Διαίρεση πολυωνύμων

Ας θυμηθούμε

Ένας ρητός αριθμός, για παράδειγμα ο $\dfrac{2}{3}$ , μπορεί να εκφραστεί με πολλούς τρόπους, όπως $\dfrac{4}{6},\,\,\dfrac{6}{9},\,\,\dfrac{8}{12}$ κ.λ.π. Στην πραγματικότητα όλα αυτά τα κλάσματα αντιπροσωπεύουν τον ίδιο ρητό αριθμό, που η πιο απλή μορφή του είναι η $\dfrac{2}{3}$ . Τα κλάσματα που μπορούν να εκφράσουν ένα ρητό αριθμό είναι άπειρα. Όλα τα κλάσματα που εκφράζουν τον ίδιο ρητό αριθμό λέμε ότι είναι ισοδύναμα κλάσματα.

Επειδή πολλές φορές είναι δύσκολο να συγκρίνουμε κλάσματα (λόγω μεγάλων τιμών αριθμητών και παρονομαστών) είναι ευκολότερο να το πετύχουμε με τον επόμενο ορισμό της ισότητας κλασμάτων

Ορισμός ισότητας κλασμάτων

Δύο κλάσματα $\dfrac{\gra}{\grb}\,\kai\,\dfrac{\grg}{\grd}$ είναι ίσα, να και μόνο αν, $\gra\cdot\grd=\grb\cdot\grg$

Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό διάφορο του μηδενός, τότε προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα.

Η παραπάνω πρόταση χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα. Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με ένα κοινό παράγοντά τους. Για παράδειγμα:

$\dfrac{20}{32}=\dfrac{{\color{red}\cancel{4}}\cdot 5}{{\color{red}\cancel{4}}\cdot 8}=\dfrac{5}{8}$

Ας προχωρήσουμε τώρα στα μονώνυμα

Όπως έχουμε ήδη αναφέρει εδώ στα μονώνυμα ορίζεται η διαίρεση, που γίνεται όπως στο παράδειγμα

$\dfrac{10x^4yz^2}{16xy^2z^2}=\dfrac{{\color{red}\cancel{(2xyz^2)}}(5x^3)}{{\color{red}\cancel{(2xyz^2)}}(8y)}= \dfrac{5x^3}{8y}$

Με τον τρόπο αυτόν μπορούμε να απλοποιούμε κλάσματα με μονώνυμα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να ξεχωρίζουμε τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη. Η διαδικασία αυτή είναι εύκολη γιατί έτσι κι αλλιώς ένα μονώνυμο είναι μια αλγεβρική παράσταση που σαν μόνη πράξη έχει τον πολλαπλασιασμό, δηλαδή αποτελείται από παράγοντες.

Τι συμβαίνει όμως, αν αντί για μονώνυμα, έχουμε πολυώνυμα;

Εδώ χρειάζεται να πιάσουμε το νήμα από την αρχή. Θα ξεκινήσουμε για να δείξουμε έναν αλγόριθμο που χρησιμοποιούμε για να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα. Η διαίρεση πολυωνύμων στην ουσία ακολουθεί τη λογική της διαίρεσης των αριθμών, όπως την γνωρίζουμε. Είναι μια διαδικασία αφαιρέσεων. Ας θυμηθούμε σε απλά βήματα την διαίρεση, όπως γινόταν σε τάξεις του δημοτικού.

$\begin{array}{r|r} \dropsign{-} 129 & 3 \\ \cline{2-2} 12 & 43 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{-} 9 \\ 9 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] 0 \end{array}$

Η ίδια λογική ισχύει και για την διαίρεση των πολυωνύμων, όπως θα δούμε αμέσως μετά. Όμως ας σταθούμε λίγο σε μια βασική έννοια. Την έννοια της ευκλείδειας διαίρεσης.

Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς $\grD$ (διαιρετέος) και $\grd$ (διαιρέτης) με $\grd\neq 0$ , τότε κάνοντας τη διαίρεση βρίσκουμε δύο μοναδικούς φυσικούς αριθμούς $\grp$ και $\gry$ για τους οποίους ισχύει:

$\boxed{\grD=\grd\cdot\grp+\gry,\;\;0\leq\gry<\grd}$

Στην προηγούμενη διαίρεση $129:3$ η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης γράφεται:

$129=3\cdot 43+0$ Στην περίπτωση αυτή το $\gry=0$ και η διαίρεση λέγεται τέλεια

Γενικά αν σε μια διαίρεση $\grD:\grd$ βρίσκουμε πηλίκο $\grp$ και υπόλοιπο $\gry=0$ , τότε ισχύει

$\grD=\grd\cdot\grp$

και λέμε ότι έχουμε τέλεια διαίρεση και ότι ο $\grd$ διαιρεί τον $\grD$ ή ότι ο $\grd$ είναι παράγοντας του $\grD$ .

Με άντίστοιχο τρόπο ορίζουμε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης στα πολυώνυμα.

Αν $\bf{\large{\grD(x)}}$ και $\bf{\large{\grd(x)}}$ είναι δύο πολυώνυμα (διαιρετέος και διαιρέτης αντίστοιχα) με $\bf{\large{\grd(x)\neq 0}}$ , κάνοντας τη διαίρεση βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων $\bf{\large{\grp(x)}}$ και $\bf{\large{\gry(x)}}$ , για τα οποία ισχύει

$\grD(x)=\grd(x)\cdot\grp(x)+\gry(x),$

όπου το $\gry(x)$ είναι το $0$ ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του διαιρέτη $\grd(x)$ .

Παρακάτω παραθέτουμε τη διαδικασία μιας διαίρεσης του πολυωνύμου $\grD(x)=6x^3-2x^2+x+3$ με το πολυώνυμο $\grd(x)=x^2-x+1$

$\begin{array}{r|r} 6x^3 - 2x^2 + \phantom{6}x + 3 & x^2 - \phantom{6}x + 1 \\ \cline{2-2} \end{array}$

Γράφουμε τα πολυώνυμα του διαιρετέου και του διαιρέτη κατά τις φθίνουσες δυνάμεις

$\begin{array}{r|l} 6x^3 - 2x^2 + \phantom{6}x + 3 & x^2 - \phantom{6}x + 1 \\ \cline{2-2} \phantom{{}+3} &{\color{red} 6x} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \end{array}$

Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου με τον πρώτο όρο του διαιρέτη και βρίσκουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου

$\begin{array}{r|l} \dropsign{+} 6x^3 - 2x^2 + \phantom{6}x + 3 & x^2 - \phantom{6}x + 1 \\ \cline{2-2} -6x^3 + 6x^2 - 6x \phantom{{}+3} & {\color{red} 6x} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] {\color{blue}4x^2 - 5x + 3} \\ \end{array}$

Πολλαπλασιάζουμε το $\scriptstyle 6x$ του πηλίκου με τον διαιρέτη $\scriptstyle 6x\cdot(x^2-x+1)=6x^3-6x^2+6x$ και αφαιρούμε το αποτέλεσμα από τον διαιρετέο, δηλαδή προσθέτουμε το αντίθετο πολυώνυμο. Προσθέτουμε τα δύο πολυώνυμα και βρίσκουμε το πρώτο μερικό υπόλοιπο

$\begin{array}{r|l} \dropsign{+} 6x^3 - 2x^2 + \phantom{6}x + 3 & x^2 - \phantom{6}x + 1 \\ \cline{2-2} -6x^3 + 6x^2 - 6x \phantom{{}+3} & {\color{red} 6x+4} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] {\color{blue}4x^2 - 5x + 3} \\ \end{array}$

Το πρώτο μερικό υπόλοιπο έχει βαθμό μεγαλύτερο από τον διαιρέτη, οπότε συνεχίζουμε τη διαίρεση, διαιρώντας τον πρώτο όρο του μερικού υπολοίπου με τον πρώτο του διαιρέτη, δηλαδή $\scriptstyle 4x^2:x^2$

Πολλαπλασιάζουμε το 4 του πηλίκου με τον διαιρέτη $\scriptstyle 4\cdot(x^2-x+1)=4x^3-4x^2+4$ και αφαιρούμε το αποτέλεσμα από τον διαιρετέο, δηλαδή προσθέτουμε το αντίθετο πολυώνυμο. Προσθέτουμε τα δύο πολυώνυμα και βρίσκουμε το δεύτερο μερικό υπόλοιπο

Το δεύτερο μερικό υπόλοιπο είναι πολυώνυμο μικρότερου βαθμού από τον διαιρέτη, οπότε εδώ σταματάει η διαίρεση.

Επομένως η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης είναι:

$\boxed{6x^3-2x^2+x+3=(x^2-x+1)\cdot(6x+4)+(-x-1)}$

Ας δούμε και ένα άλλο παράδειγμα:

$\begin{array}{r|l} \dropsign{}+\phantom{}{\color{red} {2x^3+3x^2 + \phantom{1}x + 6}} &{\color{blue} { x+ 2}} \\ \cline{2-2} -2x^3 -4x^2 \phantom{{}} &{\color{Maroon} {\bf 2x^2-x+3}} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} -x^2+x+6 \\ +x^2+2x\phantom{+6} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 3x+6 \\ -3x-6 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] {\color{green} {0}} \end{array}$

Στην περίπτωση αυτή έχουμε μια τέλεια διαίρεση, οπότε η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης γράφεται:

$2x^3+3x^2+x+6=(x+2)\cdot(2x^2-x+3).\;\;\;(1)$

Τα πολυώνυμα $x+2$ και $2x^2-x+3$ λέγονται παράγοντες ή διαιρέτες του $2x^3+3x^2+x+6$ .
Ένα άλλο σημείο που πρέπει να προσέξουμε ότι αν μια διαίρεση πολυωνύμων είναι τέλεια, τότε μπορούμε να πούμε ότι ο διαιρετέος παραγοντοποιείται, διότι $\grD=\grd\cdot\grp$ . Στην (1) μπορούμε να πούμε ότι το πολυώνυμο $2x^3+3x^2+x+6$ παραγοντοποιήθηκε.

Ένα πολυώνυμο $\grd(x)$ είναι διαιρέτης ή παράγοντας ενός πολυωνύμου $\grD(x)$ , αν η διαίρεση $\grD(x):\grd(x)$ είναι τέλεια, δηλαδή αν υπάρχει πολυώνυμο $\grp(x)$ τέτοιο, ώστε να ισχύει $\grD(x)=\grd(x)\cdot\grp(x)$ .

Παράδειγμα 1

Nα εξετάσετε αν το πολυώνυμο $x+2$ είναι παράγοντας του πολυωνύμου $2x^3+x^2-3x+6$ .

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι η διαίρεση $(2x^3+x^2-3x+6):(x+2)$ είναι τέλεια. Εκτελούμε τη διαίρεση:

$\begin{array}{r|l} \dropsign{}+\phantom{}{\color{red} {2x^3+x^2 - 3x + 6}} &{\color{blue} { x+ 2}} \\ \cline{2-2} -2x^3 -4x^2\phantom{{}-3x+6} \phantom{{}} &{\color{Maroon} {\bf 2x^2-3x+3}} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} -3x^2-3x+6 \\ +3x^2+6x\phantom{+6} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 3x+6 \\ -3x-6 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] {\color{green} {0}} \end{array}$

Αφού η διαίρεση είναι τέλεια, πράγματι ο $x+2$ είναι παράγοντας του $2x^3+x^2-3x+6$

Παράδειγμα 2

Nα εξετάσετε αν το πολυώνυμο $2x-\gra$ είναι παράγοντας του πολυωνύμου $2x^3-5\gra x^2+8\gra^2 x-3\gra^3$ .

