Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο – Μέγιστος κοινός διαιρέτης

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π)

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων παραστάσεων, που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Θα περιοριστούμε σε ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις με θετικούς ακέραιους συντελεστές

Πώς βρίσκουμε το Ε.Κ.Π.

Βήμα 1

Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των συντελεστών των όρων των παραγοντοποιημένων παραστάσεων.

Βήμα 2

Επιλέγουμε κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Nα βρείτε το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων: $\bf{\large{4x^2y,\;6xy,\;8xy^2}}$

Λύση

Είναι: $4x^2y=2^2\cdot{\color{red} x^2}\cdot y$
$6xy=2\cdot{\color{red}3}\cdot x\cdot y$
$8xy^2={\color{red}2^3}\cdot x\cdot{\color{red} y^2}$ , οπότε
Ε.Κ.Π $=2^3\cdot 3\cdot x^2\cdot y^2=24x^2y^2$

Παράδειγμα 2

Nα βρείτε το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων: $\bf{\large{x^2y-xy^2,\,\;3x-3y,\,\;x^2-2xy+y^2}}$

Λύση

Παραγοντοποιούμε τις παραστάσεις, κατά τα γνωστά:
$x^2y-xy^2={\color{red}xy}(x-y)$
$3x-3y={\color{red}3}(x-y)$
$x^2-2xy+y^2={\color{red}(x-y)^2}$ , οπότε:
Ε.Κ.Π $=3xy(x-y)^2$

Παράδειγμα 3

Nα βρείτε το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων: $\bf{\large{x^2+3x-4,\,\;x^2-2x+1,\,\;x^2+9x+20}}$

Λύση

Παραγοντοποιούμε τις παραστάσεις, κατά τα γνωστά:
$x^23x-4=(x-1){\color{red}(x+4)}$
$x^2-2x+1={\color{red}(x-1)^2}$
$x^2+9x+20=(x+4){\color{red}(x+5)}$ , οπότε:
Ε.Κ.Π $=(x-1)^2(x+4)(x+5)$

Παράδειγμα 4

Nα βρείτε το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων: $\bf{\large{x^3-x^2,\,\;(x^2-x)(x^2-1),\,\;x^3-2x^2+x}}$

Λύση

Παραγοντοποιούμε τις παραστάσεις, κατά τα γνωστά:
$x^3-x^2={\color{red}x^2}(x-1)$
$(x^2-x)(x^2-1)=x(x-1)(x-1)(x+1)=x{\color{red}(x-1)^2(x+1)}$
$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2$ , οπότε:
Ε.Κ.Π $=x^2(x-1)^2(x+1)$

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ)

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ) δύο ή περισσοτέρων παραστάσεων, που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του.

Θα περιοριστούμε σε ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις με θετικούς ακέραιους συντελεστές

Πώς βρίσκουμε το Μ.Κ.Δ

Βήμα 1

Βρίσκουμε το Μ.Κ.Δ των συντελεστών των όρων των παραγοντοποιημένων παραστάσεων.

Βήμα 2

Επιλέγουμε κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Nα βρείτε το Μ.Κ.Δ των παραστάσεων: $\bf{\large{4x^2y,\;6xy,\;8xy^2}}$

Λύση

Είναι: $4x^2y=2^2\cdot x^2\cdot y$
$6xy={\color{red}2}\cdot 3 {\color{red}\cdot x\cdot y}$
$8xy^2=2^3\cdot x\cdot y^2$ , οπότε
Μ.Κ.Δ $=2\cdot x\cdot y=2xy$

Παράδειγμα 2

Nα βρείτε το Μ.Κ.Δ των παραστάσεων: $\bf{\large{x^2y-xy^2,\,\;3x-3y,\,\;x^2-2xy+y^2}}$

Λύση

Παραγοντοποιούμε τις παραστάσεις, κατά τα γνωστά:
$x^2y-xy^2=xy{\color{red}(x-y)}$
$3x-3y=3(x-y)$
$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ , οπότε:
Ε.Κ.Π $=(x-y)$

Παράδειγμα 3

Nα βρείτε το Μ.Κ.Δ των παραστάσεων: $\bf{\large{x^2+3x-4,\,\;x^2-2x+1,\,\;x^2+9x+20}}$

Λύση

Παραγοντοποιούμε τις παραστάσεις, κατά τα γνωστά:
$x^23x-4=(x-1)(x+4)$
$x^2-2x+1=(x-1)^2$
$x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$ , οπότε:
Ε.Κ.Π $=1$

Παράδειγμα 4

Nα βρείτε το Μ.Κ.Δ των παραστάσεων: $\bf{\large{x^3-x^2,\,\;(x^2-x)(x^2-1),\,\;x^3-2x^2+x}}$

Λύση

Παραγοντοποιούμε τις παραστάσεις, κατά τα γνωστά:
$x^3-x^2=x^2{\color{red}(x-1)}$
$(x^2-x)(x^2-1)=x(x-1)(x-1)(x+1)={\color{red}x}(x-1)^2(x+1)$
$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2$ , οπότε:
Ε.Κ.Π $=x(x-1)$