Πραγματικοί αριθμοί-Μάθημα 2

Πραγματικοί αριθμοί-Μάθημα 2

Δυνάμεις ρητών αριθμών

Η δύναμη \bf\large \gra^{\grn} με βάση το ρητό \bf\large \gra και εκθέτη το φυσικό \bf\large \grn\ge 2 είναι το γινόμενο από \bf\large \grn παράγοντες ίσους με \bf\large \gra.

    \[\bf{\large{ \gra^{\grn}=\underbrace{\gra\cdot \gra\cdot \gra\dots \gra}_{\grn}}}\]

Αν η δύναμη έχει βάση θετικό αριθμό, τότε είναι θετικός αριθμός, είτε ο εκθέτης είναι άρτιος είτε περιττός. Αν η δύναμη έχει βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο τότε η δύναμη είναι θετικός αριθμός. Αν η δύναμη έχει βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό τότε η δύναμη είναι αρνητικός αριθμός.

Με συμβολικό τρόπο τα παραπάνω εκφράζονται ως εξής:

Αν \color{blue}{\bf{\large{\gra>0}}} τότε \color{blue}{\bf{\large{\gra^{\grn}>0,}}} όπου \color{blue}{\bf{\large{\grn}}} φυσικός

Αν \color{blue}{\bf{\large{\gra<0}}} τότε \color{blue}{\bf{\large{\gra^{\grn}>0,}}} όπου \color{blue}{\bf{\large{\grn}}} άρτιος

Αν \color{blue}{\bf{\large{\gra<0}}} τότε \color{blue}{\bf{\large{\gra^{\grn}<0,}}} όπου \color{blue}{\bf{\large{\grn}}} περιττός

    \[\bf{\large{3^2=+9,\;\;2^3=+8,\;\;(-3)^2=+9,\;\;(-2)^3=-8}}\]

Ιδιότητες δυνάμεων

    \[ \renewcommand{\arraystretch}{2.0} \begin{tabular}{ |c|c| } \hline  $\color{red}1$& $\color{blue}{\pmb{\gra^{\mu}\cdot\gra^{\nu}=\gra^{\grm+\grn}}}$  \\ \hline  $\color{red}2$ &  $\color{blue}{\pmb{\gra^{\grm}:\gra^{\grn}=\gra^{\grm-\grn}}}$\\ \hline  $\color{red}3$ &$\color{blue}{\pmb{\left(\gra^{\grm}\right)^{\grn}=\gra^{\grm\cdot\grn}}}$  \\ \hline  $\color{red}4$ & $ \color{blue}{\pmb{\left(\gra\cdot\grb\right)^{\grn}=\gra^{\grn}\cdot\grb^{\grn}}}$\\ \hline	 $\color{red}5$ & $\color{blue}{\pmb{\left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{\grn}=\dfrac{\gra^{\grn}}{\grb^{\grn}}}}$  \\ \hline \end{tabular}\]

Δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο

Η δύναμη κάθε αριθμού, διάφορου του μηδενός με εκθέτη αρνητικό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τη δύναμη του αριθμού αυτού με αντίθετο εκθέτη

.

Δηλαδή αν \grn φυσικός και \bf\large \gra,\,\grb\neq 0, τότε:

    \[\boxed{\bf\large \gra^{-\grn}=\dfrac{1}{\gra^{\grn}}}\]

και

    \[\boxed{\bf\large \left(\dfrac{\gra}{\grb}\right)^{-\grn}=\left(\dfrac{\grb}{\gra}\right)^{\grn}}\]

Είναι: \color{red}\bf\large \gra^0=1 για κάθε αριθμό \color{red}\bf\large \gra\neq 0 και
\color{red}\bf\large \gra^1=\gra για κάθε αριθμό \bf\large \gra

Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό αριθμό ισχύουν ακριβώς και για δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη

Παραδείγματα

1) \bf{\large{(-3)^2\cdot(-3)^4=(-3)^{2+4}=(-3)^6=3^6=729}}

2) \bf{\large{(-2)^3\cdot\left[(-2)^3\right]^4=(-2)^3\cdot (-2)^{12}=(-2)^{3+12}=(-2)^{15}=-32768}}

3) \bf{\large{(-5)^{-2}\cdot(-5)^3=(-5)^{-2+3}=(-5)^1=-5}}

4) \bf{\large{\dfrac{2^{-5}\cdot 2^4}{2^{-4}\cdot 2^7}=\dfrac{2^{-5+4}}{2^{-4+7}}=\dfrac{2^{-1}}{2^3}}=2^{-1-3}=2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}}}

5) Αν x=1 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

    \[A=2^{x-3}-4^{3-x}+1^{x+4}-5^{1-x}\]

Είναι:

    \[A=2^{1-3}-4^{3-1}+1^{1+4}-5^{1-1}=2^{-2}-4^2+1^5-5^0\]

    \[=\dfrac{1}{2^2}-16+1-1=\dfrac{1}{4}-16=\dfrac{1-64}{4}=-\dfrac{63}{4}\]

Τώρα μπορείς να προχωρήσεις στο τεστ 2.

 

Share This