πρόσθεση και αφαίρεση ρητών παραστάσεων

Πρόσθεση ρητών παραστάσεων

Ας θυμηθούμε ότι για να προσθέσουμε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή (ομώνυμα) προσθέτουμε τους αριθμητές, αφήνοντας παρονομαστή ως έχει. Για παράδειγμα

${\color{red}\dfrac{12}{7}+\dfrac{5}{7}=\dfrac{12+5}{7}=\dfrac{17}{7}}$

Γενικά ισχύει ότι:

${\color{red}\dfrac{A}{B}+\dfrac{\grG}{B}=\dfrac{A+\grG}{B}}$

Το ίδιο ισχύει και όταν έχουμε να προσθέσουμε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις. Εννοείται ότι στο τέλος της πρόσθεσης απλοποιούμε το αποτέλεσμα εφόσον χρειαστεί.

Παραδείγματα πρόσθεσης ρητών παραστάσεων

$\dfrac{2}{{\color{red}x}}+\dfrac{5+x}{{\color{red}x}}=\dfrac{7+x}{{\color{red}x}}$

Όταν τα κλάσματα είναι ομώνυμα, τότε προσθέτουμε τους αριθμητές.

$\dfrac{4x}{{\color{red}x+3}}+\dfrac{1+3x}{{\color{red}x+3}}=\dfrac{7x+1}{{\color{red}x+3}}$

Προσθέτουμε τους αριθμητές.

$\begin{align*} &\dfrac{2x^2+3x-7}{{\color{red}2x+1}}+\dfrac{x^2+x-8}{{\color{red}2x+1}}\\ &=\dfrac{(2x^2+3x-7)+(x^2+x-8)}{{\color{red}2x+1}}\\ &=\dfrac{3x^2+4x-15}{{\color{red}2x+1}} \end{align*}$

Προσθέτουμε τους αριθμητές, κάνοντας αναγωγή ομοίων όρων

$\begin{align*} \dfrac{2x+1}{{\color{red}x^2-4}}+\dfrac{x-7}{{\color{red}x^2-4}}&=\dfrac{(2x+1)+(x-7)}{{\color{red}x^2-4}}\\ &=\dfrac{3x-6}{{\color{red}x^2-4}}\\ &=\dfrac{3\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x+2)}\\ &=\dfrac{3}{x+2},\;x\neq 2 \end{align*}$

Προσθέτουμε τους αριθμητές, κάνοντας αναγωγή ομοίων όρων

Παραγοντοποιούμε και απλοποιούμε βάζοντας τον περιορισμό ${\color{red}x-2\neq 0$ δηλ. ${\color{red}x\neq 2}}$

Αφαίρεση ρητών παραστάσεων

Για να αφαιρέσουμε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή (ομώνυμα) αφαιρούμε τους αριθμητές, αφήνοντας παρονομαστή τον ίδιο. Για παράδειγμα

${\color{red}\dfrac{15}{7}-\dfrac{5}{7}=\dfrac{15-5}{7}=\dfrac{10}{7}}$

Γενικά ισχύει ότι:

${\color{red}\dfrac{A}{B}-\dfrac{\grG}{B}=\dfrac{A-\grG}{B}}$

Το ίδιο ισχύει και όταν έχουμε να αφαιρέσουμε ρητές αλγεβρικές παραστάσεις. Εννοείται ότι στο τέλος της αφαίρεσης απλοποιούμε το αποτέλεσμα εφόσον χρειαστεί.

Να λάβετε υπόψη σας ότι η γραμμή κλάσματος λειτουργεί σαν σύμβολο εγκλεισμού. Πιο απλά, παίζει ρόλο παρένθεσης ή αγκύλης. Τούτο σημαίνει ότι όταν κάνουμε την αφαίρεση των αριθμητών, οι αριθμητές πρέπει να μπαίνουν σε παρένθεση, όπως θα δούμε στα επόμενα παραδείγματα

Παραδείγματα αφαίρεσης ρητών παραστάσεων

$\begin{align*} \dfrac{5x}{{\color{red}x+1}}-\dfrac{x-3}{{\color{red}x+1}}&=\dfrac{5x-{\color{red}(x-3)}}{{\color{red}x+1}}\\ &=\dfrac{5x-x{\color{red}+}3}{{\color{red}x+1}}\\ &=\dfrac{4x+3}{x+1} \end{align*}$

Η παρένθεση χρειάζεται για να εξασφαλίσουμε ότι αφαιρούνται και οι δύο όροι του δεύτερου κλάσματος

Βγάζουμε την παρένθεση αλλάζοντας τα πρόσημα Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

$\begin{align*} \dfrac{x^2}{{\color{red}x-4}}-\dfrac{x+12}{{\color{red}x-4}}&=\dfrac{5x-{\color{red}(}x+12{\color{red})}}{{\color{red}x-4}}\\ &=\dfrac{x^2{\color{red}-x-12}}{{\color{red}x-4}}\\ &=\dfrac{(x-4)(x+3)}{x-4}\\ &=\dfrac{\cancel{(x-4)}(x+3)}{\cancel{x-4}}\\ &=x+3,\;x\neq 4 \end{align*}$

Η παρένθεση χρειάζεται για να εξασφαλίσουμε ότι αφαιρούνται και οι δύο όροι του δεύτερου κλάσματος Βγάζουμε την παρένθεση αλλάζοντας τα πρόσημα Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Παραγοντοποιούμε

Απλοποιούμε, βάζοντας τον περιορισμό ${\color{red}x\neq 4}$

Μια ιδιαίτερη περίπτωση

Τα επόμενα παραδείγματα αναφέρονται σε περιπτώσεις, που οι παρονομαστές δεν είναι ίδιοι αλλά αντίθετοι. Ας φέρουμε στο νου μας ότι:

$\dfrac{x}{-y}=\dfrac{-x}{y}=-\dfrac{x}{y}$

Η μετατροπή αυτή μας επιτρέπει να δούμε ότι στην ουσία τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Για παράδειγμα είναι:

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{5}{-2}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{x-5}{2}$

Λυμένα παραδείγματα

$\begin{align*} \dfrac{x}{5}-{\color{red}\dfrac{3x-4}{-5}}&=\dfrac{x}{5}-\left({\color{red}-\dfrac{3x-4}{5}}\right)\\ &=\dfrac{x}{5}{\color{red}+}\dfrac{3x-4}{5}\\ &=\dfrac{x+(3x-4)}{5}\\ &=\dfrac{4x-4}{5} \end{align*}$

Είναι ${\color{blue}\dfrac{x}{-y}=-\dfrac{x}{y}}$ Είναι $\color{blue}x-(-y)=x+y}$

$\begin{align*} \dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{1-3x}{{\color{red}2-x}}&=\dfrac{2x}{x-2}-\dfrac{1-3x}{{\color{red}-(x-2)}}\\ &=\dfrac{2x}{x-2}-\left({\color{red}{-}}\dfrac{1-3x}{x-2}\right)\\ &=\dfrac{2x}{x-2}{\color{red}{+}}\dfrac{1-3x}{x-2}\\ &=\dfrac{2x+(1-3x)}{x-2}\\ &=\dfrac{-x+1}{x-2} \end{align*}$

To ${\color{blue}x-2}$ είναι αντίθετος του $\color{blue}2-x$ οπότε $\color{blue}2-x=-(x-2)$

Είναι $\color{blue}\dfrac{x}{-y}=-\dfrac{x}{y}$ Είναι $\color{blue}x-(-y)=x+y$

$\begin{align*} \dfrac{3x}{x-5}+\dfrac{x+1}{{\color{red}5-x}}&=\dfrac{3x}{x-5}+\dfrac{x+1}{{\color{red}-(x-5)}}\\ &=\dfrac{3x}{x-5}+\dfrac{{\color{red}{-(x+1)}}}{x-5}\\ &=\dfrac{3x}{x-5}+\dfrac{{\color{red}{-x-1}}}{x-5}\\ &=\dfrac{3x+(-x-1)}{x-5}\\ &=\dfrac{2x-1}{x-5} \end{align*}$

To ${\color{blue}x-5}$ είναι αντίθετος του $\color{blue}5-x$ οπότε $\color{blue}5-x=-(x-5)$

Είναι $\color{blue}\dfrac{x}{-y}=\dfrac{-x}{y}$ Ο αντίθετος του $\color{blue}x+1$ είναι ο $\color{blue}-x-1$

Προσθέτουμε

Πρόσθεση και αφαίρεση ρητών παραστάσεων με διαφορετικούς παρονομαστές

Ας δούμε τώρα πως εργαζόμαστε όταν οι ρητές παραστάσεις έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Εδώ θα χρειαστεί να φρεσκάρουμε λίγο τις γνώσεις μας για το Ε.Κ.Π αλγεβρικών παραστάσεων. Αν χρειαστεί ρίξε μια ματιά εδώ. Στην πορεία όμως της ανάπτυξης του μαθήματος, θα αναφερθούμε πάλι στην διαδικασία εύρεσης του Ε.Κ.Π.