Λύση

Αρκεί να κάνουμε τη διαίρεση και να είναι τέλεια. Έχουμε:

$\begin{array}{r|l} \dropsign{}{\color{red} {2x^3-5\gra x^2 +8\gra^2 x -3\gra^3}} &{\color{blue} { 2x-\gra}} \\ \cline{2-2} -2x^3 +\gra x^2\phantom{{}+8\gra x^2-3\gra^3} &{\color{Maroon} {\bf x^2-2\gra x+3\gra^2}} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} -4\gra x^2+8\gra^2 x-3\gra^3 \\ 4\gra x^2-2\gra^2 x \phantom{-3\gra^3} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 6\gra^2 x-3\gra^3 \\ -6\gra^2 x+3\gra^3 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] {\color{green} {0}} \end{array}$

Πράγματι η διαίρεση είναι τέλεια, οπότε συμπεραίνουμε ότι ο $2x-\gra$ είναι παράγοντας του $2x^3-5\gra x^2+8\gra^2 x-3\gra^3$ .

Παράδειγμα 3

Να γίνει η διαίρεση $(6x^3+x^2-4x-5):(3x-1)$ και να γράψετε μια έκφραση ισοδύναμη με το κλάσμα $\dfrac{6x^3+x^2-4x-5}{3x-1}$

Λύση

Κάνουμε τη διαίρεση κι έχουμε:

$\begin{array}{r|l} \dropsign{} 6x^3 +\phantom{1}x^2 -4x -5 & 3x-1 \\ \cline{2-2} -6x^3 + 2x^2 \phantom{{}-4x-5} & 2x^2+\phantom{3}x-1 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 3x^2 - 4x \phantom{{}-5} \\ -3x^2+x\phantom{{}-5} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} -3x-5 \\ +3x-1 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] -6 \end{array}$

Τώρα γράφουμε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης, και έχουμε:

$6x^3+x^2-4x-5=(3x-1)(2x^2+x-1)+(-6)\;\;\;(2)$

Για $3x-1\neq 0\,\gr\,x\neq \dfrac{1}{3}$ , διαιρώντας την (2) με $3x-1$ θα προκύψει:

$\dfrac{6x^3+x^2-4x-5}{3x-1}=2x^2+x-1+\dfrac{-6}{3x-1}$

Από τη γενική μορφή της ευκλείδειας διαίρεσης με την ίδια διαδικασία, προκύπτει:

$\dfrac{\grD}{\grd}=\grp+\dfrac{\gry}{\grd}$

Παράδειγμα 4

Να γίνει η διαίρεση $(x^3-2x^2+5):(x+3)$ και μετά να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης καθώς και την ισοδύναμη μορφή του κλάσματος $\dfrac{x^3-2x^2+5}{x+3}$

Λύση

Αρχικά θα κάνουμε την διαίρεση με τη γνωστή διαδικασία

$\begin{array}{r|l} \dropsign{} x^3 -2x^2 +0x +5 & x+3 \\ \cline{2-2} -x^3 - 3x^2 \phantom{{}+0x-5} & x^2-5x+15 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} -5x^2 + 0x +5 \\ +5x^2+15x \phantom{+5} \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 15x+5 \\ -15x-45 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] -40 \end{array}$

Επομένως η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης γράφεται:

$x^3-2x^2+5=(x+3)(x^2-5x+15)+(-40)$

Για να βρούμε το ισοδύναμο του κλάσματος $\dfrac{x^3-2x^2+5}{x+3}$ εργαζόμαστε ως εξής:

$\begin{align*} x^3-2x^2+5&=(x+3)(x^2-5x+15)+(-40)\underbrace{\;\gr\;}_{\grd\gri\gra\gri\grr\grv\,\,\grm\gre\,\,x+3\neq 0}\\ \dfrac{x^3-2x^2+5}{x+3}&=\dfrac{\cancel{(x+3)}(x^2-5x+15)}{\cancel{x+3}}+\dfrac{-40}{x+3}\;\gr\\ \dfrac{x^3-2x^2+5}{x+3}&=x^2-5x+15-\dfrac{40}{x+3} \end{align*}$

