Αλγεβρικές παραστάσεις-Μάθημα 2

Επιλογές

Όπως είδαμε στο Αλγεβρικές παραστάσεις|Μάθημα 1, το μονώνυμο είναι μια αλγεβρική παράσταση, που η μόνη πράξη που σημειώνεται ανάμεσα στις μεταβλητές της είναι ο πολλαπλασιασμός.

Προσοχή, αναφερόμαστε σε ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, δηλαδή σε παραστάσεις, που οι μεταβλητές τους δεν έχουν αρνητικούς εκθέτες, δεν βρίσκονται σε παρανομαστή ούτε σε υπόρριζο.

Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με αλγεβρικές παραστάσεις στις οποίες εκτός από τον πολλαπλασιασμό ανάμεσα στις μεταβλητές τους, σημειώνονται η πρόσθεση ή η αφαίρεση ανόμοιων μονωνύμων.Για παράδειγμα παραστάσεις όπως

$\bf{\large{2x+3y,\;\;x^2+3x+5,\;\;\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{5}y}}$

Οι όροι ενός πολυωνύμου είναι μονώνυμα ή αριθμοί (όπως έχουμε ήδη αναφέρει οι αριθμοί θεωρούνται μονώνυμα μηδενικού βαθμού).
Αν ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους (ανηγμένη μορφή) έχει δύο όρους λέγεται διώνυμο, τρεις όρους, τριώνυμο

Παρακάτω γράφουμε ένα πολυώνυμο και ξεχωρίζουμε τους όρους του. Όπως βλέπουμε, οι όροι είναι τα μονώνυμα που απαρτίζουν το πολυώνυμο

$\bf{\large{3x^6-5x^4+3x-12=\underbrace{3x^6}_{\acute{\gro}\grr\gro s}+\underbrace{(-5x^4)}_{\acute{\gro}\grr\gro s}+\underbrace{3x}_{\acute{\gro}\grr\gro s}+\underbrace{(-12)}_{\acute{\gro}\grr\gro s}}}$ Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζουμε μερικά μονώνυμα, διώνυμα , τριώνυμα και πολυώνυμα που δεν υπάγονται σε καμμιά κατηγορία.

Μονώνυμα	Διώνυμα	Τριώνυμα	Πολυώνυμα
$-5x^3$	$4x+7$	$3x^2-5x+1$	$4x^3-3x^2-x+2$
$-8$	$4x^3+6x$	$-x^3+x+2$	$x^5-4x^4+2x^2+x-7$ /td>
$-\sqrt{3}\gra^{12}$	$-2\gra+1$	$4\gra^2+3\gra\grb-2\grb^2$	$\gra^6-\gra^5+2\gra^2+\gra-1$

Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μια ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

Αν έχουμε το πολυώνυμο $\bf{\large{P(x)=3x^4-8x^3+5x^2+7x-6}}$ , τότε οι όροι του, οι συντελεστές τους, οι βαθμοί των όρων του καθώς και ο βαθμός του πολυωνύμου, δίνονται από τον πιο κάτω πίνακα.

Όρος	Συντελεστής	Βαθμός	Βαθμός πολυωνύμου
$3x^4$	$3$	$4$	$4$
$-8x^3$	$-8$	$3$
$5x^2$	$5$	$2$
$7x$	$7$	$1$
$-6$	$-6$	$0$

Ένα άλλο παράδειγμα

Δεχόμαστε ότι κάθε μονώνυμο είναι και πολυώνυμο. Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως πολυώνυμο και λέγεται σταθερό πολυώνυμο και έχει μηδενικό βαθμό. Ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό.
Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο $\bf{\large{P(x)=2x^3-5x^2+23x-12}}$
Ο όρος με τον μεγαλύτερο εκθέτη λέγεται μεγιστοβάθμιος (εδώ το $2x^3$ ), ενώ ο όρος μηδενικού βαθμού λέγεται σταθερός όρος (εδώ το -12).
Αν σε ένα πολυώνυμο όλοι οι όροι του, ως προς μια ή ως προς όλες τις μεταβλητές του, είναι του ίδιου βαθμού, τότε λέμε ότι το πολυώνυμο είναι ομογενές.

Θα λέμε ότι ένα πολυώνυμο είναι διατεταγμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις μιας μεταβλητής όταν οι όροι του είναι γραμμένοι από το μονώνυμο με τον μεγαλύτερο βαθμό ως προς τη μεταβλητή μέχρι το μονώνυμο με τον μικρότερο βαθμό.

Θα λέμε ότι ένα πολυώνυμο είναι διατεταγμένο κατά τις αύξουσες δυνάμεις μιας μεταβλητής όταν οι όροι του είναι γραμμένοι από το μονώνυμο με τον μικρότερο βαθμό ως προς τη μεταβλητή μέχρι το μονώνυμο με τον μεγαλύτερο βαθμό.

Για παράδειγμα

το πολυώνυμο $\bf\large P(x)=2x-3x^3+5-7x^2+4x^4$ , διατεταγμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις γίνεται:

$P(x)=4x^4-3x^3-7x^2+2x+5$

ενώ κατά τις αύξουσες δυνάμεις γίνεται

$P(x)=5+2x-7x^2-3x^3+4x^4$

Γενικά θα γράφουμε τα πολυώνυμα διατεταγμένα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις.

Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα αν οι όροι τους είναι ίσα μονώνυμα.

Αριθμητική τιμή πολυωνύμου

Υπενθυμίζουμε ότι αν αντικαταστήσουμε την μεταβλητή (ή τις μεταβλητές) ενός πολυωνύμου με έναν αριθμό, τότε το πολυώνυμο μετατρέπεται σε αριθμό, ο οποίος μπορεί να υπολογιστεί αν ακολουθήσουμε τους κανόνες προτεραιότητας των πράξεων. Η τιμή που προκύπτει μετά τις πράξεις λέγεται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου.

Εφαρμογή

Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου $P(x)=-x^2+3x+9$ για $x=-2$

Λύση

Για $x=-2$ , έχουμε:

$\begin{align*} P(-2)=&-({\color{red}-2})^2+3({\color{red}-2})+9\\ &=-4+(-6)+9\\ &=-10+9=-1 \end{align*}$

Εφαρμογή

Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου $x^2-2xy+3y^2$ για $x=-1 \,\kai\,y=2$

Λύση

Για $x=-1\,\kai\,y=2$ , έχουμε:
$({\color{red}-1})^2-2({\color{red}-1})\cdot{\color{red}2}+3\cdot{\color{red}2}^2=1+4+12=17$

Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η διαδικασία κατά την οποία αντικαθιστούμε τα όμοια μονώνυμα (όρους) ενός πολυωνύμου, με το άθροισμά τους.

Πρόσθεση Πολυωνύμων

Για να προσθέσουμε δύο πολυώνυμα, κατ’αρχάς απαλοίφουμε τις παρενθέσεις σύμφωνα με τον κανόνα:
Αν μπροστά από την παρένθεση υπάρχει $\bf\Large\color{red}+$ τότε η παρένθεση “φεύγει” και γράφονται όλοι οι όροι με το πρόσημο που έχουν.
Αν μπροστά από την παρένθεση υπάρχει $\bf\Large\color{red}-$ τότε η παρένθεση “φεύγει” και γράφονται όλοι οι όροι με το αντίθετο πρόσημο.

Παράδειγμα

$\begin{align*} &\left({\color{red}2x^2}-{\color{blue}3x}+7\right)-\left(-{\color{green}x^3}+{\color{red}3x^2}+{\color{blue}12x}-23\right)\\ &={\color{red}2x^2}-{\color{blue}3x}+7+{\color{green}x^3}-{\color{red}3x^2}-{\color{blue}12x}+23\\ &={\color{green}x^3}-{\color{red}x^2}-{\color{blue}15x}+30 \end{align*}$

Πολλαπλασιασμός μονωνύμου επί πολυώνυμο

Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο (σε ανηγμένη μορφή), πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου.

Ανηγμένη μορφή

Λέμε ότι ένα πολυώνυμο είναι σε ανηγμένη μορφή όταν έχουν γίνει οι αναγωγές των ομοίων όρων και το πολυώνυμο είναι σε τελική μορφή.

Rendered by QuickLaTeX.com

Το πρώτο παράδειγμα μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου επί πολυώνυμο

Για να πολλαπλασιάσουμε δυο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

Rendered by QuickLaTeX.com

Φυσικά στο τέλος κάναμε αναγωγή των ομοίων όρων.

Σχόλιο

Ο βαθμός του γινομένου πολυωνύμων ισούται με το άθροισμα των βαθμών των αρχικών πολυωνύμων. Στα παραπάνω παραδείγματα, δηλαδή, έχουμε ότι, ο βαθμός του $2x^2$ είναι 2 και ο βαθμός του $-x^2+3x-5$ είναι 2, οπότε ο βαθμός του γινομένου είναι $2+2=4$ . Αντίστοιχα στο δεύτερο παράδειγμα έχουμε ότι ο βαθμός του $2x^2+x$ είναι 2, και ο βαθμός του $-x^2+3x-5$ είναι 2, οπότε ο βαθμός του γινομένου είναι $2+2=4$ .

Λυμένα παραδείγματα

Να γίνουν οι σημειωμένες πράξεις:
1)

$\left(-3x^3+2x-4\right)+\left(4x^3+3x^2+2\right)$
$-3x^3+2x-4+4x^3+3x^2+2=$	Βγάζουμε τις παρενθέσεις αφήνοντας αμετάβλητους τους όρους, διότι οι παρενθέσεις έχουν μπροστά τους $\bf\Large\color{red}+$
$\left(-3x^3+4x^3\right)+3x^2+2x+(-4+2)=$	Συγκεντρώνουμε τους όμοιους όρους
$x^3+3x^2+2x-2$	Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

$\left(\frac{2}{3}x^4+3x^2-2x+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}x^4+5x^3-3x^2+3x-\frac{1}{2}\right)=$
$\frac{2}{3}x^4+3x^2-2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}x^4+5x^3-3x^2+3x-\frac{1}{2}=$	Βγάζουμε τις παρενθέσεις αφήνοντας αμετάβλητους τους όρους, διότι οι παρενθέσεις έχουν μπροστά τους $\bf\Large\color{red}+$
$\left(\frac{2}{3}x^4-\frac{1}{3}x^4\right)+5x^3+(3x^2-3x^2)+2x+(-2x+3x)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left)$	Συγκεντρώνουμε τους όμοιους όρους
$\frac{1}{4}x^4+5x^3+x$	Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

3) Δίνονται τα πολυώνυμα $P(x)=-3x^5+2x^3+6x^2+3$ , $Q(x)=x^4-7x^2+2$ και $R(x)=3x^6-5x^5+x^2-1$ .

Να βρεθεί το άθροισμά τους χρησιμοποιώντας την κάθετη στοίχιση.(Στις παραπάνω ασκήσεις προσθέσαμε τα πολυώνυμα σε οριζόντια στοίχιση. Ο τρόπος αυτός μας οδηγεί κάποιες φορές σε λάθη αβλεψίας. Εδώ θα δείξουμε έναν άλλο τρόπο με κάθετη στοίχιση)

$\begin{tabular}{c| c c c c c c} P(x) & &+3x^5& &+2x^3&+6x^2&+3\\ Q(x) & & &x^4 &+\color{red}0x^3 &-7x^2 & +2\\ R(x) &3x^6&-5x^5& & &{\color{red}1}x^2&-1\\ \hline &3x^6 &-2x^5 &+x^4 &+2x^3 &+4 & \end{tabular}$
Αφήνουμε κενά διαστήματα για τους όρους που λείπουν ή βάζουμε 0 π.χ. $\color{red}0x^3$
Γράφουμε το $\color{red}x^2$ με $\color{red}1x^2$
Προσθέτουμε τους όμοιους όρους

4)
Nα γίνει η αφαίρεση $P(x)-Q(x)$ αν $P(x)=4x^5-2x^3+5x^2+7$ ,και
$Q(x)=-3x^5+2x^4-x^3-x^2$ .

$P(x)-Q(x)$
$=(4x^5-2x^3+5x^2+7)-(-3x^5+2x^4-x^3-x^2)$
$=4x^5-2x^3+5x^2+7{\color{blue}\bf+}{\color{red}3x^5-2x^4+x^3+x^2}$	Βγάζουμε την παρένθεση γράφοντας τους όρους της με αλλαγμένα πρόσημα γιατί έχει μπροστά της $\bf\Large\color{red}-$ ή με άλλα λόγιαπροσθέτουμε το αντίθετο πολυώνυμο του $\color{red}Q(x)$
$=7x^5-2x^4-x^3+6x^2+7$	Συγκεντρώνουμε τους όμοιους όρους
	Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

5) Δίνεται το πολυώνυμο $P(x)=2x^3-3x^2+x-7$ . Να βρείτε το πολυώνυμο $P(2x)$ .

Λύση

Θα εργαστούμε όπως (Διάβασε το διπλανό σχόλιο) και στην εύρεση της αριθμητικής τιμής. Έχουμε λοιπόν:

$P(2x)=2(2x)^3-3(2x)^2+2x-7$
$=2(8x^3)-3(4x^2)+2x-7$
$=16x^3-12x^2+2x-7$	Αν έχουμε ένα πολυώνυμο P(x), τότε με P(κ) συμβολίζουμε την αντικατάσταση του x με κ. Γενικά, P(☺) σημαίνει ότι βάζουμε στο πολυώνυμο, όπου x το ☺.
$=7x^5-2x^4-x^3+6x^2+7$

Επίλυση προβλημάτων με χρήση των πολυωνύμων

6) Να βρείτε ένα πολυώνυμο για να εκφράσετε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων του σχήματος.

Λύση

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των δύο διαστάσεών του (μήκος x πλάτος).
Θα “μεταφράσουμε” το πρόβλημα στη μαθηματική γλώσσα. Το άθροισμα των εμβαδών ισούται με το άθροισμα των γινομένων ( μήκος x πλάτος) των τεσσάρων ορθογωνίων, δηλαδή:

$\overbrace{4x}^{E_A}+\overbrace{2x}^{E_B}+\overbrace{x^2}^{E_{\grG}}+\overbrace{1x}^{E_{\grD}}$

Έχουμε $4x+2x+x^2+1x=x^2+7x$
Μπορούμε να επαληθεύσουμε το συμπέρασμά μας αν θέσουμε στο $x$ κάποια συγκεκριμένη τιμή, π.χ. $x=3$ . Τότε το άθροισμa των εμβαδώv γίνεται:
$4\cdot 3+2\cdot 3+3^2+1\cdot3=30$ . Αν αντικαταστήσουμε το $x=3$ στο πολυώνυμο που βρήκαμε έχουμε: $3^2+7\cdot 3=21+9=30$ . Άρα επαληθεύσαμε τη λύση μας. Ας έχουμε κατά νου να κάνουμε πάντα επαλήθευση όταν επιλύουμε ένα πρόβλημα.

Να βρείτε άνα πολυώνυμο, που να εκφράζει το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας στο σχήμα που ακολουθεί.

Λύση

Το εμβαδόν που ζητείται είναι το (ΓΜΛΝ). Από το σχήμα είναι φανερό ότι τούτο προκύπτει αν αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του τετραγώνου (ΑΒΓΔ) τα εμβαδά του τετραγώνου (ΡΔΝΛ) και του ορθογωνίου (ΑΡΜΒ).
Ας μεταφράσουμε τη σκέψη μας με μαθηματικό συμβολισμό. Έχουμε:
$\underbrace{\gra^2}_{(AB\grG\grD)}-\underbrace{(\gra-2)(\gra-2)}_{(P\grD N\grL)}-\underbrace{2\cdot \gra}_{(APMB)}$
Το ζητούμενο εμβαδόν, λοιπόν είναι:
$\begin{align*} E(\gra)&=\gra^2-(\gra-2)(\gra-2)-2\gra\\ &=\gra^2-(\gra^2-2\gra-2\gra+4)-2\gra\\ &=\gra^2-\gra^2+4\gra-4-2\gra\\ &=2\gra-4 \end{align*}$
Ας κάνουμε τώρα την επαλήθευση του αποτελέσματος που βρήκαμε. Ας υποθέσουμε ότι $\gra=10$ . Εδώ χρειάζεται προσοχή για τις τιμές του $\gra$ . Πρέπει να είναι $\gra>2$ γιατί δεν μπορεί η πλευρά $(AB)\leq (AK)$ , δηλαδή δεν θα είχε νόημα το πρόβλημα. Έχουμε λοιπόν:
$E=10^2-(10-2)(10-2)-2\cdot10=100-64-20=16$ .
Από το πολυώνυμο που βρήκαμε για $\gra =10$ προκύπτει $E(10)=2\cdot 10-4=20-4=16$ . Άρα η απάντησή μας είναι σωστή.

Τώρα ήλθε η ώρα για ασκήσεις

Θα της βρεις εδώ

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα