Αλγεβρικές παραστάσεις-Μάθημα 1

Επιλογές

Αριθμητική παράσταση λέγεται μια μαθηματική έκφραση που περιέχει μόνο αριθμούς.
Π.χ. $A= -3\left(3-5\right)^2-4\cdot\left(3^2-2^3\right):2$
Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια παράσταση η οποία εκτός από αριθμούς περιέχει, επιπλέον, και μεταβλητές.
Π.χ. $B= 2·(7-x)^2 + [x^2 - (4\cdot·(x -y):4]$
Ακέραια αλγεβρική παράσταση λέγεται μια αλγεβρική παράσταση, όταν μεταξύ των μεταβλητών σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί.

Παράδειγμα

Η παράσταση $-\dfrac{2}{3}x^2yz^3$ είναι ακέραια αλγεβρική παράσταση, ενώ οι παραστάσεις $2x^{-2}yz$ και $-3x^2\dfrac{2}{y}$ δεν είναι ακέραιες, διότι η πρώτη έχει αρνητικό εκθέτη στο x (οπότε στην ουσία έχουμε το κλάσμα $\dfrac{2}{x^2}yz$ ), ενώ η δεύτερη έχει μεταβλητή στον παρονομαστή.

Αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης, για κάποιες τιμές των μεταβλητών της, ονομάζεται το αποτέλεσμα που προκύπτει αν στη θέση των μεταβλητών θέσουμε τις τιμές αυτές και κάνουμε τις πράξεις.

Μονώνυμα

Μία ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία μεταξύ του αριθμητικού παράγοντα και των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού, λέγεται μονώνυμο

Σ’ ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής , ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών υψωμένες στους εκθέτες τους λέγεται κύριο μέρος.

Είναι σημαντικό να διαχωρίζουμε σε ένα μονώνυμο τον συντελεστή από το κύριο μέρος.

Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή του λέγεται ο εκθέτης της μεταβλητής.

Βαθμός ενός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του.

Για παράδειγμα το μονώνυμο $-7x^3y^2z$ είναι:

3ου βαθμού ως προς x
2ου βαθμού ως προς y
1ου βαθμού ως προς z
6ου βαθμού ως προς όλες τις μεταβλητές του.

Όμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος.

Για παράδειγμα τα μονώνυμα $-2x^2yz^3,\;5x^2yz^3,\;12x^2yz^3$ είναι όμοια ενώ το $4x^2y^2z^3$ δεν είναι όμοιο με αυτά.

Οι πραγματικοί αριθμοί θεωρούνται ως μονώνυμα και τους ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα.
Τα σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού.
Μηδενικό μονώνυμο ονομάζεται ο αριθμός $0$ και δεν έχει βαθμό.

Δύο όμοια μονώνυμα λέγονται ίσα αν έχουν ίσους συντελεστές.

Για παράδειγμα αν τα όμοια μονώνυμα

$(2\grk+1)x^2yz^3$ και $3x^2yz^3$ είναι ίσα, τότε είναι $2\grk+1=3\Leftrightarrow 2\grk=2\Leftrightarrow \grk=1$

Δύο όμοια μονώνυμα λέγονται αντίθετα αν έχουν αντίθετους συντελεστές.

Για παράδειγμα αν τα όμοια μονώνυμα

$(2\grk+1)x^2yz^3$ και $3x^2yz^3$ είναι αντίθετα, τότε είναι $2\grk+1=-3\Leftrightarrow 2\grk=-4\Leftrightarrow \grk=-2$

(Πηγή: Σχολικό βιβλίο μαθηματικών Γ’ Γυμνασίου Κύπρου”)

Πράξεις μονωνύμων

Πρόσθεση μονωνύμων

Για να προσθέσουμε όμοια μονώνυμα, προσθέτουμε αλγεβρικά τους συντελεστές τους και στο άθροισμα βάζουμε το ίδιο κύριο μέρος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

$\bf{\large{2x^2y-5x^2y+13x^2y=(2-5+13)x^2y=10x^2y}}$
$\bf{\large{5xy^3z+7xy^3z-2xy^2=(5+7)xy^3z-2xy^2=12xy^3z-2xy^2}}$

Στο δεύτερο παράδειγμα προσθέσαμε μόνο τα όμοια μονώνυμα, αυτό που δεν ήταν όμοιο δεν συμμετείχε στην πρόσθεση.

Πολλαπλασιασμός μονωνύμων

Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμα:

Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές και
ως κύριο μέρος θέτουμε το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της.

Παραδείγματα

$\bf{\large{\left(-2x^2yz^2\right)\cdot\left(3xy^2z\right)=(-2)\cdot3\cdotx^2\cdot x\cdot \cdot y^2\cdot z^2\cdot z=-6x^3y^3z^3}}$
$\bf{\large{\left(\dfrac{2}{3}xy^2\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{2}x^3z^2\right)=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot x\cdot x^2\cdot y^2\cdot z^2=-\dfrac{1}{3}x^4y^2z^2}}$

Διαίρεση μονωνύμων

Η διαίρεση μονωνύμων γίνεται με ανάλογο τρόπο, όπως ο πολλαπλασιασμός. Διαιρούμε τους συντελεστές και ως κύριο μέρος θέτουμε το γινόμενο όλων των μεταβλητών με εκθέτη κάθε μεταβλητής την διαφορά των εκθετών της.

Σχόλιο

Δεν μπορούμε να προσθέσουμε μονώνυμα που δεν είναι όμοια. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προσθέσουμε τα $2x^2+3x$ ,εννοείται ούτε να τα αφαιρέσουμε.
Στον πολλαπλασιασμό δεν χρειάζεται να είναι όμοια τα μονώνυμα. Στη διαίρεση ισχύει το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό.
Στην διαίρεση μονωνύμων το πηλίκο μπορεί να μην είναι μονώνυμο. Για παράδειγμα στη διαίρεση $\left(2xy^2\right):\left(x^3y\right)=2x^{-2}y$ προκύπτει πηλίκο με το x υψωμένο σε αρνητικό εκθέτη, οπότε δεν είναι μονώνυμο.

Λυμένα παραδείγματα

1) $-\dfrac{2}{3}x^2y+\dfrac{5}{3}x^2y+2x^2y=\left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{3}+2\right)x^2y=3x^2y$

2) $\left(-\dfrac{2}{3}xy^2\right)\cdot\left(\dfrac{1}{3}x^2y^3\right)=\left(-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\right)\cdot x^{1+2}y^{2+3}=-\dfrac{2}{9}x^3y^5$

3) $\left(\dfrac{1}{3}\gra^2\grb\grg\right)\cdot\left(-4\gea\grb^2\right)\cdot\left(\dfrac{3}{4}\gra^4\grb^5\grg^2\right)=\dfrac{1}{3}\cdot(-4)\cdot\dfrac{3}{4}\gra^2\cdot\gra\cdot\gra^4\cdot\grb\cdot\grb^2\cdot\grb^5\cdot\grg\cdot\grg^2=-1\gra^7\grb^8\grg^3$

$\begin{align*}&2\cdot\left(-2xy^2\right)^3\cdot(-3)\cdot\left(x^3y\right)^2\\&=2\cdot\left(-8x^3y^6\right)\cdot(-3)\cdot\left(x^6y^2\right)\\&=2(-8)(-3)x^3\cdot x^6\cdot y^6\cdot y^2=48x^9y^8\end{align*}$

5) Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

Μονώνυμο	Συντελεστής	Κύριο μέρος	Βαθμός ως προς x	Βαθμός ως προς y	Βαθμός ως προς x,y
$\bf 2x^3y^2$	Απ. $\bf 2$	Απ. $\bf x^3y^2$	Απ. $\bf3$	Απ. $\bf2$	Απ. $\bf5$
$\bf \dfrac{2}{3}xy^4$	Απ. $\bf\dfrac{2}{3}$	Απ. $\bf xy^4$	Απ. $\bf 1$	Απ. $\bf 4$	Απ. $\bf 5$
$\bf -\sqrt{5}y^3x^2$	Απ. $\bf\large-\sqrt{5}$	Απ. $\bf\large y^3x^2$	Απ. $\bf\large2$	Απ. $\bf\large3$	Απ. $\bf\large5$
$\bf -\dfrac{x^3y^4}{4}$	Απ. $\bf\large-\dfrac{1}{4}$	Απ. $\bf\large x^3y^4$	Απ. $\bf\large3$	Απ. $\bf\large4$	Απ. $\bf\large7$

6) Τα παρακάτω μονώνυμα, είναι ανά ζεύγη όμοια. Βρείτε τα αντίστοιχα ζεύγη .

${\color{red}\bf\large\gra)}\;\;\bf\large -x^2y^3$ Απ. $\bf\theta$	${\color{red}\bf\large\grb)}\;\;\bf\large\sqrt{2-\sqrt{3}}x^5y^3$ Απ. $\bf\eta$	${\color{red}\bf\large\grg)}\;\;\bf\large 4xy^2$ Απ. $\bf\zeta$	${\color{red}\bf\large\grd)}\;\;\bf\large\dfrac{2}{5}xy$ Απ. $\bf\varepsilon$
${\color{red}\bf\large\gre)}\;\;\bf\large -\sqrt{2\sqrt{3}}xy$ Απ. $\bf\delta$	${\color{red}\bf\large\grz)}\;\;\bf\large-\dfrac{xy^2}{4}$ Απ. $\bf\gamma$	${\color{red}\bf\large\grh)}\;\;\bf\large 4x^5y^3$ Απ. $\bf\beta$	${\color{red}\bf\large\gru)}\;\;\bf\large\dfrac{\sqrt{2}}{5}x^2y^3$ Απ. $\bf\alpha$

Μερικά ιστορικά στοιχεία για τις αλγεβρικές παραστάσεις θα βρεις εδώ ή (για όσους δεν βαριούνται να διαβάσουν σε αγγλικά ☺) ωραία στοιχεία θα βρούν εδώ

Προηγούμενο μάθημα

Επόμενο μάθημα