Αν είχαμε την πρόσθεση, για παράδειγμα

$\dfrac{7}{12}+\dfrac{13}{30}$

πως θα εργαζόμασταν; Πρώτα θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Για να το καταφέρουμε θα πρέπει να βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, δηλαδή των $12$ και $30$ .

Θυμάμαι:

Αναλύουμε τους παρονομαστές $12$ και $30$ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, δηλαδή $12=2^2\cdot 3$ και $30=2\cdot 3\cdot 5$ . To $\grE.\grK.\grP.=2^2\cdot3\cdot 5$ , είναι δηλαδή το γινόμενο κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη, δηλαδή έχουμε Ε.Κ.Π.=60.

Τώρα μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα με τον εξής τρόπο:

Βάζουμε πάνω από κάθε αριθμητή το πηλίκο του Ε.Κ.Π με τον αντίστοιχο παρονομαστή του κλάσματος (καπελάκι). Πολλαπλασιάζουμε το αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος επί τον αριθμό που έχουμε βάλει στο “καπελάκι” του.

Έχουμε δηλαδή.

$\begin{align*} &\dfrac{7}{12}+\dfrac{13}{30}\\ &=\dfrac{\aoverbrace[l1r]{7}^{{\color{red}{5}}}}{12}+\dfrac{\aoverbrace[l1r]{13}^{{\color{red}{2}}}}{30}\\ &=\dfrac{7\cdot{\color{red} 5}}{12\cdot {\color{red}5}}+\dfrac{13\cdot{\color{red} 2}}{30\cdot {\color{red}2}}\\ &=\dfrac{35}{60}+\dfrac{26}{60}=\dfrac{35+26}{60}=\dfrac{61}{60} \end{align*}$

Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή ενός κλάσματος επί τον ίδιο αριθμό (όχι το 0) χωρίς να μεταβληθεί η τιμή του κλάσματος, δηλαδή προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα.

Με τον αντίστοιχο τρόπο εργαζόμαστε όταν έχουμε άθροισμα ή διαφορά ρητών παραστάσεων. Ας ξεκινήσουμε με απλά βήματα την πρόσθεση

$\dfrac{7}{24x}+\dfrac{5}{36x^2}$

Πρώτα θα βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών $24x\,\kai\,36x^2$ . Θα αναλύσουμε τους συντελεστές σε γινόμενο παραγόντων και έχουμε: $24=2^3\cdot 3$ και $36=2^2\cdot3^2$ , οπότε οι συντελεστές έχουν $\grE.\grK.\grP.=2^3\cdot3^2=72.$ Τα μονώνυμα των παρονομαστών, έχουν λοιπόν ${\color{red}\grE.\grK.\grP.=72\cdot x^2}$ .

Ερχόμαστε τώρα στη διαδικασία μετατροπής των κλασμάτων σε ομώνυμα, με την ανάλογη μέθοδο που δείξαμε πριν με τους ρητούς αριθμούς.έχουμε:

$\dfrac{7}{24x}+\dfrac{5}{36x^2}=\dfrac{\aoverbrace[l1r]{7}^{{\color{red}{3x}}}}{24x}+\dfrac{\aoverbrace[l1r]{5}^{{\color{red}{2}}}}{36x^2}=\dfrac{7\cdot{\color{red} 3x}}{24x\cdot {\color{red}3x}}+\dfrac{5\cdot{\color{red} 2}}{36x^2\cdot {\color{red}2}}=\dfrac{21x}{72x^2}+\dfrac{10}{72x^2}=\dfrac{21x+10}{72x^2}$

Ας προχωρήσουμε σε ένα άλλο παράδειγμα.

1) Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\dfrac{2x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x^2+x}$

Βήμα πρώτο:

Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές, ώστε να βρούμε το Ε.Κ.Π. Έχουμε:

$x^2-1=(x-1)(x+1)$
$x^2+x=x(x+1)$

Επομένως το ${\color{red}\grE.\grK.\grP.=x(x-1)(x+1)}$ .

Βήμα δεύτερο:

Προχωρούμε στην μετατροπή των ρητών παραστάσεων σε παραστάσεις με ίδιους παρονομαστές με τα γνωστά “καπελάκια”.

$\begin{align*} &\dfrac{2x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x^2+x}=\dfrac{2x}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{1}{x(x+1)}\\ &=\dfrac{\aoverbrace[l1r]{2x}^{{\color{red}{x}}}}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{\aoverbrace[l1r]{1}^{{\color{red}{x-1}}}}{x(x+1)}\\ &=\dfrac{2x\cdot{\color{red} x}}{(x-1)(x+1)\cdot {\color{red}x}}+\dfrac{1\cdot{\color{red} (x-1)}}{x(x+1)\cdot {\color{red}(x-1)}}\\ &=\dfrac{2x^2}{x(x-1)(x+1)}+\dfrac{x-1}{x(x-1)(x+1)}\\ &=\dfrac{2x^2+x-1}{x(x-1)(x+1)}\\ &=\dfrac{(2x-1)\cancel{(x+1)}}{(x(x-1)\cancel{(x+1)}}\\ &=\dfrac{2x-1}{x(x-1)},\;x\neq -1 \end{align*}$

Ε.Κ.Π ${\color{blue}=x(x-1)(x+1)}$

${\color{blue}2x^2+x-1&=x^2+x^2+x-1}$ ${\color{blue}=(x^2-1)+(x^2+x)}$ ${\color{blue}=(x-1)(x+1)+x(x+1)}$ ${\color{blue}=(x+1)(x-1+x)}$ ${\color{blue}=(x-1)(2x-1)}$

2) Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\dfrac{5}{x^2-1}-\dfrac{2}{x^2+2x+1}$

Έχουμε:

$\begin{align*} &\dfrac{5}{x^2-1}-\dfrac{2}{x^2+2x+1}=\dfrac{5}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{2}{(x+1)^2}\\ &=\dfrac{\aoverbrace[l1r]{5}^{{\color{red}{x+1}}}}{(x-1)(x+1)}-\dfrac{\aoverbrace[l1r]{2}^{{\color{red}{x-1}}}}{(x+1)^2}\\ &=\dfrac{5\cdot{\color{red}(x+1)}}{(x-1)(x+1)\cdot{\color{red}(x+1)}} -\dfrac{2\cdot{\color{red} (x-1)}}{(x+1)^2\cdot {\color{red}(x-1)}}\\ &=\dfrac{5(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}\\ &=\dfrac{5x+5-2x+2}{(x-1)(x+1)^2}\\ &=\dfrac{3x+7}{(x-1)(x+1)^2} \end{align*}$

Ε.Κ.Π. $\color{blue}=(x-1)(x+1)^2}$ προσοχή! οι αριθμητές σε παρενθέσεις ${\color{blue}5(x+1)-2(x-1)=5x+5{\color{red}{-}}2x{\color{red}{+}}2}$

3) Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\dfrac{x^2-6}{x^2-5x+6}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}$

Έχουμε:

$\begin{align*} &\dfrac{x^2-6}{x^2-5x+6}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}\\ &=\dfrac{x^2-6}{(x-2)(x-3)}-\dfrac{2}{(x-2}+\dfrac{3}{x-3}\\ &=\dfrac{(x^2-6)\cdot{\color{red}{1}}}{(x-2)(x-3)\cdot{\color{red}{1}}} -\dfrac{2\cdot{\color{red} (x-3)}}{(x-2)\cdot {\color{red}(x-3)}}+\dfrac{3\cdot{\color{red} (x-2)}}{(x-2)\cdot {\color{red}(x-3)}}\\ &=\dfrac{x^2-6-2(x-3)+3(x-2)}{(x-2)(x-3)}\\ &=\dfrac{x^2-6-2x+6+3x-6}{(x-2)(x-3)}\\ &=\dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)}}{(x-3)\cancel{(x-2)}}\\ &\dfrac{x+3}{x-3},\;x\neq 2 \end{align*}$

Ε.Κ.Π. ${\color{blue}=(x-2)(x-3)}$

προσοχή! οι αριθμητές σε παρενθέσεις ${\color{blue}x^2-6-2(x-3)+3(x-2)}$ ${\color{blue}=x^2-6{\color{red}{-}}2x{\color{red}{+}}6}+3x-6}$

Σύνθετα κλάσματα και προβλήματα

Ας αρχίσουμε με ένα παράδειγμα με ρητούς αριθμούς, για να θυμηθούμε “τα παλιά”.

Παράδειγμα 1. Να απλοποιηθεί το κλάσμα

$\dfrac{\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{4}}{\cfrac{5}{6}-\cfrac{3}{8}}$

βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. όλων των παρονομαστών των επιμέρους κλασμάτων, δηλαδή των $2,\,4,\,6\,\kai\,8$ . Είναι Ε.Κ.Π.=24.

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του συνθέτου κλάσματος επί το Ε.Κ.Π., δηλαδή επί 24. Έχουμε λοιπόν:

$\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\right)\cdot{\color{red}24}}{\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{8}\right)\cdot{\color{red}24}}$

Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε:

$\dfrac{\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot\overset{12}{{\color{red}\cancel{24}}}+\dfrac{3}{\cancel{4}}\cdot\overset{6}{{\color{red}\cancel{24}}}}{\dfrac{5}{\cancel{6}}\cdot\overset{4}{{\color{red}\cancel{24}}}-\dfrac{3}{\cancel{8}}\cdot\overset{3}{{\color{red}\cancel{24}}}}=\dfrac{12+18}{20-9}=\dfrac{30}{11}$

Αντίστοιχα εργαζόμαστε και με τις ρητές αλγβερικές παραστάσεις.

Παράδειγμα 2. Να απλοποιηθεί το κλάσμα

$\dfrac{1-\cfrac{1}{x}}{1-\cfrac{1}{x^2}}$

Bρίσκουμε το Ε.Κ.Π. όλων των παρονομαστών των επιμέρους κλασμάτων, δηλαδή των $x,\,\kai\,x^2$ . Είναι Ε.Κ.Π. $=x^2$ .

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του συνθέτου κλάσματος επί το Ε.Κ.Π., δηλαδή επί $x^2$ . Έχουμε λοιπόν:

$\dfrac{\left(1-\cfrac{1}{x}\right)\cdot{\color{red}x^2}}{\left(1-\cfrac{1}{x^2}\right)\cdot{\color{red}x^2}}$

Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε:

$\dfrac{{1}\cdot{\color{red}{x^2}}-\dfrac{1}{\cancel{x}}\cdot\overset{x}{{\color{red}\cancel{x^2}}}}{1\cdot{\color{red}{x^2}}-\dfrac{1}{\cancel{x^2}}\cdot\overset{1}{{\color{red}\cancel{x^2}}}}=\dfrac{x^2-x}{x^2-1}=\dfrac{x\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x+1)}=\dfrac{x}{x+1},\;\;x\neq 0,\;x\neq 1$

Ένας άλλος τρόπος για τις απλοποιήσεις συνθέτων κλασμάτων είναι να κάνουμε ομώνυμα σε αριθμητή και παρονομαστή ξεχωριστά, να βρούμε τα αθροίσματα στο αριθμητή και παρονομαστή και τέλος να εργαστούμε με άκρους-μέσους, όπως δείξαμε παραπάνω. Ας εφαρμόσουμε την μέθοδο αυτή στο παράδειγμα 2.

Κάνουμε ομώνυμα σε αριθμητή και παρονομαστή κι έχουμε:

$\dfrac{1-\cfrac{1}{x}}{1-\cfrac{1}{x^2}}=\dfrac{\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{x}}{\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{x^2}}=\dfrac{\cfrac{x-1}{x}}{\cfrac{x^2-1}{x^2}}=$

Rendered by QuickLaTeX.com

Προτιμάμε τον πρώτο τρόπο, σαν πιο απλό και πιο λειτουργικό.

Ας δούμε τώρα ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα

Παράδειγμα 3. Να απλοποιηθεί το κλάσμα

$\dfrac{y-2+\cfrac{1}{y+2}}{y+2+\cfrac{1}{y-2}}$

Το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών των κλασμάτων σε αριθμητή και παρονομαστή είναι το $\grE.\grK.\grP.=(y-2)(y+2)$ . Πολλαπλασιάζουμε τους δύο όρους του σύνθετου κλάσματος επί το Ε.Κ.Π. κι έχουμε:

$\dfrac{\left(y-2-\cfrac{1}{y+2}\right)\cdot{\color{red}(y-2)(y+2)}}{\left(y+2-\cfrac{1}{y-2}\right)\cdot{\color{red}(y-2)(y+2)}}$

Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε:

$\begin{align*} &\dfrac{{(y-2)}\cdot{\color{red}{(y-2)(y+2)}}-\dfrac{1}{\cancel{y+2}}\cdot{\color{red}\cancel{(y+2)}(y-2)}} {y+2\cdot{\color{red}{(y+2)(y-2)}}-\dfrac{1}{\cancel{y-2}}\cdot{\color{red}\cancel{(y-2)}(y+2)}}=\\ &=\dfrac{(y-2)^2(y+2)+(y-2)}{((y+2)^2(y-2)+(y+2)}\\ &=\dfrac{(y-2)\left[\cancel{(y-2)(y+2)+1}\right]}{(y+2)\left[\cancel{(y+2)(y-2)+1}\right]}\\ &=\dfrac{y-2}{y+2},\;y\neq 2,\;y\neq -2 \end{align*}$

Η συγκεκριμένη περίπτωση έχει και τους “κρυφούς” περιορισμούς ( ${\color{blue}x\neq\sqrt{3}\,\kai\,x\neq-\sqrt{3}}$ , που προκύπτουν από την απλοποίηση του παράγοντα ${\color{blue}(y-2)(y+2)+1}$ , που όμως δεν είναι ώρα να τους συζητήσουμε. Γενικά για τους περιορισμόύς μπορείς να δεις εδώ.

Παράδειγμα 4

Να βρεις την περίμετρο του ορθογωνίου στην απλούστερη δυνατή μορφή της.

Λύση

Γνωρίζουμε ότι η περίμετρος ενός ορθογωνίου, δίνεται από τον τύπο $P=2\gra+2\grb$ , όπου $\gra\,\kai\,\grb$ είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου.

Έχουμε λοιπόν ότι

$P=2\cdot\dfrac{3x}{8-4x}+2\cdot\dfrac{3x}{(x-2)^2}$

Θα υπολογίσουμε λοιπόν το παραπάνω άθροισμα και θα κάνουμε όλες τις δυνατές απλοποιήσεις στο αποτέλεσμα. Έχουμε:

$\begin{align*} 2\cdot\dfrac{3x}{8-4x}+2\cdot\dfrac{3x}{(x-2)^2}&=\dfrac{6x}{4(2-x)}+\dfrac{6x}{(x-2)^2}\\ &=\dfrac{\cancel{6}x}{\cancel{4}(2-x)}+\dfrac{6x}{(x-2)^2}\\ &=\dfrac{3x}{2(2-x)}+\dfrac{6x}{(2-x)^2}\\ &=\dfrac{3x\cdot{\color{red}(2-x)}}{2(2-x)^2}+\dfrac{6x\cdot{\color{red} 2}}{2(2-x)^2}\\ &=\dfrac{3x(2-x)+12x}{2(2-x)^2}\\ &=\dfrac{-3x^2+18x}{2(2-x)^2}=\dfrac{-3x(x-6)}{2(2-x)^2} \end{align*}$

ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ

Οι πλευρές του ορθογωνίου, που μας δίνει η άσκηση πρέπει να είναι θετικές. Η πλευρά $\dfrac{3x}{(x-2)^2}$ , επειδή ο παρονομαστής $(x-2)^2>0$ για κάθε $x\neq 2$ , είναι θετική όταν $3x>0$ ή $x>0$ .

Η πλευρά $\dfrac{3x}{8-4x}$ , αφού ήδη έχουμε $x>0$ , είναι θετική όταν $8-4x>0$ ή $x<2$ . Άρα χρειάζεται ο περιορισμός $0<x<2$ <p=””>

Ισχύει $\color{blue}2-x=-(x-2)$ ή εδώ μας συμφέρει να αξιοποιήσουμε το τετράγωνο, δηλαδή το $\color{blue}(x-2)^2=(2-x)^2$ . Μας είναι γνωστό ότι οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσα τετράγωνα, $\color{blue}x^2=(-x)^2$ . Είναι Ε.Κ.Π.= ${\color{blue}2\cdot(2-x)^2}$

Παράδειγμα 5

Ένας ποδηλάτης διήνυσε μια απόσταση 10km με σταθερή ταχύτητα $v\,km/h$ και ακολούθως τα επόμενα 15km με σταθερή ταχύτητα ελαττωμένη όμως κατά 5km/h. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το συνολικό χρόνο που διήρκεσε η διαδρομή του.

Λύση

Γνωρίζουμε από τη Φυσική ότι στην κίνηση με σταθερή ταχύτητα ισχύει $s=v\cdot t$ , όπου $s$ το διάστημα που διανύει το κινητό, με σταθερή ταχύτητα $v$ σε χρόνο $t$ . Επομένως είναι $t=\dfrac{s}{v}\;\;(1).$ Εφαρμόζουμε την (1) για τις δύο φάσεις της κίνησης του ποδηλάτη κι έχουμε:

Ό χρόνος που χρειάστηκε για να διανύσει τα 10km με ταχύτητα $v\,km/h$ , είναι $t_1=\dfrac{10}{v}$

Ό χρόνος που χρειάστηκε για να διανύσει τα 15km με ταχύτητα $v-5\,km/h$ , είναι $t_2=\dfrac{15}{v-5}$

Επομένως ο συνολικός χρόνος διάρκειας της διαδρομής του ποδηλάτη είναι:

$t_1+t_2=\dfrac{10}{v}+\dfrac{15}{v-5}$

Άρα η αλγεβρική παράσταση που δίνει το συνολικό χρόνο της διαδρομής είναι η

$\dfrac{10}{v}+\dfrac{15}{v-5}=\dfrac{10(v-5)+15v}{v(v-5)}=\dfrac{10v-50+15v}{v(v-5)}=\dfrac{25(v-2)}{v(v-5)}$

Ασκήσεις για εξάσκηση

Να υπολογιστούν τα αθροίσματα

1) $\dfrac{3}{5x}+\dfrac{2}{x^2}$

2) $\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{2}{x}$

3) $\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{2}{3x+12}$

4) $\dfrac{3x-5}{x^2+x-2}-\dfrac{2x-4}{x^2+x-12}$

5) $\dfrac{x^2}{x-5}+\dfrac{25}{5-x}$

6) $\dfrac{x}{9-x}+\dfrac{9}{x-9}$

7) $\dfrac{x}{x^2+11x+30}+\dfrac{-5}{x^2+9x+20}$

8) $\dfrac{x+9}{x^2-4}+\dfrac{5-x}{4-x^2}-\dfrac{2+x}{x^2-4}$

9) $\dfrac{2x}{1-2x}+\dfrac{3x}{2x+1}-\dfrac{3}{4x^2-1}$

10) $\dfrac{x+6}{x^2+8x+15}-\dfrac{x-3}{x+3}-\dfrac{3x}{x+5}$

11) $\dfrac{2}{x^2-y^2}+\dfrac{2}{(x+y)^2}+\dfrac{2}{(x-y)^2}$

12) Μια βάρκα διανύει 3km αντίθετα με το ρεύμα ενός ποταμού και μετά επιστρέφει στην αφετηρία, διανύοντας την ίδια απόσταση των 3km. Η ταχύτητα του ρεύματος του ποταμού είναι 1km/h και της βάρκας $x\,km/h$ ,όταν στο νερό δεν υπάρχει ρεύμα, να γράψετε μια αλγεβρική έκφραση για το συνολικό χρόνο που χρειάστηκε η βάρκα για να διανύσει την διαδρομή αυτή.

13) Να γίνουν οι πράξεις και να απλοποιηθούν οι ρητές παραστάσεις:

α) $\dfrac{1-\cfrac{1}{x}}{x-2+\cfrac{1}{x}}$

β) $\dfrac{\cfrac{x^2+y^2}{y} -x}{\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{x}}\cdot\dfrac{5(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$

γ) $\left(x^2+\dfrac{y^4}{x^2-y^2} \right)\cdot\left(x^2+y^2\right):\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x-y}\right)$

δ) $\left(\dfrac{2x+3}{x+1}:\dfrac{2x^2+1}{x^2-1}-1\right):\dfrac{x^2-16}{2x^2+1}$

ε) $\left(\dfrac{x}{x^2-4}-\dfrac{8}{x^2+2x}\right)\cdot\dfrac{x^2-2x}{4-x}+\dfrac{x+8}{x+2}$

Θα βρεις τις απαντήσεις των ασκήσεων εδώ

Για περισσότερες ασκήσεις πήγαινε εδώ

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενη Ενότητα