Παράδειγμα 5

Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο $P(x)=x+2$ είναι διαιρέτης του $Q(x)=x^2+7x+10$

Λύση

Για να είναι το $P(x)$ διαιρέτης του $Q(x)$ πρέπει η διαίρεση $Q(x):P(x)$ να είναι τέλεια. Κάνουμε τη διαίρεση κι έχουμε:

$\begin{array}{r|l} \dropsign{}x^2+7x+10 &x+2 \\ \cline{2-2} -x^2-2x\phantom{{}+10} & x+5 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 5x+10 \\ -5x-10\\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] 0 \end{array}$

Η διαίρεση είναι τέλεια (έχει $\gry=0$ ) επομένως το $x+2$ είναι διαιρέτης (ή παράγοντας) του $Q(x)$ .

Παράδειγμα 6

Να βρείτε ένα πολυώνυμο το οποίο αν πολλαπλασιαστεί με το $P(x)=x^2-x+1$ να δίνει γινόμενο $Q(x)=x^4-x^3+4x^2+3$

Λύση

Αν παραστήσουμε με $T(x)$ το ζητούμενο πολυώνυμο, τότε σύμφωνα με την άσκηση θα είναι: $Q(x)=P(x)\cdot T(x)$ . Άρα για να βρούμε το $T(x)$ αρκεί να κάνουμε τη διαίρεση $Q(x):P(x)$ . Έχουμε λοιπόν:

$\begin{array}{r|l} \dropsign{} x^4-x^3 +4x^2 -3x+3 & x^2-x+1 \\ \cline{2-2} -x^4+x^3-x^2\phantom{{}-3x+3} & x^2\phantom{-1x}+3 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 3x^2-3x+3 \\ -3x^2+3x-3 \\ \cline{1-1} \\ [\dimexpr-\normalbaselineskip+\jot] \dropsign{} 0 \end{array}$

Επομένως το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το $T(x)=x^2+3$ .

Παράδειγμα 7

Δίνεται το πολυώνυμο $(x)=x^4-1$ . Να βρείτε τους διαιρέτες του.

Λύση

Γνωρίζουμε ότι αν $P(x)=Q(x)\cdot T(x)$ τότε τα πολυώνυμα $Q(x)$ και $T(x)$ λέγονται διαιρέτες ή παράγοντες του $P(x)$ . Αρκεί λοιπόν να παραγοντοποιήσουμε το $P(x)$ . Έχουμε $P(x)=x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x-1)(x+1)$ Οι διαιρέτες, λοιπόν, του $P(x)$ είναι οι $x^2+1$ , $x-1$ , $x+1$ .

Ασκήσεις για εξάσκηση

1) Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γραφούν οι αντίστοιχες ταυτότητες των ευκλειδείων διαιρέσεων:

α) $(x^2+9x+20):(x+4)$

β) $(25x^3+x):(5x-2)$

γ) $(x^3-3x^2-x+3):(x^2-1)$

δ) $(x^4+2x^2-2):(x^2+3)$

ε) $(y^3+1):(y+1)$

στ) $(x^3-8):(x-2)$

ζ) $(x^5-x-1):(x+1)$

2) Να γίνει η διαίρεση $(5x^2-4\gra x+3\gra^2):(x-\gra)$ και μετα να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.Για ποια τιμή του πραγματικού $\gra$ το υπόλοιπο της παραπάνω διαίρεσης ισούται με 12;

3) Ο συνολικός αριθμός των θεατών που παρακολούθησαν ταινίες σε ένα κινηματογράφο, από τον Ιανουάριο έως τον Δεκέμβριο ενός έτους, εκφράζεται από το πολυώνυμο $P(x)=4x^3+10x^2+ 2984x+12032$ και ο αριθμός των ταινών που προβλήθηκαν το ίδιο διάστημα εκφράζεται από το πολυώνυμο $Q(x)=2x+8$ , όπου $x$ ο αριθμός των μηνών από τον Ιανουάριο. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός θεατών σε κάθε προβολή;

Απάντηση

$2x^2-3x+1504$

Επόμενο μάθημα