Γνησίως αύξουσα

Για την επίλυση των ασκήσεων οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη:

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα $\grD$ , τότε για οποιαδήποτε $x_1,\,x_2\in\grD$ ισχύει η συνεπαγωγή

$f(x_1)<f(x_2)\an x_1<x_2$

Έστω ότι υπάρχουν $x_1,\,x_2\in\grD$ τέτοια, ώστε $f(x_1)<f(x_2)$ με $x_1\geq x_2$

Αν $x_1>x_2$ τότε, αφού η $f$ είναι γνησίως αύξουσα θα είναι $f(x_1)>f(x_2)$ , άτοπο λόγω της υπόθεσης.
Αν $x_1=x_2$ από τον ορισμό της συνάρτησης θα ισχύει $f(x_1)=f(x_2)$ , που αντίκειται στη υπόθεση.

Επομένως ισχύει το ζητούμενο.