Ταυτότητες

Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και είναι αληθής για κάθε τιμή των μεταβλητών αυτών, λέγεται ταυτότητα

Για παράδειγμα η ισότητα $x+y=y+x$ είναι ταυτότητα , γιατί ισχύει για κάθε τιμή των μεταβλητών της, $x$ και $y$

Στην Άλγεβρα (αλλά και στα Μαθηματικά γενικότερα) συναντάμε κάποιες μορφές γινομένων, πολύ συχνά. Είναι όπως θα λέγαμε επαναλαμβανόμενα μοτίβα (κανονικότητες). Για παράδειγμα συχνά βρισκόμαστε μπροστά σε τετράγωνα διωνύμων, δηλαδή μορφές όπως $(x+2y)^2$ ή $(2\gra-3\grb)^2$ . Ακόμη συναντάμε μορφές όπως $(x+y)(x-y)$ ή $2x^2y-xy)(2x^2y+xy)$ . Για ευκολία, τις μελετάμε ξεχωριστά και χρησιμοποιούμε κάποιες τυποποιημένες σχέσεις, που τις ονομάζουμε αξιοσημείωτες ταυτότητες ή αξιοσημείωτα γινόμενα. Σε αυτά θα αναφερθούμε στα επόμενα.

Τετράγωνο αθροίσματος

$\Aboxed{\bf\Huge{\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2}}$

Απόδειξη

$\bf\large{\left(x+y\right)^2=(x+y)\cdot(x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x^2+2xy+y^2}$

Γεωμετρική ερμηνεία

Το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά $x+y$ , οπότε το εμβαδόν του θα είναι $(x+y)^2$ . Από το σχήμα παρατηρούμε ότι το εμβαδόν μπορούμε να το βρούμε αν προσθέσουμε τα δύο τετράγωνα με εμβαδά αντίστοιχα $x^2$ και $y^2$ και τα δύο ορθογώνια με εμβαδόν $xy$ το καθένα. Άρα είναι $\bf\large{\left(x+y\right)^2=x^2+xy+yx+y^2=x^2+2xy+y^2}$

Τετράγωνο διαφοράς

$\Aboxed{\bf\Huge{\left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2}}$

Απόδειξη

$\bf\large{\left(x-y\right)^2=(x-y)\cdot(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2}$

Γεωμετρική ερμηνεία

Από το σχήμα είναι φανερό ότι: $(MN\grG\grL)=(AB\grG\grD)-(ABNP)-(\grD\grL MP)$ $=(AB\grG\grD)+\grb^2-(AK\grL\grD)-(ABNP)$ $=\gra^2+\grb^2-\gra\grb-\gra\grb=\gra^2-2\gra\grb+\grb^2$

Γινόμενο διαφοράς επί άθροισμα

$\Aboxed{\bf\Huge{(x-y)\cdot(x+y)=x^2-y^2}}$

Απόδειξη

$(x+y)\cdot(x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2$

Γεωμετρική ερμηνεία

Από το σχήμα έχουμε: $(\gra+\grb)(\gra-\grb)=$ (ΑΒΓΔ)=(ΑΚΛΔ)+(ΚΒΓΛ) =(ΚΒΓΛ)+(ΛΓΤΜ)-(ΛΡΝΜ)=(ΚΒΤΜ)-(ΛΠΝΜ) $=\gra^2-\grb^2$

Κύβος αθροίσματος – διαφοράς

$\Aboxed{\bf\Huge{\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}}$

$\Aboxed{\bf\Huge{\left(x-y\right)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3}}$

Απόδειξη

$\bf\large{\left(x+y\right)^3=(x+y)^2(x+y)=(x^2+2xy+y^2)(x+y)=}$ $\bf\large{x^3+x^2y+2x^2y+2xy^2+y^2x+y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}$
$\bf\large{\left(x-y\right)^3=(x-y)^2(x-y)=(x^2-2xy+y^2)(x-y)=}$ $\bf\large{x^3-x^2y-2x^2y+2xy^2+y^2x-y^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3}$

Διαφορά-άθροισμα κύβων

$\Aboxed{\bf\Huge{x^3+y^3=(x+y)\left(x^2-xy+y^2\right)}}$

$\Aboxed{\bf\Huge{x^3-y^3=(x-y)\left(x^2+xy+y^2\right)}}$

Τετράγωνο αθροίσματος 3 όρων

$\Aboxed{\bf\Huge{(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}}$

Μεθοδεύσεις

Όταν ζητείται να βρεθούν τα αναπτύγματα, αναπτύσσουμε τις ταυτότητες, εκτελούμε τυχόν πολλαπλασιασμούς και τέλος κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Όταν ζητείται να αποδειχθεί μια ταυτότητα, τότε εκτελούμε τις πράξεις στο ένα μέλος της ταυτότητας και μετά τις πράξεις καταλήγουμε στο άλλο μέλος. Eπιλέγουμε όποιο μέλος θέλουμε, έχοντας σαν κριτήριο την επιλογή αυτού που περιέχει τις πιο πολλές πράξεις.

Όταν ζητείται να μετατραπεί ένα κλάσμα με παρονομαστή της μορφής $\sqrt{\gra}-\sqrt{\grb}$ (άρρητος προνομαστής) σε ισοδύναμο ρητό, πολλαπλασιάζουμε τους δύο όρους του κλάσματος με την παράσταση $\sqrt{\gra}+\sqrt{\grb}$ , ώστε να δημιουργηθεί διαφορά τετραγώνων. Το αντίστοιχο κάνουμε όταν ο παρονομαστής έχει τη μορφή $\sqrt{\gra}+\sqrt{\grb}$ , οπότε πολλαπλασιάζουμε με $\sqrt{\gra}-\sqrt{\grb}$

Στα παραδείγματα που ακολουθούν θα δούμε πως εφαρμόζονται οι μέθοδοι αυτές.

Λυμένα παραδείγματα

Nα βρείτε τα αναπτύγματα

1) $\left(x^2+y\right)^2=x^4+2x^2y+y^2$

2) $2(\gra-\grb)^2+(2\gra+\grb)(2\gra-\grb)=2(\gra^2-2\gra\grb+\grb^2)+(2\gra)^2-\grb^2$
$=\gra^2-4\gra\grb+2\grb^2+4\gra^2-\grb^2=6\gra^2-4\gra\grb+\grb^2$

3) $(-x+y)(-x-y)=\left[-(x-y)\right]\cdot\left[-(x+y)\right]=(x-y)(x+y)=x^2-y^2$

4) Να αποδειχθεί η ταυτότητα $(x-1)(x+1)^3-2x(x-1)(x+1)=x^4-1$

Λύση

Έχουμε:
$(x-1)(x+1)^3-2x(x-1)(x+1)=(x-1)(x^3+3x^2+3x+1)-2x(x^2-1)$
$=x^4+3x^3+3x^2+x-x^3-3x^2-3x-1-2x^3+2x=x^4-1$

5) Να μετατρέψετε το κλάσμα $\dfrac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

Λύση

Έχουμε: $\dfrac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\dfrac{4\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$
$=\dfrac{4\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}=\dfrac{4\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}$

6) Να αποδείξετε γεωμετρικά την ταυτότητα $\bf{\large{(\gra+\grb)^2+(\gra-\grb)^2=4\gra\grb}}$

Λύση

Το παρακάτω γεωμετρικό σχήμα αποδεικνύει τη ζητούμενη ταυτότητα.

Εδώ θα βρεις μια εργασία για εξάσκηση.

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενη Ενότητα