}{\grb}}{\cfrac{\grg}{\grd}}$

και μετά θα εργαζόμαστε με τους άκρους και μέσους. Αν δηλαδή στους όρους του σύνθετου κλάσματος υπάρχουν προσθέσεις ή αφαιρέσεις ρητών παραστάσεων, πρώτα θα εκτελούνται οι πράξεις αυτές και μετά θα τρέπουμε το σύνθετο σε απλό κλάσμα, όπως θα δούμε στο επόμενο μάθημα

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα