Γνησίως αύξουσα

Για την επίλυση των ασκήσεων οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη:

Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα \grD, τότε για οποιαδήποτε x_1,\,x_2\in\grD ισχύει η συνεπαγωγή

    \[x_1<x_2\an f(x_1)<f(x_2)\]

Απόδειξη

Έστω ότι υπάρχουν x_1,\,x_2\in\grD τέτοια, ώστε f(x_1)<f(x_2) με  x_1\geq x_2

  • Αν x_1>x_2 τότε, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι f(x_1)>f(x_2), άτοπο λόγω της υπόθεσης.
  • Αν x_1=x_2 από τον ορισμό της συνάρτησης θα ισχύει f(x_1)=f(x_2), που αντίκειται στη υπόθεση.

Επομένως ισχύει το ζητούμενο.