Γνησίως αύξουσα

Για την επίλυση των ασκήσεων οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη:
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα
, τότε για οποιαδήποτε
ισχύει η συνεπαγωγή
Απόδειξη
Έστω ότι υπάρχουν τέτοια, ώστε
με
- Αν
τότε, αφού η
είναι γνησίως αύξουσα θα είναι
, άτοπο λόγω της υπόθεσης.
- Αν
από τον ορισμό της συνάρτησης θα ισχύει
, που αντίκειται στη υπόθεση.
Επομένως ισχύει το ζητούμενο.